2026-01-18-LeetCode刷题笔记-1895-最大的幻方

题目信息

平台：LeetCode
题目：1895. 最大的幻方
难度：中等
题目链接：Largest Magic Square

题目描述

给定一个 m×n 的整数矩阵，找出其中最大的"幻方"边长。幻方要求：子矩阵的每一行、每一列以及两条对角线的和都相等。

初步思路

直接枚举所有正方形并逐行逐列求和会很慢。
用行前缀、列前缀和两条对角线前缀和，把任意行/列/对角线的和在 O(1) 内算出来。
从大到小枚举边长 k，找到第一个满足条件的子矩阵即可返回。

算法分析

核心：四类前缀和（行/列/主对角线/副对角线）+ 从大到小枚举边长。
技巧：主对角线用 (i,j) 累加到 (i+1,j+1)，副对角线用 (i,j) 累加到 (i+1,j-1)。
时间复杂度：O(mnmin(m,n)^2)
空间复杂度：O(m*n)

正确性简述

前缀和保证能在 O(1) 内得到任意行、列、对角线的和。对于固定的 k×k 子矩阵，我们验证两条对角线和为 s，再验证 k 行与 k 列的和均为 s，即可判定为幻方。按 k 从大到小枚举，第一次找到的 k 即为最大幻方边长。

代码实现（C++）

cpp 复制代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

class Solution {
public:
    int largestMagicSquare(vector<vector<int>>& grid) {
        int m = grid.size(), n = grid[0].size();
        vector<vector<int>> row(m, vector<int>(n + 1, 0));
        vector<vector<int>> col(m + 1, vector<int>(n, 0));
        vector<vector<int>> diag(m + 1, vector<int>(n + 1, 0));
        vector<vector<int>> anti(m + 1, vector<int>(n + 1, 0));

        for (int i = 0; i < m; ++i) {
            for (int j = 0; j < n; ++j) {
                row[i][j + 1] = row[i][j] + grid[i][j];
                col[i + 1][j] = col[i][j] + grid[i][j];
                diag[i + 1][j + 1] = diag[i][j] + grid[i][j];
                anti[i + 1][j] = anti[i][j + 1] + grid[i][j];
            }
        }

        int maxK = min(m, n);
        for (int k = maxK; k >= 1; --k) {
            for (int i = k; i <= m; ++i) {
                for (int j = k; j <= n; ++j) {
                    int s = diag[i][j] - diag[i - k][j - k];
                    if (anti[i][j - k] - anti[i - k][j] != s) continue;
                    bool ok = true;
                    for (int r = i - k; r < i && ok; ++r) {
                        if (row[r][j] - row[r][j - k] != s) ok = false;
                    }
                    for (int c = j - k; c < j && ok; ++c) {
                        if (col[i][c] - col[i - k][c] != s) ok = false;
                    }
                    if (ok) return k;
                }
            }
        }
        return 1;
    }
};

测试用例

输入	输出	说明
$\[7,1,4,5,6$ , $2,5,1,6,4$ , $1,5,4,3,2$ , $1,2,7,3,4$ ]	3	存在 3×3 幻方
$\[5,1,3,1$ , $9,3,3,1$ , $1,3,3,8$ ]	2	最大幻方边长为 2
$\[1,2$ , $3,4$ ]	1	无更大幻方，返回 1

总结与反思

幻方判定可拆为"行列与对角线和相等"，前缀和大幅减少重复计算。
先枚举更大的边长能尽早返回，避免无意义的细粒度搜索。