2026-01-19-LeetCode刷题笔记-1292-元素和小于等于阈值的正方形的最大边长

title: 2026-01-19-LeetCode刷题笔记-1292-元素和小于等于阈值的正方形的最大边长

date: 2026-01-19

tags:

算法学习
LeetCode
二维前缀和

题目信息

平台：LeetCode
题目：1292. 元素和小于等于阈值的正方形的最大边长
难度：Medium
题目链接：Maximum Side Length of a Square with Sum Less than or Equal to Threshold

题目描述

给定一个矩阵 mat 和阈值 threshold，找到元素和不超过 threshold 的正方形子矩阵最大边长。

初步思路

用二维前缀和快速计算任意子矩阵的元素和。
枚举每个位置作为正方形左上角，尝试把当前最大边长继续扩大。
记录并更新全局最大边长。

算法分析

核心：二维前缀和 + 枚举左上角并逐步扩大边长
技巧：前缀和让子矩阵求和变成 O(1)
时间复杂度：O(m * n * L)，L 为最终最大边长（最坏 O(m * n * min(m, n))）
空间复杂度：O(m * n)

前缀和直观解释

复制代码

A B C
D E F
G H I

想要的子矩形是：

复制代码

E F
H I

也就是左上角 D 的右下那一块，坐标上是 (1,1) ~ (2,2)。

按拆分思路走一遍

大矩形 ABCDEFGHI：对应 s[3][3]，整张 3x3 的和。
减去左边条 ADG：对应 s[3][1]，剩下的是：

B C
E F
H I
再减去上边条 ABC：对应 s[1][3]，剩下的是：

E F
H I
A 被减了两次，需要补回：对应 s[1][1]。

最终公式：

复制代码

EFHI
= ABCDEFGHI
- ADG
- ABC
+ A

也就是：

复制代码

s[3][3] - s[3][1] - s[1][3] + s[1][1]

代码实现（Python）

python 复制代码

""" 
ABC
DEF
GHI
"""

"""  
要得到
EF
HI
可以先减去左边条ADG,在减去上边条ABC,再加上A(减了两次)
"""
class Solution:
    def maxSideLength(self, mat: List[List[int]], threshold: int) -> int:
        m,n = len(mat),len(mat[0])
        s = [[0]*(n+1) for _ in range(m+1)]
        for i,row in enumerate(mat):
            for j,x in enumerate(row):
                s[i+1][j+1] = s[i+1][j] +s[i][j+1] - s[i][j] + x

        #返回左上角在(r1,c1),右下角在(r2,c2)的子矩阵元素和
        def query(r1:int,c1:int,r2:int,c2:int)->int:
            return s[r2+1][c2+1]-s[r2+1][c1] - s[r1][c2+1]+s[r1][c1]

        ans = 0
        for i in range(m):
            for j in range(n):
                #边长为ans+1的正方形,左上角在(i,j),右下角在(i+ans,j+ans)
                while i + ans < m and j + ans < n and query(i,j,i+ans,j+ans) <= threshold:
                    ans += 1
        return ans

总结与反思

二维前缀和是处理子矩阵和的基础工具。
当前实现是"能扩就扩"，若需更优可考虑二分边长。