LeetCode Hot100（10/100）—— 53. 最大子数组和

文章目录

- 一、题目说明
- 二、题目考点与思路导图
- - 思维导图（Mermaid）
- [三、方法一：暴力枚举法（Brute Force）](#三、方法一：暴力枚举法（Brute Force）)
- [四、方法二：动态规划（Kadane's Algorithm）](#四、方法二：动态规划（Kadane’s Algorithm）)
- 总结

📘 题目链接：LeetCode.cn #53 最大子数组和

一、题目说明

题目描述：

给定一个整数数组 nums，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

示例：

复制代码

输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出：6
解释：连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。

二、题目考点与思路导图

这是一道经典的动态规划入门题 。

关键要点在于：子数组必须连续 ，且我们要找到其最大和。

思维导图（Mermaid）

最大子数组和
暴力法
枚举所有子数组
计算每个子数组的和
O(n^2) 或 O(n^3)
动态规划（Kadane算法）
当前最大和：maxEndingHere
全局最大和：maxSoFar
num, maxEndingHere + num
n

三、方法一：暴力枚举法（Brute Force）

思路

枚举所有可能的连续子数组 [i, j]
计算每个子数组的和，记录其中的最大值。

图解流程图

是
否
是
否
开始
初始化 maxSum = -∞
遍历 i 从 0 到 n-1
初始化 sum = 0
遍历 j 从 i 到 n-1
sum += nums $j$
更新 maxSum = max(maxSum, sum)
j < n-1?
i < n-1?
返回 maxSum
结束

复杂度分析

时间复杂度：O(n²)（两层循环）
空间复杂度：O(1)

Java实现

java 复制代码

public class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int maxSum = Integer.MIN_VALUE;
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            int sum = 0;
            for (int j = i; j < nums.length; j++) {
                sum += nums[j];
                maxSum = Math.max(maxSum, sum);
            }
        }
        return maxSum;
    }
}

四、方法二：动态规划（Kadane's Algorithm）

思路核心

Kadane算法是这题的最优解法。

对于每个位置 i：

要么 加入之前的子数组 （maxEndingHere + nums[i]）
要么 从当前元素重新开始 （nums[i]）

递推式如下：

复制代码

maxEndingHere = max(nums[i], maxEndingHere + nums[i])
maxSoFar = max(maxSoFar, maxEndingHere)

流程图说明

是
否
开始
初始化 maxSoFar = nums $0$ , maxEndingHere = nums $0$
从 i = 1 遍历到 n-1
maxEndingHere = max(nums $i$ , maxEndingHere + nums $i$ )
maxSoFar = max(maxSoFar, maxEndingHere)
i < n-1 ?
返回 maxSoFar
结束

示例演示

假设输入：[-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]

i	nums $i$	maxEndingHere 计算	maxEndingHere	maxSoFar
0	-2	初始值	-2	-2
1	1	max(1, -2+1) = 1	1	1
2	-3	max(-3,1-3)=-2	-2	1
3	4	max(4,-2+4)=4	4	4
4	-1	max(-1,4-1)=3	3	4
5	2	max(2,3+2)=5	5	5
6	1	max(1,5+1)=6	6	6
7	-5	max(-5,6-5)=1	1	6
8	4	max(4,1+4)=5	5	6

✅ 最终结果：6

Java实现代码

java 复制代码

public class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int maxSoFar = nums[0];
        int maxEndingHere = nums[0];
        for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
            maxEndingHere = Math.max(nums[i], maxEndingHere + nums[i]);
            maxSoFar = Math.max(maxSoFar, maxEndingHere);
        }
        return maxSoFar;
    }
}

时间与空间复杂度分析

项目	复杂度	说明
时间复杂度	O(n)	数组仅需一次遍历
空间复杂度	O(1)	常数级辅助变量

总结

方法	思路	时间复杂度	空间复杂度	特点
暴力法	枚举所有子数组	O(n²)	O(1)	易理解，效率低
动态规划	Kadane算法	O(n)	O(1)	最优解，简洁高效
分治法	区间划分	O(n log n)	O(log n)	理论有趣，实践略繁琐