4.2 阻抗和导纳矩阵
上一节介绍了如何才能定义TEM波和非TEM波的等效电压和电流。确定网络中不同点的电压和电流后，就可利用电路理论的阻抗和/或导纳矩阵把这些端点量或"端口"量联系起来，进而使用矩阵来描述网络。这种表述可用来开发任意网络的等效电路，在讨论无源元件如耦合器和滤波器的设计时，这种等效电路表述非常有用(端口一词是在20世纪50年代由H.A.Wheeler引入的，目的是取代表述不清的术语"两端点对"2,3)。
图4.5任意N端口微波网络
下面从如图4.5所示的任意N端口微波网络开始。图4.5中的端口可以是某种形式的传输线或单一波导传播模的等效传输线。若网络的物理端口之一是支持多个传播模的波导，则可为这些模考虑添加其他的电端口,每个"电端口"对应一个模式，有自己独立的等效电压、电流和等效传输线。
对于通用端口进行分析，我们在第n个端口上的一个指定点处，**定义了一个端平面 t n t_{n} tn，并定义了等效的入射波电压和电流( V n + , I n + V_{n}^{+},I_{n}^{+} Vn+,In+)及等效的反射波电压和电流( V n − , I n − V_{n}^{-},I_{n}^{-} Vn−,In−)。**在为电压和电流相量提供相位参考时，这些端平面的作用很重要。下面给出第n个端平面上的总电压和电流:
V n = V n + + V n − ( 4.24 a ) V_{n}=V_{n}^{+}+V_{n}^{-} \quad (4.24a) Vn=Vn++Vn−(4.24a)
I n = I n + − I n − ( 4.24 b ) I_{n}=I_{n}^{+}-I_{n}^{-} \quad (4.24b) In=In+−In−(4.24b)
这与式(4.8)在 z = 0 z=0 z=0时得到的结果相同。
微波网络的阻抗矩阵Z把这些电压和电流联系起来：
V 1 V 2 ⋮ V N = Z 11 Z 12 ⋯ Z 1 N Z 21 Z 22 ⋯ Z 2 N ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ Z N 1 Z N 2 ⋯ Z N N I 1 I 2 ⋮ I N \begin{bmatrix}V_1 \\V_2 \\\vdots \\V_N\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}Z_{11}&Z_{12}&\cdots &Z_{1N}\\Z_{21}&Z_{22}&\cdots &Z_{2N}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\Z_{N1}&Z_{N2}&\cdots &Z_{NN}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}I_1 \\I_2 \\\vdots\\I_N\end{bmatrix} V1V2⋮VN = Z11Z21⋮ZN1Z12Z22⋮ZN2⋯⋯⋱⋯Z1NZ2N⋮ZNN I1I2⋮IN
或以矩阵形式写为
V = Z I ( 4.25 ) V=ZI\quad(4.25) V=ZI(4.25)
类似地，可以将导纳矩阵Y定义为
I 1 I 2 ⋮ I N = Y 11 Y 12 ⋯ Y 1 N Y 21 Y 22 ⋯ Y 2 N ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ Y N 1 Y N 2 ⋯ Y N N V 1 V 2 ⋮ V N \begin{bmatrix}I_1\\I_2\\\vdots\\I_N\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}Y_{11}&Y_{12}&\cdots &Y_{1N}\\Y_{21}&Y_{22}&\cdots &Y_{2N}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\Y_{N1}&Y_{N2}&\cdots &Y_{NN}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}V_1\\V_2\\\vdots\\V_N\end{bmatrix} I1I2⋮IN = Y11Y21⋮YN1Y12Y22⋮YN2⋯⋯⋱⋯Y1NY2N⋮YNN V1V2⋮VN
或以矩阵形式写为
I = Y V ( 4.26 ) I=YV\quad(4.26) I=YV(4.26)
显然，Z矩阵和Y矩阵互为逆矩阵：
Y = Z − 1 ( 4.27 ) Y=Z^{-1}\quad(4.27) Y=Z−1(4.27)
注意，Z矩阵和Y矩阵把所有端口电压和电流联系起来了。
由式(4.25)可知 Z i j Z_{ij} Zij为
Z i j = V i I j ∣ I k = 0 , k ≠ j ( 4.28 ) Z_{ij}=\left.\frac{V_{i}}{I_{j}}\right|{I{k}=0,\quad k\neq j}\quad(4.28) Zij=IjVi Ik=0,k=j(4.28)
换言之，式(4.28)说明 Z i j Z_{ij} Zij可以通过激励电流为 I j I_{j} Ij的端口j，而其他所有端口开路(故有 I k = 0 , k ≠ j I_{k}=0,\quad k\neq j Ik=0,k=j)并测量端口i的开路电压得出。这样，当所有的其他端口开路时， Z i i Z_{ii} Zii是向端口i往里看的输入阻抗，而当所有其他端口开路时， Z i j Z_{ij} Zij是端口i和j之间的传输阻抗。
以上图所示的一个二端口网络为例，
U ˙ 1 = z 11 I ˙ 1 + z 12 I ˙ 2 U ˙ 2 = z 21 I ˙ 1 + z 22 I ˙ 2 \dot{U}1 = z{11} \dot{I}1 + z{12} \dot{I}_2 \\ \dot{U}2 = z{21} \dot{I}1 + z{22} \dot{I}_2 U˙1=z11I˙1+z12I˙2U˙2=z21I˙1+z22I˙2
我们想求 z 11 z_{11} z11即令 I ˙ 2 = 0 求 U ˙ 1 I ˙ 1 \dot{I}2=0求\dfrac{\dot{U}{1}}{\dot{I}{1}} I˙2=0求I˙1U˙1。同理想求 z 21 z{21} z21即令 I ˙ 2 = 0 求 U ˙ 2 I ˙ 1 \dot{I}2=0求\dfrac{\dot{U}{2}}{\dot{I}_{1}} I˙2=0求I˙1U˙2
类似地，由式(4.26)可知 Y i j Y_{ij} Yij为
Y i j = I i V j ∣ V k = 0 , k ≠ j ( 4.29 ) Y_{ij}=\left.\frac{I_{i}}{V_{j}}\right|{V{k}=0,\quad k\neq j}\quad(4.29) Yij=VjIi Vk=0,k=j(4.29)
这说明当所有其他端口短路时（有 V k = 0 V_{k}=0 Vk=0， k ≠ j k\neq j k=j）， Y i j Y_{ij} Yij可通过激励电压为 V j V_{j} Vj的端口j并测量端口i的短路电流来得到。
一般来说，每个矩阵元素 Z i j Z_{ij} Zij或 Y i j Y_{ij} Yij都能是复数。对于任意N端口网络，阻抗和导纳是 N × N N\times N N×N矩阵，因此有 2 N 2 2N^{2} 2N2个自变量或自由度。然而，在实际中，很多网络要么是互易的，要么是无耗的，要么既是互易的又是无耗的。若网络是互易的（即不含非互易性媒质，如铁氧体、等离子体或有源器件），则可以证明阻抗和导纳矩阵是对称的，有 Z i j = Z j i Z_{ij}=Z_{ji} Zij=Zji和 Y i j = Y j i Y_{ij}=Y_{ji} Yij=Yji；若网络是无耗的，则可以证明所有矩阵元素 Z i j Z_{ij} Zij或 Y i j Y_{ij} Yij是纯虚数。这些特定情况中的任何一种都会减少N端口网络应有的自变量数或自由度数。推导如下：
4.2.1 互易网络
互易定理
互易性是物理学和很多工程领域中的一个普遍概念，读者也许已经熟悉电路理论的互易定理。这里将导出两种不同形式的电磁场的洛伦兹互易定理。本书稍后将利用该定理来得到代表微波电路的网络矩阵的一般特性，计算波导与电流探针和电流环的耦合，计算波导间通过小孔的耦合。这种非常有用的概念还具有其他重要应用。
图1.15洛伦兹互易定理示意图
考虑由封闭表面 S S S围成的体积 V V V内的两组分开的源 J 1 \boldsymbol{J}{1} J1、 M 1 \boldsymbol{M}{1} M1和 J 2 \boldsymbol{J}{2} J2、 M 2 \boldsymbol{M}{2} M2，它们产生的场分别为 E 1 \boldsymbol{E}{1} E1、 H 1 \boldsymbol{H}{1} H1和 E 2 \boldsymbol{E}{2} E2、 H 2 \boldsymbol{H}{2} H2，如图1.15所示。两组源和场分别满足麦克斯韦方程组，所以可以写出
∇ × E 1 = − j ω μ H 1 − M 1 ( 1.152 a ) \nabla \times \boldsymbol{E}{1} = -j \omega \mu \boldsymbol{H}{1} - \boldsymbol{M}{1} \quad (1.152a) ∇×E1=−jωμH1−M1(1.152a)
∇ × H 1 = j ω ϵ E 1 + J 1 ( 1.152 b ) \nabla \times \boldsymbol{H}{1} = j \omega \epsilon \boldsymbol{E}{1} + \boldsymbol{J}{1} \quad (1.152b) ∇×H1=jωϵE1+J1(1.152b)
∇ × E 2 = − j ω μ H 2 − M 2 ( 1.153 a ) \nabla \times \boldsymbol{E}{2} = -j \omega \mu \boldsymbol{H}{2} - \boldsymbol{M}{2} \quad (1.153a) ∇×E2=−jωμH2−M2(1.153a)
∇ × H 2 = j ω ϵ E 2 + J 2 ( 1.153 b ) \nabla \times \boldsymbol{H}{2} = j \omega \epsilon \boldsymbol{E}{2} + \boldsymbol{J}{2} \quad (1.153b) ∇×H2=jωϵE2+J2(1.153b)
图1.15 洛伦兹互易定理示意图
现在考虑量 ∇ ⋅ ( E 1 × H 2 − E 2 × H 1 ) \nabla \cdot (\boldsymbol{E}_1 \times \boldsymbol{H}_2 - \boldsymbol{E}_2 \times \boldsymbol{H}_1) ∇⋅(E1×H2−E2×H1)，它可以由向量恒等式(B.8)展开得到：
∇ ⋅ ( E 1 × H 2 − E 2 × H 1 ) = J 1 ⋅ E 2 − J 2 ⋅ E 1 + M 2 ⋅ H 1 − M 1 ⋅ H 2 ( 1.154 ) \nabla \cdot (\boldsymbol{E}_1 \times \boldsymbol{H}_2 - \boldsymbol{E}_2 \times \boldsymbol{H}_1) = \boldsymbol{J}_1 \cdot \boldsymbol{E}_2 - \boldsymbol{J}_2 \cdot \boldsymbol{E}_1 + \boldsymbol{M}_2 \cdot \boldsymbol{H}_1 - \boldsymbol{M}_1 \cdot \boldsymbol{H}_2 \quad (1.154) ∇⋅(E1×H2−E2×H1)=J1⋅E2−J2⋅E1+M2⋅H1−M1⋅H2(1.154)
在整个体积 V V V内积分，并利用散度定理(B.15)，可得
∫ V ∇ ⋅ ( E 1 × H 2 − E 2 × H 1 ) d v = ∮ S ( E 1 × H 2 − E 2 × H 1 ) ⋅ d s = ∫ V ( E 2 ⋅ J 1 − E 1 ⋅ J 2 + H 1 ⋅ M 2 − H 2 ⋅ M 1 ) d v ( 1.155 ) \begin{aligned} \int_{V} \nabla \cdot (\boldsymbol{E}_1 \times \boldsymbol{H}_2 - \boldsymbol{E}_2 \times \boldsymbol{H}1) \, \mathrm{d} v &= \oint{S} (\boldsymbol{E}_1 \times \boldsymbol{H}_2 - \boldsymbol{E}_2 \times \boldsymbol{H}1) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{s} \\ &= \int{V} (\boldsymbol{E}_2 \cdot \boldsymbol{J}_1 - \boldsymbol{E}_1 \cdot \boldsymbol{J}_2 + \boldsymbol{H}_1 \cdot \boldsymbol{M}_2 - \boldsymbol{H}_2 \cdot \boldsymbol{M}_1) \, \mathrm{d} v \end{aligned} \quad (1.155) ∫V∇⋅(E1×H2−E2×H1)dv=∮S(E1×H2−E2×H1)⋅ds=∫V(E2⋅J1−E1⋅J2+H1⋅M2−H2⋅M1)dv(1.155)
式(1.155)是互易定理的普遍形式，但实际上有些特殊情况往往会导致一些简化。考虑三种情况。
S S S封闭无源。 这时 J 1 = J 2 = M 1 = M 2 = 0 \boldsymbol{J}_1 = \boldsymbol{J}_2 = \boldsymbol{M}_1 = \boldsymbol{M}_2 = 0 J1=J2=M1=M2=0，场 E 1 \boldsymbol{E}_1 E1， H 1 \boldsymbol{H}_1 H1和 E 2 \boldsymbol{E}_2 E2， H 2 \boldsymbol{H}_2 H2为无源场。此时，式(1.155)的右边为零，于是得到
∮ S E 1 × H 2 ⋅ d s = ∮ S E 2 × H 1 ⋅ d s ( 1.156 ) \oint_{S} \boldsymbol{E}_1 \times \boldsymbol{H}2 \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{s} = \oint{S} \boldsymbol{E}_2 \times \boldsymbol{H}_1 \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{s} \quad (1.156) ∮SE1×H2⋅ds=∮SE2×H1⋅ds(1.156)
这个结果将在第4章用来阐明互易微波网络的阻抗矩阵的对称性。
S S S为理想导体。 例如， S S S可能是一个理想导电的封闭腔的内表面。于是式(1.155)的面积分为零，因为 E 1 × H 2 ⋅ n = ( n × E 1 ) ⋅ H 2 \boldsymbol{E}_1 \times \boldsymbol{H}_2 \cdot \boldsymbol{n} = (\boldsymbol{n} \times \boldsymbol{E}_1) \cdot \boldsymbol{H}_2 E1×H2⋅n=(n×E1)⋅H2由向量恒等式(B.3)得到，而 n × E 1 \boldsymbol{n} \times \boldsymbol{E}_1 n×E1在理想导体表面为零( E 2 \boldsymbol{E}_2 E2也类似)。结果为
∫ V ( E 1 ⋅ J 2 − H 1 ⋅ M 2 ) d v = ∫ V ( E 2 ⋅ J 1 − H 2 ⋅ M 1 ) d v ( 1.157 ) \int_{V} (\boldsymbol{E}_1 \cdot \boldsymbol{J}_2 - \boldsymbol{H}_1 \cdot \boldsymbol{M}2) \, \mathrm{d} v = \int{V} (\boldsymbol{E}_2 \cdot \boldsymbol{J}_1 - \boldsymbol{H}_2 \cdot \boldsymbol{M}_1) \, \mathrm{d} v \quad (1.157) ∫V(E1⋅J2−H1⋅M2)dv=∫V(E2⋅J1−H2⋅M1)dv(1.157)
这个结果与电路理论的互易定理相似。换言之，这个结果说，系统的响应 E 1 \boldsymbol{E}_1 E1， E 2 \boldsymbol{E}_2 E2不会因为源点和场点的交换而改变，即由 J 2 \boldsymbol{J}_2 J2产生的在 J 1 \boldsymbol{J}_1 J1处的场 E 2 \boldsymbol{E}_2 E2与由 J 1 \boldsymbol{J}_1 J1产生的在 J 2 \boldsymbol{J}_2 J2处的场 E 1 \boldsymbol{E}_1 E1相等。
S S S为无限远处的球面。 此时， S S S处的场极其远离源，因而可以局部地考虑为平面波。于是，将阻抗关系 H = n × E / η \boldsymbol{H} = \boldsymbol{n} \times \boldsymbol{E} / \eta H=n×E/η应用到式(1.155)可得
( E 1 × H 2 − E 2 × H 1 ) ⋅ n = ( n × E 1 ) ⋅ H 2 − ( n × E 2 ) ⋅ H 1 = 1 η H 1 ⋅ H 2 − 1 η H 2 ⋅ H 1 = 0 (\boldsymbol{E}_1 \times \boldsymbol{H}_2 - \boldsymbol{E}_2 \times \boldsymbol{H}_1) \cdot \boldsymbol{n} = (\boldsymbol{n} \times \boldsymbol{E}_1) \cdot \boldsymbol{H}_2 - (\boldsymbol{n} \times \boldsymbol{E}_2) \cdot \boldsymbol{H}_1 = \frac{1}{\eta} \boldsymbol{H}_1 \cdot \boldsymbol{H}_2 - \frac{1}{\eta} \boldsymbol{H}_2 \cdot \boldsymbol{H}_1 = 0 (E1×H2−E2×H1)⋅n=(n×E1)⋅H2−(n×E2)⋅H1=η1H1⋅H2−η1H2⋅H1=0
所以再次得到了式(1.157)的结果。对于表面阻抗边界条件成立的封闭表面 S S S的情况，也能得到这个结果。
图4.5所示的任意网络是互易的（无有源器件、铁氧体或等离子体），
推导中除端口1和端口2外，其他所有端平面上都设置为短路。仅在端口1 施加外部激励a,网络内部会建立起一套稳定的电磁场分布，记为 ( E a , H a ) (\mathbf{E}a, \mathbf{H}a) (Ea,Ha)。仅在端口2 施加另一个独立 的外部激励b。网络内部建立起另一套场分布，记为 ( E b , H b ) (\mathbf{E}b, \mathbf{H}b) (Eb,Hb)。在每种状态下，网络内部都没有产生场的、独立的物理源 。场是由边界条件 （端口1或2的激励，以及其他端口的短路条件）决定的。因此，对于每一套场，它们在曲面S包围的体积V内都满足无源的、齐次的 麦克斯韦方程组。现在网络有场 E a E{a} Ea， H a H{a} Ha和 E b E{b} Eb， H b H{b} Hb，它们是由来自网络外部的两个独立源a和b产生的。因此，式(1.156)的互易定理表明
∮ S E a × H b ⋅ d s = ∮ S E b × H a ⋅ d s ( 4.30 ) \oint_{S} E_{a} \times H_{b} \cdot \mathrm{d} s = \oint_{S} E_{b} \times H_{a} \cdot \mathrm{d} s \quad (4.30) ∮SEa×Hb⋅ds=∮SEb×Ha⋅ds(4.30)
式中，S是沿网络边界并过所有端口的端平面的封闭曲面。若网络和传输线的边界壁是金属 ，则在壁上有 E tan = 0 E_{\text{tan}} = 0 Etan=0（假设是理想导体） 。若网络或传输线是开放性结构，如微带或槽线，则可把边界设置在离线足够远的位置，使得 E tan E_{\text{tan}} Etan可以忽略不计。这样，式(4.30)的积分的非零贡献就只来自端口1和端口2的截面积。
在理想导体表面，切向电场必须为零，这是电磁场的边界条件。即 E tan = 0 E_{\text{tan}} = 0 Etan=0。
被积函数 E × H ⋅ d s E \times H \cdot ds E×H⋅ds 中， d s ds ds 的方向是曲面的外法向。利用矢量恒等式，该项等于 ( E × H ) ⋅ n ^ = ( n ^ × E ) ⋅ H (E \times H) \cdot \hat{n} = (\hat{n} \times E) \cdot H (E×H)⋅n^=(n^×E)⋅H。由于 n ^ × E = n ^ × E tan \hat{n} \times E=\hat{n} \times E_{\text{tan}} n^×E=n^×Etan，因此在理想导体壁上，该项为零。所以，网络金属外壳对式(4.30)的面积分没有贡献。
对于微带线、共面波导等开放式结构，没有封闭的金属外壳。我们可以人为设定一个边界 ，这个边界距离导带足够远。在远离导带的地方，电磁场强度衰减到非常微弱， E tan E_{\text{tan}} Etan 近似为零。因此，这部分边界对积分的贡献也可以忽略。
除了端口1和端口2，其他所有端口都被"短路"处理 。短路意味着在该端口端平面上强制 V = 0 V=0 V=0，这等价于该处的横向电场 E t a n = 0 E_{tan} = 0 Etan=0。因此，短路端口端面的积分贡献也为零 。最终，整个封闭曲面S上，只有端口1和端口2的端平面对式(4.30)的积分有非零贡献。
由4.1节可知，源a和b产生的场可在端平面 t 1 t_{1} t1和 t 2 t_{2} t2上算出：
E 1 a = V 1 a e 1 , H 1 a = I 1 a h 1 E 1 b = V 1 b e 1 , H 1 b = I 1 b h 1 E 2 a = V 2 a e 2 , H 2 a = I 2 a h 2 E 2 b = V 2 b e 2 , H 2 b = I 2 b h 2 ( 4.31 ) \begin{aligned}E_{1a} = V_{1a} e_{1}, \quad H_{1a} = I_{1a} h_{1} \\ E_{1b} = V_{1b} e_{1}, \quad H_{1b} = I_{1b} h_{1} \\ E_{2a} = V_{2a} e_{2}, \quad H_{2a} = I_{2a} h_{2}\\ E_{2b} = V_{2b} e_{2}, \quad H_{2b} = I_{2b} h_{2} \end{aligned}\quad(4.31) E1a=V1ae1,H1a=I1ah1E1b=V1be1,H1b=I1bh1E2a=V2ae2,H2a=I2ah2E2b=V2be2,H2b=I2bh2(4.31)
式中， e 1 e_{1} e1, h 1 h_{1} h1和 e 2 e_{2} e2, h 2 h_{2} h2分别是端口1和端口2的横模场，而V和I是等效的总电压和电流（如 E 1 b E_{1b} E1b是源b在端口1的端平面 t 1 t_{1} t1上产生的横电场）。
小结一下： 对于非TEM传输线（如波导），其横截面上的横向电磁场 ( E t , H t ) (E_t, H_t) (Et,Ht) 可以分解为两部分：
模式分布函数 e ( x , y ) e(x, y) e(x,y) 和 h ( x , y ) h(x, y) h(x,y)：描述了场在横截面上的固定形状，与传播方向(z)和幅度无关。它们满足关系 h = ( z ^ × e ) / Z w h = (\hat{z} \times e) / Z_w h=(z^×e)/Zw，其中 Z w Z_w Zw 是该模式的波阻抗。
等效电路量 V ( z ) V(z) V(z) 和 I ( z ) I(z) I(z)：描述了场沿传播方向的幅度和相位变化，它们的行为与传输线上的电压波、电流波完全一致。
参考面处设 z = 0 z=0 z=0，带入（4.15） 具体关系为，：
E t ( x , y , z ) = V ( z ) ⋅ e ( x , y ) H t ( x , y , z ) = I ( z ) ⋅ h ( x , y ) E_t(x,y,z) = V(z) \cdot e(x,y)\\H_t(x,y,z) = I(z) \cdot h(x,y) Et(x,y,z)=V(z)⋅e(x,y)Ht(x,y,z)=I(z)⋅h(x,y)通过功率归一化 （4.10），使得 ∫ S e × h ⋅ z ^ d s = 1 \int_S e \times h \cdot \hat{z} \, ds = 1 ∫Se×h⋅z^ds=1，从而有传输的复功率 等于 1 2 V I ∗ \frac{1}{2} V I^* 21VI∗。这让 V V V 和 I I I 成为等效电压和电流。
在互易性证明中，我们有两种独立的激励状态（分别对应"源a"和"源b"）。
对于第一种激励状态（a） ：它在端口1的端面 t 1 t_1 t1 上，产生了特定的横向场。根据4.1节理论，这个场可以写成： E 1 a = V 1 a e 1 E_{1a} = V_{1a} e_1 E1a=V1ae1， H 1 a = I 1 a h 1 H_{1a} = I_{1a} h_1 H1a=I1ah1。这里 V 1 a V_{1a} V1a 和 I 1 a I_{1a} I1a 就是在状态a下，端口1的总等效电压和总等效电流 （即入射波与反射波之和）。同时，状态a也会在端口2的端面 t 2 t_2 t2 上感应出场，同理可写为： E 2 a = V 2 a e 2 E_{2a} = V_{2a} e_2 E2a=V2ae2， H 2 a = I 2 a h 2 H_{2a} = I_{2a} h_2 H2a=I2ah2。 V 2 a V_{2a} V2a 和 I 2 a I_{2a} I2a 是状态a下端口2的总等效电压和电流。对于第二种激励状态（b） ，同理，下标换为"b"。无论激励源如何，端口本身的横向模式分布 e n , h n e_n, h_n en,hn 是固定不变的 ，它只由端口的几何结构和传播的模式决定。变化的是反映激励状态和网络响应的系数 V V V 和 I I I。通过对网络边界（理想导体壁或远处边界）和短路端口端面上切向电场为零的分析，将式(4.30)的全封闭面积分，简化为仅在所研究的两个端口（1和2）端面上 的积分。借助4.1节 建立的、将横向电磁场分解为固定模式分布 ( e , h ) (e, h) (e,h) 与等效电路量 ( V , I ) (V, I) (V,I) 相乘的理论框架，将端口端面上的场 E , H E, H E,H 用等效电压 V V V 和电流 I I I 表示出来（式4.31）从而完成了场-路转换。将式(4.31)代入简化后的式(4.30)，利用模式函数的归一化条件，积分运算就转化为了关于 V 1 a , I 1 b , V 1 b , I 1 a V_{1a}, I_{1b}, V_{1b}, I_{1a} V1a,I1b,V1b,I1a 等电路量的代数运算，最终可以推导出网络参数的互易性质（ Y 12 = Y 21 Y_{12} = Y_{21} Y12=Y21）。
在端口1的端平面 S 1 S_1 S1上，面积分贡献为
∫ S 1 ( E a × H b − E b × H a ) ⋅ d s = 0. \int_{S_1} (\boldsymbol{E}_a \times \boldsymbol{H}_b - \boldsymbol{E}_b \times \boldsymbol{H}_a) \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{s}=0. ∫S1(Ea×Hb−Eb×Ha)⋅ds=0.
利用式(4.31)的表达式：
E a = V 1 a e 1 , H b = I 1 b h 1 , E b = V 1 b e 1 , H a = I 1 a h 1 , \boldsymbol{E}a = V{1a} \boldsymbol{e}_1, \quad \boldsymbol{H}b = I{1b} \boldsymbol{h}_1, \quad \boldsymbol{E}b = V{1b} \boldsymbol{e}_1, \quad \boldsymbol{H}a = I{1a} \boldsymbol{h}_1, Ea=V1ae1,Hb=I1bh1,Eb=V1be1,Ha=I1ah1,
代入得
E a × H b = V 1 a I 1 b ( e 1 × h 1 ) , E b × H a = V 1 b I 1 a ( e 1 × h 1 ) . \boldsymbol{E}a \times \boldsymbol{H}b = V{1a} I{1b} (\boldsymbol{e}_1 \times \boldsymbol{h}_1), \quad \boldsymbol{E}b \times \boldsymbol{H}a = V{1b} I{1a} (\boldsymbol{e}_1 \times \boldsymbol{h}_1). Ea×Hb=V1aI1b(e1×h1),Eb×Ha=V1bI1a(e1×h1).
因此，
E a × H b − E b × H a = ( V 1 a I 1 b − V 1 b I 1 a ) ( e 1 × h 1 ) . \boldsymbol{E}a \times \boldsymbol{H}b - \boldsymbol{E}b \times \boldsymbol{H}a = (V{1a} I{1b} - V{1b} I{1a}) (\boldsymbol{e}_1 \times \boldsymbol{h}_1). Ea×Hb−Eb×Ha=(V1aI1b−V1bI1a)(e1×h1).
点乘面积元 d s = n ^ 1 d s \mathrm{d}\boldsymbol{s} = \hat{n}1 \mathrm{d}s ds=n^1ds（其中 n ^ 1 \hat{n}1 n^1 是 S 1 S_1 S1 的法向单位矢量，指向网络内部），并在 S 1 S_1 S1上积分：
∫ S 1 ( E a × H b − E b × H a ) ⋅ d s = ( V 1 a I 1 b − V 1 b I 1 a ) ∫ S 1 e 1 × h 1 ⋅ n ^ 1 d s = 0. \int{S_1} (\boldsymbol{E}a \times \boldsymbol{H}b - \boldsymbol{E}b \times \boldsymbol{H}a) \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{s} = (V{1a} I{1b} - V{1b} I{1a}) \int{S_1} \boldsymbol{e}_1 \times \boldsymbol{h}_1 \cdot \hat{n}_1 \mathrm{d}s=0. ∫S1(Ea×Hb−Eb×Ha)⋅ds=(V1aI1b−V1bI1a)∫S1e1×h1⋅n^1ds=0.
记 d s = n ^ 1 d s \mathrm{d}\boldsymbol{s} = \hat{n}1 \mathrm{d}s ds=n^1ds，该积分可写为
( V 1 a I 1 b − V 1 b I 1 a ) ∫ S 1 e 1 × h 1 ⋅ d s = 0. (V{1a} I_{1b} - V_{1b} I_{1a}) \int_{S_1} \boldsymbol{e}_1 \times \boldsymbol{h}_1 \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{s}=0. (V1aI1b−V1bI1a)∫S1e1×h1⋅ds=0.
同理，在端口2的端平面 S 2 S_2 S2 上，有
∫ S 2 ( E a × H b − E b × H a ) ⋅ d s = ( V 2 a I 2 b − V 2 b I 2 a ) ∫ S 2 e 2 × h 2 ⋅ d s = 0. \int_{S_2} (\boldsymbol{E}a \times \boldsymbol{H}b - \boldsymbol{E}b \times \boldsymbol{H}a) \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{s} = (V{2a} I{2b} - V{2b} I{2a}) \int_{S_2} \boldsymbol{e}_2 \times \boldsymbol{h}_2 \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{s}=0. ∫S2(Ea×Hb−Eb×Ha)⋅ds=(V2aI2b−V2bI2a)∫S2e2×h2⋅ds=0.
将两端口贡献相加，可得
( V 1 a I 1 b − V 1 b I 1 a ) ∫ S 1 e 1 × h 1 ⋅ d s + ( V 2 a I 2 b − V 2 b I 2 a ) ∫ S 2 e 2 × h 2 ⋅ d s = 0 ( 4.32 ) (V_{1a} I_{1b} - V_{1b} I_{1a}) \int_{S_{1}} e_{1} \times h_{1} \cdot \mathrm{d} s + (V_{2a} I_{2b} - V_{2b} I_{2a}) \int_{S_{2}} e_{2} \times h_{2} \cdot \mathrm{d} s = 0 \quad (4.32) (V1aI1b−V1bI1a)∫S1e1×h1⋅ds+(V2aI2b−V2bI2a)∫S2e2×h2⋅ds=0(4.32)
式中， S 1 S_{1} S1和 S 2 S_{2} S2是端口1和端口2的端平面上的截面积。
如在4.1节中那样，等效电压和电流是这样来定义的：使得通过给定端口的功率可用 V I ∗ / 2 V I^{*} / 2 VI∗/2来表示；然后比较式(4.31)与式(4.6) ( z = 0 ) (z=0) (z=0)，表明对每个端口有 C 1 = C 2 = 1 C_{1} = C_{2} = 1 C1=C2=1，所以
E t ( x , y , z ) = e ( x , y ) ( A + e − j β z + A − e j β z ) = e ( x , y ) C 1 ( V + e − j β z + V − e j β z ) ( 4.6 a ) H t ( x , y , z ) = h ( x , y ) ( A + e − j β z − A − e j β z ) = h ( x , y ) C 2 ( I + e − j β z − I − e j β z ) ( 4.6 b ) E_{t}(x, y, z)=e(x, y)\left(A^{+} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \beta z}+A^{-} \mathrm{e}^{\mathrm{j} \beta z}\right)=\frac{e(x, y)}{C_{1}}\left(V^{+} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \beta z}+V^{-} \mathrm{e}^{\mathrm{j} \beta z}\right)\quad(4.6a) \\H_{t}(x, y, z)=h(x, y)\left(A^{+} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \beta z}-A^{-} \mathrm{e}^{\mathrm{j} \beta z}\right)=\frac{h(x, y)}{C_{2}}\left(I^{+} \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \beta z}-I^{-} \mathrm{e}^{\mathrm{j} \beta z}\right)\quad(4.6b) Et(x,y,z)=e(x,y)(A+e−jβz+A−ejβz)=C1e(x,y)(V+e−jβz+V−ejβz)(4.6a)Ht(x,y,z)=h(x,y)(A+e−jβz−A−ejβz)=C2h(x,y)(I+e−jβz−I−ejβz)(4.6b)
∫ S 1 e 1 × h 1 ⋅ d s = ∫ S 2 e 2 × h 2 ⋅ d s = 1 ( 4.33 ) \int_{S_{1}} e_{1} \times h_{1} \cdot \mathrm{d} s = \int_{S_{2}} e_{2} \times h_{2} \cdot \mathrm{d} s = 1 \quad (4.33) ∫S1e1×h1⋅ds=∫S2e2×h2⋅ds=1(4.33)
这会将式(4.32)简化为
V 1 a I 1 b − V 1 b I 1 a + V 2 a I 2 b − V 2 b I 2 a = 0 ( 4.34 ) V_{1a} I_{1b} - V_{1b} I_{1a} + V_{2a} I_{2b} - V_{2b} I_{2a} = 0 \quad (4.34) V1aI1b−V1bI1a+V2aI2b−V2bI2a=0(4.34)
现在利用该二端口网络的 2 × 2 2 \times 2 2×2导纳矩阵
I 1 = Y 11 V 1 + Y 12 V 2 I 2 = Y 21 V 1 + Y 22 V 2 I_{1} = Y_{11} V_{1} + Y_{12} V_{2}\\ I_{2} = Y_{21} V_{1} + Y_{22} V_{2} I1=Y11V1+Y12V2I2=Y21V1+Y22V2
来消去I项。代入式(4.34)可得
对于状态 a a a，有：
I 1 a = Y 11 V 1 a + Y 12 V 2 a , I 2 a = Y 21 V 1 a + Y 22 V 2 a . \begin{aligned} I_{1a} &= Y_{11} V_{1a} + Y_{12} V_{2a}, \\ I_{2a} &= Y_{21} V_{1a} + Y_{22} V_{2a}. \end{aligned} I1aI2a=Y11V1a+Y12V2a,=Y21V1a+Y22V2a.
对于状态 b b b，有：
I 1 b = Y 11 V 1 b + Y 12 V 2 b , I 2 b = Y 21 V 1 b + Y 22 V 2 b . \begin{aligned} I_{1b} &= Y_{11} V_{1b} + Y_{12} V_{2b}, \\ I_{2b} &= Y_{21} V_{1b} + Y_{22} V_{2b}. \end{aligned} I1bI2b=Y11V1b+Y12V2b,=Y21V1b+Y22V2b.
将以上表达式代入式(4.34)：
V 1 a I 1 b − V 1 b I 1 a + V 2 a I 2 b − V 2 b I 2 a = Y 11 V 1 a V 1 b + Y 12 V 1 a V 2 b − Y 11 V 1 b V 1 a − Y 12 V 1 b V 2 a + Y 21 V 2 a V 1 b + Y 22 V 2 a V 2 b − Y 21 V 2 b V 1 a − Y 22 V 2 b V 2 a . = Y 12 V 1 a V 2 b − Y 12 V 1 b V 2 a + Y 21 V 1 b V 2 a − Y 21 V 1 a V 2 b = ( Y 12 − Y 21 ) V 1 a V 2 b + ( − Y 12 + Y 21 ) V 1 b V 2 a = ( Y 12 − Y 21 ) V 1 a V 2 b − ( Y 12 − Y 21 ) V 1 b V 2 a = ( Y 12 − Y 21 ) ( V 1 a V 2 b − V 1 b V 2 a ) . \begin{aligned} & V_{1a} I_{1b} - V_{1b} I_{1a} + V_{2a} I_{2b} - V_{2b} I_{2a} \\ &= Y_{11} V_{1a} V_{1b} + Y_{12} V_{1a} V_{2b} - Y_{11} V_{1b} V_{1a} - Y_{12} V_{1b} V_{2a} \\ &\quad + Y_{21} V_{2a} V_{1b} + Y_{22} V_{2a} V_{2b} - Y_{21} V_{2b} V_{1a} - Y_{22} V_{2b} V_{2a}.\\ &= Y_{12} V_{1a} V_{2b} - Y_{12} V_{1b} V_{2a} + Y_{21} V_{1b} V_{2a} - Y_{21} V_{1a} V_{2b} \\ &= (Y_{12} - Y_{21}) V_{1a} V_{2b} + (-Y_{12} + Y_{21}) V_{1b} V_{2a} \\ &= (Y_{12} - Y_{21}) V_{1a} V_{2b} - (Y_{12} - Y_{21}) V_{1b} V_{2a} \\ &= (Y_{12} - Y_{21}) (V_{1a} V_{2b} - V_{1b} V_{2a}). \end{aligned} V1aI1b−V1bI1a+V2aI2b−V2bI2a=Y11V1aV1b+Y12V1aV2b−Y11V1bV1a−Y12V1bV2a+Y21V2aV1b+Y22V2aV2b−Y21V2bV1a−Y22V2bV2a.=Y12V1aV2b−Y12V1bV2a+Y21V1bV2a−Y21V1aV2b=(Y12−Y21)V1aV2b+(−Y12+Y21)V1bV2a=(Y12−Y21)V1aV2b−(Y12−Y21)V1bV2a=(Y12−Y21)(V1aV2b−V1bV2a).
( V 1 a V 2 b − V 1 b V 2 a ) ( Y 12 − Y 21 ) = 0 ( 4.35 ) (V_{1a} V_{2b} - V_{1b} V_{2a})(Y_{12} - Y_{21}) = 0 \quad (4.35) (V1aV2b−V1bV2a)(Y12−Y21)=0(4.35)
源a和b相互独立，电压 V 1 a V_{1a} V1a, V 1 b V_{1b} V1b, V 2 a V_{2a} V2a和 V 2 b V_{2b} V2b可取任意值。因此，要使式(4.35)对任意选择的源都成立，须有 Y 12 = Y 21 Y_{12} = Y_{21} Y12=Y21，又因为标为1和2的端口是任选的，于是得到通用结果
Y i j = Y j i ( 4.36 ) Y_{ij} = Y_{ji} \quad (4.36) Yij=Yji(4.36)
因此，若Y是对称矩阵，则它的逆矩阵Z也是对称的。
4.2.2 无耗网络
现在讨论**互易的无耗N端口结，**并证明阻抗和导纳矩阵元素必须是纯虚数。若网络是无耗的，则输送到网络的净实功率为零（即进出的功率流相等，网络不消耗功率）。这样， Re { P a v g } = 0 \operatorname{Re}\left\{P_{avg}\right\}=0 Re{Pavg}=0，其中（电压电流为列向量，Z的转置由于互易等于本身）：
P avg = 1 2 V t I ∗ = 1 2 ( Z I ) t I ∗ = 1 2 I t Z I ∗ P_{\text{avg}}=\frac{1}{2} V^{t} I^{*}=\frac{1}{2}(Z I)^{t} I^{*}=\frac{1}{2} I^{t} Z I^{*} Pavg=21VtI∗=21(ZI)tI∗=21ItZI∗
= 1 2 ( I 1 Z 11 I 1 ∗ + I 1 Z 12 I 2 ∗ + I 2 Z 21 I 1 ∗ + ⋯ ) =\frac{1}{2}\left(I_{1} Z_{11} I_{1}^{*}+I_{1} Z_{12} I_{2}^{*}+I_{2} Z_{21} I_{1}^{*}+\cdots\right) =21(I1Z11I1∗+I1Z12I2∗+I2Z21I1∗+⋯)
= 1 2 ∑ n = 1 N ∑ m = 1 N I m Z m n I n ∗ =\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{N} \sum_{m=1}^{N} I_{m} Z_{m n} I_{n}^{*} =21n=1∑Nm=1∑NImZmnIn∗
式中用到了矩阵代数的结果 ( A B ) = B t A t (AB)=B^{t}A^{t} (AB)=BtAt。因为各个 I n I_{n} In是独立的，要满足功率的实部为零必须让每个自乘项 ( I n Z n n I n ∗ ) \left(I_{n} Z_{nn} I_{n}^{*}\right) (InZnnIn∗)的实部等于零，由于各个电流具有独立的地位，为了通用性，讨论第n项电流不为零的情况，其他所有端口的电流可暂时不管。所以有
Re { I n Z n n I n ∗ } = ∣ I n ∣ 2 Re { Z n n } = 0 \operatorname{Re}\left\{I_{n} Z_{nn} I_{n}^{*}\right\}=\left|I_{n}\right|^{2} \operatorname{Re}\left\{Z_{nn}\right\}=0 Re{InZnnIn∗}=∣In∣2Re{Znn}=0
或
Re { Z n n } = 0 ( 4.38 ) \operatorname{Re}\left\{Z_{nn}\right\}=0 \quad (4.38) Re{Znn}=0(4.38)
可以根据(4.38)推广对任意的电流 I m I_{m} Im和 I n I_{n} In**(其他电流为零时)**，有
Re { ( I n I m ∗ + I m I n ∗ ) Z m n } = 0 \operatorname{Re}\left\{\left(I_{n} I_{m}^{*}+I_{m} I_{n}^{*}\right) Z_{mn}\right\}=0 Re{(InIm∗+ImIn∗)Zmn}=0
因为互易有 Z m n = Z n m Z_{mn}=Z_{nm} Zmn=Znm。然而， ( I n I m ∗ + I m I n ∗ ) \left(I_{n} I_{m}^{*}+I_{m} I_{n}^{*}\right) (InIm∗+ImIn∗)是纯实量，一般它不为零。这样，就必须有
Re { Z m n } = 0 ( 4.39 ) \operatorname{Re}\left\{Z_{mn}\right\}=0 \quad (4.39) Re{Zmn}=0(4.39)
因此，式(4.38)和式(4.39)表明，对任意m，n有 Re { Z m n } = 0 \operatorname{Re}\left\{Z_{mn}\right\}=0 Re{Zmn}=0。读者可以证明这还会导致一个虚矩阵Y。
例题4.3 阻抗参量的计算
求图4.6所示二端口T形网络的Z参量。
图4.6 二端口T形网络
解：由式(4.28)可知， Z 11 Z_{11} Z11是端口2开路时端口1的输入阻抗：
Z 11 = V 1 I 1 ∣ I 2 = 0 = Z A + Z C Z_{11}=\left.\frac{V_{1}}{I_{1}}\right|{I{2}=0}=Z_{A}+Z_{C} Z11=I1V1 I2=0=ZA+ZC
当电流 I 2 I_{2} I2加到端口2时测量端口1上的开路电压，就可求出转移阻抗 Z 12 Z_{12} Z12。利用电阻上的分压可得
Z 12 = V 1 I 2 ∣ I 1 = 0 = V 2 I 2 Z C Z B + Z C = Z C Z_{12}=\left.\frac{V_{1}}{I_{2}}\right|{I{1}=0}=\frac{V_{2}}{I_{2}}\frac{Z_{C}}{Z_{B}+Z_{C}}=Z_{C} Z12=I2V1 I1=0=I2V2ZB+ZCZC=ZC
读者可自行证明 Z 12 = Z 21 Z_{12}=Z_{21} Z12=Z21，这表明电路是互易的。最后， Z 22 Z_{22} Z22求出为
Z 22 = V 2 I 2 ∣ I 1 = 0 = Z B + Z C Z_{22}=\left.\frac{V_{2}}{I_{2}}\right|{I{1}=0}=Z_{B}+Z_{C} Z22=I2V2 I1=0=ZB+ZC