1.5 无穷远处的极限和渐近线

在路上看风景2026-01-28 19:11

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极限的三种经典趋势

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函数的图形离原点的距离越来越远时, 图形与某些直线非常非常接近0, 那我们就说这个函数

非常非常接近这个直线, 将这个直线称为图形的渐近线(注: 渐近线可以与图形相交)

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1).水平渐近线是平行于x轴的直线, 形式为y = k, 它本质上是斜渐近线当斜率m = 0时的特殊

情况; 若直线y = k是函数y = f(x)的水平渐近线, 则满足以下任一极限条件:

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核心特征: 当x趋向正无穷或负无穷时, 函数图像会无限贴近直线y = k, 但不会与该直线相交;

一个函数最多有两条水平渐近线

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2).垂直渐近线是垂直于x轴的直线(形式x = a),满足以下任一条件

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核心特征: 函数在x = a处无定义, 且当x无限靠近a时, 函数值会无限增大/减小, 图像会无限

贴近直线x = a但永远不会相交

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3).斜渐近线

函数y = f(x)的斜渐近线y = m * x + k, 则满足lim x->∞ (f(x) - m * x - k) = 0

或lim x->-∞ (f(x) - m * x - k) = 0(注: m = 0, 则该直线是水平渐近线)

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斜渐近线的计算方法

a.计算斜率m

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b.计算截距k

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示例

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思路: ∞−∞ 是未定式, 需要通过有理化转化为可计算的形式

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e的标准极限定义

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令t = 1/n, n趋近于无穷大, 则t趋近于0

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当t足够接近0时, 可以得出