题目描述
今年是国际数学联盟确定的"200020002000------世界数学年"，又恰逢我国著名数学家华罗庚先生诞辰 909090 周年。在华罗庚先生的家乡江苏金坛，组织了一场别开生面的数学智力竞赛的活动，你的一个好朋友 XZXZXZ 也有幸得以参加。活动中，主持人给所有参加活动的选手出了这样一道题目：
设有一个长度为 NNN 的数字串，要求选手使用 KKK 个乘号将它分成 K+1K+1K+1 个部分，找出一种分法，使得这 K+1K+1K+1 个部分的乘积最大。
同时，为了帮助选手能够正确理解题意，主持人还举了如下的一个例子：
有一个数字串：312312312， 当 N=3N=3N=3，K=1K=1K=1 时会有以下两种分法：
-
3∗12=363*12=363∗12=36
-
31∗2=6231*2=6231∗2=62
这时，符合题目要求的结果是：31∗2=6231*2=6231∗2=62。
现在，请你帮助你的好朋友 XZXZXZ 设计一个程序，求得正确的答案。
输入格式
程序的输入共有两行：
第一行共有 222 个自然数 N,KN,KN,K。
第二行是一个长度为 NNN 的数字串。
输出格式
结果显示在屏幕上，相对于输入，应输出所求得的最大乘积（一个自然数）。
样例
输入
4 2
1231输出
62说明/提示
数据范围与约定
- 6≤N≤106≤N≤106≤N≤10，1≤K≤61≤K≤61≤K≤6
解题思路
本题采用动态规划的解法，通过状态转移逐步构建最优解。
1. 状态定义
定义状态 dp[i][j]dp[i][j]dp[i][j]：
- 含义 ：在前 iii 个数字中插入 jjj 个乘号能得到的最大乘积
- iii：前 iii 个数字（1 ≤ i ≤ N）
- jjj：插入的乘号数量（0 ≤ j ≤ K）
2. 预处理
为了快速获取任意连续子串的数值，需要预处理数组 num[l][r]num[l][r]num[l][r]：
- num[l][r]num[l][r]num[l][r] 表示从第 lll 位到第 rrr 位（包含）组成的整数
- 计算方法：num[l][r]=num[l][r−1]×10+a[r]num[l][r] = num[l][r-1] \times 10 + a[r]num[l][r]=num[l][r−1]×10+a[r]
示例 ：数字串 "123112311231"
- num[1][2]=12num[1][2] = 12num[1][2]=12
- num[2][4]=231num[2][4] = 231num[2][4]=231
3. 状态初始化
当没有乘号时（j=0j=0j=0）：
- dp[i][0]=num[1][i]dp[i][0] = num[1][i]dp[i][0]=num[1][i]（整个前 iii 位数字）
- 即：前 iii 个数字不分割，就是它本身的值
4. 状态转移方程
对于 dp[i][j]dp[i][j]dp[i][j]，我们考虑最后一个乘号的位置：
设最后一个乘号放在第 ttt 个数字之后（j≤t<ij ≤ t < ij≤t<i），则：
- 前 ttt 个数字中插入了 j−1j-1j−1 个乘号，最大乘积为 dp[t][j−1]dp[t][j-1]dp[t][j−1]
- 最后一段是从第 t+1t+1t+1 位到第 iii 位，数值为 num[t+1][i]num[t+1][i]num[t+1][i]
因此状态转移方程为：
dp[i][j]=maxt=ji−1{dp[t][j−1]×num[t+1][i]} dp[i][j] = \max_{t=j}^{i-1} \{ dp[t][j-1] \times num[t+1][i] \} dp[i][j]=t=jmaxi−1{dp[t][j−1]×num[t+1][i]}
解释：
- ttt 必须至少为 jjj：前 ttt 个数字要插入 j−1j-1j−1 个乘号，至少需要 jjj 个数字
- ttt 必须小于 iii：最后一个乘号必须在第 iii 个数字之前
5. 动态规划实现
三层循环实现：
- 外层循环：乘号数量 jjj 从 111 到 KKK
- 中层循环：数字个数 iii 从 j+1j+1j+1 到 NNN（至少需要 j+1j+1j+1 个数字才能插入 jjj 个乘号）
- 内层循环：最后一个乘号位置 ttt 从 jjj 到 i−1i-1i−1
6. 最终答案
所求的最大乘积为：
答案=dp[N][K] \text{答案} = dp[N][K] 答案=dp[N][K]
算法复杂度
- 时间复杂度 ：O(N2K)O(N^2K)O(N2K)
- 预处理：O(N2)O(N^2)O(N2)
- DPDPDP 过程：三层循环 O(N2K)O(N^2K)O(N2K)
- 由于 N≤10,K≤6N≤10, K≤6N≤10,K≤6，完全可行
- 空间复杂度 ：O(N2+NK)O(N^2 + NK)O(N2+NK)
参考代码
简洁版
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 15, K = 10;
ll num[N][N], dp[N][K];
int n, k, a[N];
string s;
void creat_num(){
for(int i = 0; i < s.size(); i ++) a[i + 1] = s[i] - '0';
for(int i = 1; i <= n; i ++)
for(int j = i; j <= n; j ++)
if(i == j) num[i][j] = a[i];
else num[i][j] = num[i][j - 1] * 10 + a[j];
}
int main(){
cin >> n >> k >> s;
creat_num();
for(int i = 1; i <= n ; i ++) dp[i][0] = num[1][i];
for(int i = 1; i <= n ; i ++)
for(int j = 1; j <= min(i - 1, k); j ++)
for(int kk = j; kk < i; kk ++)
dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[kk][j - 1] * num[kk + 1][i]);
cout << dp[n][k];
return 0;
}注释版
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll; // 定义long long类型别名
const int N = 15, K = 10;
// 定义数组：
// num[i][j]：存储从第i位到第j位（包含）组成的数字
// dp[i][j]：表示前i个数字中插入j个乘号的最大乘积
ll num[N][N], dp[N][K];
// 变量定义：
// n：数字串长度
// k：乘号数量
// a[]：将字符串转换为数字数组存储
int n, k, a[N];
string s; // 输入的数字串
// 预处理函数：生成num数组
void creat_num(){
// 将字符串转换为数字数组（1-based索引）
for(int i = 0; i < s.size(); i ++)
a[i + 1] = s[i] - '0';
// 计算所有连续子串的数值
for(int i = 1; i <= n; i ++)
for(int j = i; j <= n; j ++)
if(i == j)
num[i][j] = a[i]; // 单个数字
else
// 利用前一个结果计算当前区间数值
// 例如：num[1][3] = num[1][2] * 10 + a[3]
num[i][j] = num[i][j - 1] * 10 + a[j];
}
int main(){
// 输入数据
cin >> n >> k >> s;
// 预处理，生成num数组
creat_num();
// 初始化DP数组：没有乘号的情况
// 前i个数字没有乘号时，就是整个前i位数字的值
for(int i = 1; i <= n ; i ++)
dp[i][0] = num[1][i];
// 动态规划主过程
for(int i = 1; i <= n ; i ++) // i：前i个数字
for(int j = 1; j <= min(i - 1, k); j ++) // j：插入j个乘号（j不超过i-1和k）
for(int kk = j; kk < i; kk ++) // kk：最后一个乘号在第kk个数字之后
// 状态转移：
// 前i个数字插入j个乘号的最大值 =
// max{ 前kk个数字插入j-1个乘号的最大值 × 第kk+1到第i位数字 }
dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[kk][j - 1] * num[kk + 1][i]);
// 输出结果：前n个数字插入k个乘号的最大乘积
cout << dp[n][k];
return 0;
}