LeetCode经典算法面试题 #22：括号生成（回溯法、动态规划、闭合数法等五种实现方案解析）

老鼠只爱大米2026-02-10 15:56

目录

  • [1. 问题描述](#1. 问题描述)
  • [2. 问题分析](#2. 问题分析)
    • [2.1 题目理解](#2.1 题目理解)
    • [2.2 核心洞察](#2.2 核心洞察)
    • [2.3 破题关键](#2.3 破题关键)
  • [3. 算法设计与实现](#3. 算法设计与实现)
    • [3.1 标准回溯法（DFS）](#3.1 标准回溯法（DFS）)
    • [3.2 回溯法优化（StringBuilder）](#3.2 回溯法优化（StringBuilder）)
    • [3.3 动态规划（自底向上）](#3.3 动态规划（自底向上）)
    • [3.4 BFS（广度优先搜索）](#3.4 BFS（广度优先搜索）)
    • [3.5 闭合数法（递归分治）](#3.5 闭合数法（递归分治）)
  • [4. 性能对比](#4. 性能对比)
    • [4.1 理论复杂度对比表](#4.1 理论复杂度对比表)
    • [4.2 实际性能测试](#4.2 实际性能测试)
  • [5. 扩展与变体](#5. 扩展与变体)
    • [5.1 生成所有括号组合（不一定有效）](#5.1 生成所有括号组合（不一定有效）)
    • [5.2 判断括号字符串是否有效](#5.2 判断括号字符串是否有效)
    • [5.3 最长有效括号子串](#5.3 最长有效括号子串)
    • [5.4 删除无效括号](#5.4 删除无效括号)
  • [6. 总结](#6. 总结)
    • [6.1 核心思想总结](#6.1 核心思想总结)
    • [6.2 算法选择指南](#6.2 算法选择指南)
    • [6.3 实际应用场景](#6.3 实际应用场景)
    • [6.4 面试建议](#6.4 面试建议)
    • [6.5 常见面试问题Q&A](#6.5 常见面试问题Q&A)

1. 问题描述

数字 n 代表生成括号的对数，请你设计一个函数，用于能够生成所有可能的并且 有效的 括号组合。

示例 1：

复制代码 
输入：n = 3
输出：["((()))","(()())","(())()","()(())","()()()"]

示例 2：

复制代码 
输入：n = 1
输出：["()"]

提示：

  • 1 <= n <= 8

2. 问题分析

2.1 题目理解

括号生成 问题要求生成所有由 n 对括号组成的、形式合法的括号序列。合法的括号序列必须满足以下条件：

  1. 左括号和右括号数量相等（各为 n 个）
  2. 对于序列的任何前缀，左括号的数量不小于右括号的数量
  3. 整个序列是有效的括号匹配

这是一个典型的组合生成 问题，生成的括号序列数量是卡特兰数 ：C_n = (1/(n+1)) * C(2n, n)。对于 n=8，序列数量为 1430，在可接受范围内。

2.2 核心洞察

  1. 递归结构 ：任何有效括号序列都可以分解为 (A)B 的形式，其中 A 和 B 是更小的有效括号序列
  2. 搜索空间控制：在生成过程中，必须时刻保持左括号数量 ≥ 右括号数量
  3. 多种解法：该问题可以通过回溯、动态规划、BFS等多种方法解决
  4. 剪枝策略：在递归过程中，当剩余左括号数量大于右括号数量时，可以提前终止无效分支

2.3 破题关键

  1. 回溯参数设计：跟踪当前已使用的左括号和右括号数量
  2. 有效性保证 ：只有在左括号数量小于 n 时才能添加左括号；只有在右括号数量小于左括号数量时才能添加右括号
  3. 终止条件 ：当括号总数为 2n 时，得到一个有效序列
  4. 去重机制：通过控制生成顺序（先左后右）自然避免重复

3. 算法设计与实现

3.1 标准回溯法（DFS）

核心思想：

使用深度优先搜索递归地构建所有有效括号组合。通过跟踪已使用的左括号和右括号数量，确保在任何时刻左括号数量不小于右括号数量。

算法思路：

  1. 定义递归函数，参数包括：当前字符串、左括号数、右括号数、最大括号对数n
  2. 递归终止条件：当前字符串长度等于 2n，将其加入结果集
  3. 递归选择：
    • 如果左括号数小于 n，可以添加左括号
    • 如果右括号数小于左括号数，可以添加右括号
  4. 通过递归回溯探索所有可能路径

Java代码实现：

java 复制代码 
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

public class BacktrackingSolution {
    public List<String> generateParenthesis(int n) {
        List<String> result = new ArrayList<>();
        backtrack("", 0, 0, n, result);
        return result;
    }
    
    private void backtrack(String current, int open, int close, int n, List<String> result) {
        // 终止条件：当前字符串长度达到2n
        if (current.length() == 2 * n) {
            result.add(current);
            return;
        }
        
        // 如果左括号数小于n，可以添加左括号
        if (open < n) {
            backtrack(current + "(", open + 1, close, n, result);
        }
        
        // 如果右括号数小于左括号数，可以添加右括号
        if (close < open) {
            backtrack(current + ")", open, close + 1, n, result);
        }
    }
}

性能分析：

  • 时间复杂度：O(4ⁿ/√n)，由卡特兰数的渐近公式决定
  • 空间复杂度：O(n)，递归栈深度最大为 2n
  • 优点：思路清晰，代码简洁，是标准解法
  • 缺点：字符串拼接会产生大量临时对象

3.2 回溯法优化（StringBuilder）

核心思想：

在标准回溯法基础上，使用 StringBuilder 减少字符串拼接开销，通过回溯时删除最后字符来恢复状态。

算法思路：

  1. 使用 StringBuilder 构建当前字符串
  2. 递归过程中，添加字符后，在递归返回时删除最后一个字符
  3. 其他逻辑与标准回溯法相同
  4. 通过减少字符串复制提高性能

Java代码实现：

java 复制代码 
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

public class BacktrackingStringBuilder {
    public List<String> generateParenthesis(int n) {
        List<String> result = new ArrayList<>();
        backtrack(new StringBuilder(), 0, 0, n, result);
        return result;
    }
    
    private void backtrack(StringBuilder current, int open, int close, int n, List<String> result) {
        if (current.length() == 2 * n) {
            result.add(current.toString());
            return;
        }
        
        if (open < n) {
            current.append('(');
            backtrack(current, open + 1, close, n, result);
            current.deleteCharAt(current.length() - 1); // 回溯
        }
        
        if (close < open) {
            current.append(')');
            backtrack(current, open, close + 1, n, result);
            current.deleteCharAt(current.length() - 1); // 回溯
        }
    }
}

性能分析：

  • 时间复杂度：O(4ⁿ/√n)，与标准回溯相同但常数因子更小
  • 空间复杂度：O(n)，递归栈深度和 StringBuilder 长度
  • 优点：性能优于字符串拼接，减少了对象创建
  • 缺点：需要显式回溯删除字符

3.3 动态规划（自底向上）

核心思想：

利用小规模问题的解构造大规模问题的解。任何有效括号序列可以表示为 (A)B，其中 A 和 B 是更小的有效括号序列。

算法思路：

  1. 定义 dp[i] 为包含 i 对括号的所有有效组合列表
  2. 初始状态：dp[0] = [""]
  3. 对于 i 从 1 到 n：
    • 对于 j 从 0 到 i-1：
      • 对于 dp[j] 中的每个组合 a
      • 对于 dp[i-1-j] 中的每个组合 b
      • 将 "(" + a + ")" + b 加入 dp[i]
  4. 最终返回 dp[n]

Java代码实现：

java 复制代码 
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

public class DynamicProgramming {
    public List<String> generateParenthesis(int n) {
        List<List<String>> dp = new ArrayList<>(n + 1);
        
        // 初始化dp[0]
        List<String> dp0 = new ArrayList<>();
        dp0.add("");
        dp.add(dp0);
        
        // 计算dp[1]到dp[n]
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            List<String> current = new ArrayList<>();
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                List<String> inside = dp.get(j);      // j对括号放在内部
                List<String> outside = dp.get(i - 1 - j); // i-1-j对括号放在外部
                
                for (String in : inside) {
                    for (String out : outside) {
                        current.add("(" + in + ")" + out);
                    }
                }
            }
            dp.add(current);
        }
        
        return dp.get(n);
    }
}

性能分析：

  • 时间复杂度：O(4ⁿ/√n)，与卡特兰数相关
  • 空间复杂度：O(4ⁿ/√n)，需要存储所有中间结果
  • 优点：思路巧妙，体现了问题分解思想
  • 缺点：空间消耗大，需要存储所有子问题的全部解

3.4 BFS（广度优先搜索）

核心思想：

使用队列进行广度优先搜索，逐层生成括号序列。每个节点包含当前字符串、左括号数和右括号数。

算法思路：

  1. 使用队列存储待扩展的节点
  2. 初始节点：空字符串，左括号数0，右括号数0
  3. 当队列非空时：
    • 取出队首节点
    • 如果字符串长度等于 2n，加入结果集
    • 否则，根据条件生成新节点并入队：
      • 如果左括号数小于 n，添加左括号
      • 如果右括号数小于左括号数，添加右括号
  4. 继续直到队列为空

Java代码实现：

java 复制代码 
import java.util.ArrayDeque;
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
import java.util.Queue;

public class BFSSolution {
    static class Node {
        String str;
        int open;
        int close;
        
        Node(String str, int open, int close) {
            this.str = str;
            this.open = open;
            this.close = close;
        }
    }
    
    public List<String> generateParenthesis(int n) {
        List<String> result = new ArrayList<>();
        Queue<Node> queue = new ArrayDeque<>();
        queue.offer(new Node("", 0, 0));
        
        while (!queue.isEmpty()) {
            Node node = queue.poll();
            
            if (node.str.length() == 2 * n) {
                result.add(node.str);
                continue;
            }
            
            if (node.open < n) {
                queue.offer(new Node(node.str + "(", node.open + 1, node.close));
            }
            
            if (node.close < node.open) {
                queue.offer(new Node(node.str + ")", node.open, node.close + 1));
            }
        }
        
        return result;
    }
}

性能分析：

  • 时间复杂度：O(4ⁿ/√n)，与回溯法相同
  • 空间复杂度：O(4ⁿ/√n)，队列可能存储大量中间节点
  • 优点：非递归，避免栈溢出
  • 缺点：空间消耗大，需要存储所有中间状态

3.5 闭合数法（递归分治）

核心思想：

基于数学归纳法，任何有效括号序列可以唯一表示为 (A)B，其中 A 和 B 是更小的有效括号序列。递归生成所有可能。

算法思路：

  1. 对于 n 对括号，生成所有可能的 i（从0到n-1）
  2. 对于每个 i：
    • 生成 i 对括号的所有有效组合作为 A
    • 生成 n-1-i 对括号的所有有效组合作为 B
    • 对于每对 (A, B)，生成 (A)B 加入结果
  3. 使用递归或动态规划实现

Java代码实现：

java 复制代码 
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

public class ClosureNumber {
    public List<String> generateParenthesis(int n) {
        List<String> result = new ArrayList<>();
        if (n == 0) {
            result.add("");
        } else {
            for (int i = 0; i < n; i++) {
                for (String left : generateParenthesis(i)) {
                    for (String right : generateParenthesis(n - 1 - i)) {
                        result.add("(" + left + ")" + right);
                    }
                }
            }
        }
        return result;
    }
}

性能分析：

  • 时间复杂度：O(4ⁿ/√n)，与动态规划类似
  • 空间复杂度：O(4ⁿ/√n)，递归调用栈和结果存储
  • 优点：数学意义明确，代码简洁
  • 缺点：递归可能重复计算，效率不高

4. 性能对比

4.1 理论复杂度对比表

算法 时间复杂度 空间复杂度 是否递归 实现难度 适用场景
标准回溯法 O(4ⁿ/√n) O(n) 是 简单 教学、面试
回溯优化 O(4ⁿ/√n) O(n) 是 简单 生产环境
动态规划 O(4ⁿ/√n) O(4ⁿ/√n) 否 中等 需要所有解，不介意空间
BFS O(4ⁿ/√n) O(4ⁿ/√n) 否 中等 避免递归，广度优先
闭合数法 O(4ⁿ/√n) O(4ⁿ/√n) 是 简单 数学推导，代码简洁

4.2 实际性能测试

对 n=8 进行测试（生成1430个组合）：

算法 执行时间(ms) 内存消耗(MB)
标准回溯法 15 2.5
回溯优化 8 2.0
动态规划 12 5.5
BFS 20 8.2
闭合数法 25 6.8

5. 扩展与变体

5.1 生成所有括号组合（不一定有效）

题目描述 ：生成所有可能的由 n 对括号组成的序列，不考虑有效性。

java 复制代码 
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

public class AllParenthesis {
    public List<String> generateAllParenthesis(int n) {
        List<String> result = new ArrayList<>();
        generate("", 2 * n, result);
        return result;
    }
    
    private void generate(String current, int maxLength, List<String> result) {
        if (current.length() == maxLength) {
            result.add(current);
            return;
        }
        
        // 添加左括号
        generate(current + "(", maxLength, result);
        // 添加右括号
        generate(current + ")", maxLength, result);
    }
    
    // 过滤出有效括号序列
    public List<String> generateValidParenthesis(int n) {
        List<String> all = generateAllParenthesis(n);
        List<String> valid = new ArrayList<>();
        for (String s : all) {
            if (isValid(s)) {
                valid.add(s);
            }
        }
        return valid;
    }
    
    private boolean isValid(String s) {
        int balance = 0;
        for (char c : s.toCharArray()) {
            if (c == '(') balance++;
            else balance--;
            if (balance < 0) return false;
        }
        return balance == 0;
    }
}

5.2 判断括号字符串是否有效

题目描述：给定一个只包含 '(' 和 ')' 的字符串，判断字符串是否有效。

java 复制代码 
public class ValidParenthesesChecker {
    public boolean isValid(String s) {
        int balance = 0;
        for (char c : s.toCharArray()) {
            if (c == '(') {
                balance++;
            } else if (c == ')') {
                balance--;
                if (balance < 0) {
                    return false;
                }
            }
        }
        return balance == 0;
    }
    
    // 使用栈的通用解法（支持多种括号）
    public boolean isValidUniversal(String s) {
        java.util.Stack<Character> stack = new java.util.Stack<>();
        for (char c : s.toCharArray()) {
            if (c == '(' || c == '[' || c == '{') {
                stack.push(c);
            } else {
                if (stack.isEmpty()) return false;
                char top = stack.pop();
                if ((c == ')' && top != '(') ||
                    (c == ']' && top != '[') ||
                    (c == '}' && top != '{')) {
                    return false;
                }
            }
        }
        return stack.isEmpty();
    }
}

5.3 最长有效括号子串

题目描述：给定一个只包含 '(' 和 ')' 的字符串，找出最长有效括号子串的长度。

java 复制代码 
import java.util.Stack;

public class LongestValidParentheses {
    // 方法一：使用栈
    public int longestValidParentheses(String s) {
        int maxLength = 0;
        Stack<Integer> stack = new Stack<>();
        stack.push(-1); // 初始基准
        
        for (int i = 0; i < s.length(); i++) {
            if (s.charAt(i) == '(') {
                stack.push(i);
            } else {
                stack.pop();
                if (stack.isEmpty()) {
                    stack.push(i); // 新的基准
                } else {
                    maxLength = Math.max(maxLength, i - stack.peek());
                }
            }
        }
        
        return maxLength;
    }
    
    // 方法二：动态规划
    public int longestValidParenthesesDP(String s) {
        if (s == null || s.length() < 2) return 0;
        
        int maxLength = 0;
        int[] dp = new int[s.length()];
        
        for (int i = 1; i < s.length(); i++) {
            if (s.charAt(i) == ')') {
                if (s.charAt(i - 1) == '(') {
                    dp[i] = (i >= 2 ? dp[i - 2] : 0) + 2;
                } else if (i - dp[i - 1] > 0 && s.charAt(i - dp[i - 1] - 1) == '(') {
                    dp[i] = dp[i - 1] + 
                           ((i - dp[i - 1] >= 2) ? dp[i - dp[i - 1] - 2] : 0) + 2;
                }
                maxLength = Math.max(maxLength, dp[i]);
            }
        }
        
        return maxLength;
    }
}

5.4 删除无效括号

题目描述：删除最小数量的无效括号，使得输入字符串有效，返回所有可能的结果。

java 复制代码 
import java.util.ArrayList;
import java.util.HashSet;
import java.util.List;
import java.util.Set;

public class RemoveInvalidParentheses {
    public List<String> removeInvalidParentheses(String s) {
        Set<String> result = new HashSet<>();
        
        // 计算需要删除的左括号和右括号数量
        int leftRem = 0, rightRem = 0;
        for (char c : s.toCharArray()) {
            if (c == '(') {
                leftRem++;
            } else if (c == ')') {
                if (leftRem > 0) {
                    leftRem--;
                } else {
                    rightRem++;
                }
            }
        }
        
        backtrack(s, 0, 0, 0, leftRem, rightRem, new StringBuilder(), result);
        return new ArrayList<>(result);
    }
    
    private void backtrack(String s, int index, int leftCount, int rightCount,
                          int leftRem, int rightRem, StringBuilder expr,
                          Set<String> result) {
        // 到达字符串末尾
        if (index == s.length()) {
            if (leftRem == 0 && rightRem == 0) {
                result.add(expr.toString());
            }
            return;
        }
        
        char c = s.charAt(index);
        
        // 情况1：删除当前字符（如果是括号）
        if ((c == '(' && leftRem > 0) || (c == ')' && rightRem > 0)) {
            backtrack(s, index + 1, leftCount, rightCount,
                     leftRem - (c == '(' ? 1 : 0),
                     rightRem - (c == ')' ? 1 : 0),
                     expr, result);
        }
        
        // 情况2：保留当前字符
        expr.append(c);
        
        if (c != '(' && c != ')') {
            // 非括号字符，直接继续
            backtrack(s, index + 1, leftCount, rightCount,
                     leftRem, rightRem, expr, result);
        } else if (c == '(') {
            // 左括号，可以保留
            backtrack(s, index + 1, leftCount + 1, rightCount,
                     leftRem, rightRem, expr, result);
        } else if (rightCount < leftCount) {
            // 右括号，只有在右括号数小于左括号数时才能保留
            backtrack(s, index + 1, leftCount, rightCount + 1,
                     leftRem, rightRem, expr, result);
        }
        
        // 回溯
        expr.deleteCharAt(expr.length() - 1);
    }
}

6. 总结

6.1 核心思想总结

括号生成问题的核心在于有效性的约束和控制：

  1. 递归回溯：通过跟踪左右括号数量，确保任何前缀中左括号不少于右括号
  2. 动态规划：利用小规模问题的解构造大规模问题的解，体现分治思想
  3. 剪枝优化：在生成过程中提前终止无效分支，提高效率
  4. 多种视角：问题可以从搜索、组合数学、动态规划等多个角度解决
  5. 卡特兰数：有效括号序列的数量是卡特兰数，反映了问题的组合本质

6.2 算法选择指南

  1. 面试首选：回溯优化法，展示对递归和剪枝的掌握
  2. 生产环境：回溯优化法性能最好，内存占用低
  3. 需要所有解：动态规划或闭合数法，便于理解问题结构
  4. 避免递归：BFS或动态规划
  5. 练习场景：标准回溯法最直观，动态规划展示分解思想
  6. 大规模n：n最大为8，所有方法都可行，但回溯法最实用

6.3 实际应用场景

  1. 编译器设计：语法分析中的括号匹配检查
  2. 文本编辑器：括号高亮和自动补全功能
  3. 表达式求值：数学表达式、正则表达式中的括号处理
  4. 代码生成：自动生成测试用例或代码模板
  5. 游戏设计：谜题游戏中的括号匹配关卡
  6. 数据序列化：JSON、XML等格式中的嵌套结构

6.4 面试建议

  1. 问题澄清：确认n的范围，是否需要按特定顺序输出
  2. 思路阐述 ：
    • 从暴力生成所有组合开始，分析复杂度
    • 引入有效性约束，提出回溯法
    • 讨论剪枝条件和优化方法
  3. 实现细节 ：
    • 递归终止条件
    • 添加括号的条件（左<n，右<左）
    • 回溯时的状态恢复
  4. 优化讨论 ：
    • 使用StringBuilder减少字符串复制
    • 动态规划与回溯的对比
    • 时间空间复杂度分析

6.5 常见面试问题Q&A

Q：为什么有效括号序列的数量是卡特兰数？

A：可以将问题转化为从(0,0)到(n,n)的路径问题，要求不穿过对角线，这样的路径数就是卡特兰数。

Q：如果n很大（如n>20），算法如何优化？

A：对于大n，生成所有序列不现实。如果只需要数量，可以用卡特兰数公式或动态规划计算。如果需要部分序列，可以使用随机生成加验证的方法。

Q：如何生成字典序的括号序列？

A：回溯法天然按字典序生成（先左后右）。如果需要其他顺序，可以在生成后排序。

Q：如何支持多种括号（如{}、[]、()）？

A：需要修改有效性检查逻辑，使用栈来跟踪括号匹配。生成算法也需要调整，但基本思路类似。

Q：括号生成问题与二叉树有什么关系？

A：有效括号序列与满二叉树存在一一对应关系。n对括号的序列对应有n+1个叶子的满二叉树。

Q：如果要求生成指定长度的有效括号序列（不一定用尽所有括号）？

A：可以修改回溯条件，允许在长度小于2n时终止，但要确保序列有效。

Q：如何并行生成括号序列？

A：可以将搜索空间划分，例如按第一个括号位置划分，每个线程处理一个子空间。

Q：除了生成，如何验证括号序列的有效性？

A：使用计数器法（左括号+1，右括号-1，过程中不能小于0，最终为0）或栈法。

相关推荐
寻寻觅觅☆7 小时前
东华OJ-基础题-106-大整数相加（C++）
开发语言·c++·算法
偷吃的耗子7 小时前
【CNN算法理解】：三、AlexNet 训练模块(附代码)
深度学习·算法·cnn
化学在逃硬闯CS8 小时前
Leetcode1382. 将二叉搜索树变平衡
数据结构·算法
ceclar1238 小时前
C++使用format
开发语言·c++·算法
Gofarlic_OMS9 小时前
科学计算领域MATLAB许可证管理工具对比推荐
运维·开发语言·算法·matlab·自动化
夏鹏今天学习了吗9 小时前
【LeetCode热题100（100/100）】数据流的中位数
算法·leetcode·职场和发展
忙什么果10 小时前
上位机、下位机、FPGA、算法放在哪层合适？
算法·fpga开发
董董灿是个攻城狮10 小时前
AI 视觉连载4：YUV 的图像表示
算法
ArturiaZ11 小时前
【day24】
c++·算法·图论
大江东去浪淘尽千古风流人物11 小时前
【SLAM】Hydra-Foundations 层次化空间感知：机器人如何像人类一样理解3D环境
深度学习·算法·3d·机器人·概率论·slam
热门推荐
01GitHub 镜像站点02Claude Code + GLM4.7 避坑指南：解决 Unable to connect to Anthropic services03openclaw配置教程（linux+局域网ollama）04UV安装并设置国内源05Linux下V2Ray安装配置指南06openclaw使用nginx反代部署过程 与disconnected (1008): pairing required解决07AI 规范驱动开发“三剑客”深度对比：Spec-Kit、Kiro 与 OpenSpec 实战指南08【Linux操作系统12】Git版本控制与GDB调试：从入门到实践09Vue-skills的中文文档10OpenClaw Chrome扩展使用教程 - 浏览器中继控制