【期望 DFS】P9428 [蓝桥杯 2023 国 B] 逃跑

本文涉及知识点

数学
C++DFS

P9428 [蓝桥杯 2023 国 B] 逃跑

题目描述

小明所在星系有 n n n 颗星球，编号为 1 1 1 到 n n n。这些星球通过 n − 1 n-1 n−1 条无向边连成一棵树。根结点为编号为 1 1 1 的星球。

为了在星际战争到来时逃到其他星系，小明在根结点设置了逃离用的传送门。每个星球的人只需要一直往父结点星球移动就可以抵达根结点。为了方便各个星球的人去往根结点，小明将其中 m m m 个星球设置为了跳板星球。在从某个星球去往根结点的路径上，当一个人经过任意星球（包括起点星球）时，他可以尝试直接跳跃到 其前往根结点路径上的除当前星球以外的第一个跳板星球 ，其时间花费和走到父结点星球的时间花费相同，都是 1 1 1 单位时间。

然而，因为技术问题，向跳板星球的跳跃并不一定成功，每一次跳跃都有 p p p 的概率失败，并转而跳跃到当前星球的父结点星球（相当于直接走到父结点星球）；同时此跳板星球失效，将 不再视为跳板星球。

为了衡量移动效率，小明想知道，如果一个人在这 n n n 颗星球中随机选择一颗出发前往根结点，其花费的最短时间的期望是多少单位时间？

输入格式

输入共 n + 1 n + 1 n+1 行，第一行为两个正整数 n n n、 m m m 和一个浮点数 p p p。

后面 n − 1 n - 1 n−1 行，每行两个正整数 x i , y i x_i,y_i xi,yi 表示第 i i i 条边的两个端点。

最后一行，共 m m m 个正整数表示所有跳板星球的编号。

输出格式

一行，一个浮点数，表示答案（请保留两位小数）。

输入输出样例 #1

输入 #1

4 1 0.2
1 2
2 3
3 4
2

输出 #1

1.30

说明/提示

样例说明

从 1 1 1 号星球出发的时间花费为 0 0 0；

从 2 2 2 号星球出发的时间花费为 1 1 1；

从 3 3 3 号星球出发的时间花费为 2 2 2；

从 4 4 4 号星球出发的时间花费为 0.8 × 2 + 0.2 × 3 = 2.2 0.8 \times 2 + 0.2 \times 3 = 2.2 0.8×2+0.2×3=2.2。

所以期望时间为 0 + 1 + 2 + 2.2 4 = 1.3 \dfrac{0+1+2+2.2}{4}=1.3 40+1+2+2.2=1.3。

评测用例规模与约定

• 对于 30 % 30\% 30% 的数据，保证 1 ≤ n ≤ 2000 1 \le n \le 2000 1≤n≤2000。
• 对于 100 % 100\% 100% 的数据，保证 1 ≤ n ≤ 10 6 1 \le n \le 10^6 1≤n≤106， 1 ≤ m ≤ n 1 \le m \le n 1≤m≤n， 0 < p < 1 0 < p < 1 0<p<1。

第十四届蓝桥杯大赛软件赛决赛 C/C++ 大学 B 组 J 题

[蓝桥杯 2023 国 B] 逃跑 期望 DFS 或BFS

令dp[u]节点u到根节点的期望时间。dp[根节点]=0。

v是u的父节点。如果v是跳板星球。则dp[u]= dp[v]+1。无论是否跳，无论跳跃是否成功，都需要花费1单位时间到达v。

如果v不是跳跃星球。如果第一次跳跃成功，u、v都到达第一个跳跃星期；如果失败，u=v,v等于v的父节点，v不是跳跃星球。继续迭代。

v的祖先中有cnt个跳跃星球，只要有一个跳跃成功，v和v到根节点的时间一样。这样cnt次跳跃全部失败，才多花一单位时间。即dp[u] = dp[v]+ P c n t P^{cnt} Pcnt

特例：cnt是0，也符合此公式。

建立临接表,DFS(cur,par,fail) fail= P c n t P^{cnt} Pcnt

代码

核心代码

#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>
#include<array>

#include <bitset>
using namespace std;

template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {
	in >> pr.first >> pr.second;
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t);
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);
	return in;
}

template<class T = int>
vector<T> Read() {
	int n;
	cin >> n;
	vector<T> ret(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> ret[i];
	}
	return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> ReadNotNum() {
	vector<T> ret;
	T tmp;
	while (cin >> tmp) {
		ret.emplace_back(tmp);
		if ('\n' == cin.get()) { break; }
	}
	return ret;
}

template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {
	vector<T> ret(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> ret[i];
	}
	return ret;
}

template<int N = 1'000'000>
class COutBuff
{
public:
	COutBuff() {
		m_p = puffer;
	}
	template<class T>
	void write(T x) {
		int num[28], sp = 0;
		if (x < 0)
			*m_p++ = '-', x = -x;

		if (!x)
			*m_p++ = 48;

		while (x)
			num[++sp] = x % 10, x /= 10;

		while (sp)
			*m_p++ = num[sp--] + 48;
		AuotToFile();
	}
	void writestr(const char* sz) {
		strcpy(m_p, sz);
		m_p += strlen(sz);
		AuotToFile();
	}
	inline void write(char ch)
	{
		*m_p++ = ch;
		AuotToFile();
	}
	inline void ToFile() {
		fwrite(puffer, 1, m_p - puffer, stdout);
		m_p = puffer;
	}
	~COutBuff() {
		ToFile();
	}
private:
	inline void AuotToFile() {
		if (m_p - puffer > N - 100) {
			ToFile();
		}
	}
	char  puffer[N], * m_p;
};

template<int N = 1'000'000>
class CInBuff
{
public:
	inline CInBuff() {}
	inline CInBuff<N>& operator>>(char& ch) {
		FileToBuf();
		while (('\r' == *S) || ('\n' == *S) || (' ' == *S)) { S++; }//忽略空格和回车
		ch = *S++;
		return *this;
	}
	inline CInBuff<N>& operator>>(int& val) {
		FileToBuf();
		int x(0), f(0);
		while (!isdigit(*S))
			f |= (*S++ == '-');
		while (isdigit(*S))
			x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
		val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行		
		return *this;
	}
	inline CInBuff& operator>>(long long& val) {
		FileToBuf();
		long long x(0); int f(0);
		while (!isdigit(*S))
			f |= (*S++ == '-');
		while (isdigit(*S))
			x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
		val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2>
	inline CInBuff& operator>>(pair<T1, T2>& val) {
		*this >> val.first >> val.second;
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2, class T3>
	inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3>& val) {
		*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val);
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2, class T3, class T4>
	inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3, T4>& val) {
		*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val) >> get<3>(val);
		return *this;
	}
	template<class T = int>
	inline CInBuff& operator>>(vector<T>& val) {
		int n;
		*this >> n;
		val.resize(n);
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			*this >> val[i];
		}
		return *this;
	}
	template<class T = int>
	vector<T> Read(int n) {
		vector<T> ret(n);
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			*this >> ret[i];
		}
		return ret;
	}
	template<class T = int>
	vector<T> Read() {
		vector<T> ret;
		*this >> ret;
		return ret;
	}
private:
	inline void FileToBuf() {
		const int canRead = m_iWritePos - (S - buffer);
		if (canRead >= 100) { return; }
		if (m_bFinish) { return; }
		for (int i = 0; i < canRead; i++)
		{
			buffer[i] = S[i];//memcpy出错			
		}
		m_iWritePos = canRead;
		buffer[m_iWritePos] = 0;
		S = buffer;
		int readCnt = fread(buffer + m_iWritePos, 1, N - m_iWritePos, stdin);
		if (readCnt <= 0) { m_bFinish = true; return; }
		m_iWritePos += readCnt;
		buffer[m_iWritePos] = 0;
		S = buffer;
	}
	int m_iWritePos = 0; bool m_bFinish = false;
	char buffer[N + 10], * S = buffer;
};

class CNeiBo
{
public:
	static vector<vector<int>> Two(int n, const vector<pair<int, int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0)
	{
		vector<vector<int>>  vNeiBo(n);
		for (const auto& [i1, i2] : edges)
		{
			vNeiBo[i1 - iBase].emplace_back(i2 - iBase);
			if (!bDirect)
			{
				vNeiBo[i2 - iBase].emplace_back(i1 - iBase);
			}
		}
		return vNeiBo;
	}
	static vector<vector<int>> Two(int n, const vector<vector<int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0)
	{
		vector<vector<int>>  vNeiBo(n);
		for (const auto& v : edges)
		{
			vNeiBo[v[0] - iBase].emplace_back(v[1] - iBase);
			if (!bDirect)
			{
				vNeiBo[v[1] - iBase].emplace_back(v[0] - iBase);
			}
		}
		return vNeiBo;
	}
	static vector<vector<std::pair<int, int>>> Three(int n, vector<vector<int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0)
	{
		vector<vector<std::pair<int, int>>> vNeiBo(n);
		for (const auto& v : edges)
		{
			vNeiBo[v[0] - iBase].emplace_back(v[1] - iBase, v[2]);
			if (!bDirect)
			{
				vNeiBo[v[1] - iBase].emplace_back(v[0] - iBase, v[2]);
			}
		}
		return vNeiBo;
	}
	static vector<vector<std::pair<int, int>>> Three(int n, const vector<tuple<int, int, int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0)
	{
		vector<vector<std::pair<int, int>>> vNeiBo(n);
		for (const auto& [u, v, w] : edges)
		{
			vNeiBo[u - iBase].emplace_back(v - iBase, w);
			if (!bDirect)
			{
				vNeiBo[v - iBase].emplace_back(u - iBase, w);
			}
		}
		return vNeiBo;
	}
	static vector<vector<int>> Mat(vector<vector<int>>& neiBoMat)
	{
		vector<vector<int>> neiBo(neiBoMat.size());
		for (int i = 0; i < neiBoMat.size(); i++)
		{
			for (int j = i + 1; j < neiBoMat.size(); j++)
			{
				if (neiBoMat[i][j])
				{
					neiBo[i].emplace_back(j);
					neiBo[j].emplace_back(i);
				}
			}
		}
		return neiBo;
	}
};

class Solution {
public:
	double Ans(const int N, double P, vector<pair<int, int>>& edge, vector<int>& a) {
		vector<bool > is(N);
		for (const auto& i : a) { is[i - 1] = true; }
		auto neiBo = CNeiBo::Two(N, edge, false, 1);
		vector<double> dp(N, 0);
		function<void(int, int, double)> DFS = [&](int cur, int par, double fail) {
			if (-1 == par) {

			}
			else if (is[par]) {
				dp[cur] = dp[par] + 1;
			}
			else {
				dp[cur] = dp[par] + fail;
			}
			for (const auto& next : neiBo[cur]) {
				if (next == par) { continue; }
				DFS(next, cur, fail * (is[cur] ? P : 1));
			}
		};
		DFS(0, -1, 1.0);
		double total = accumulate(dp.begin(), dp.end(), 0.0);
		return total / N;
	}
};

int main() {
#ifdef _DEBUG
	freopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUG	
	ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(nullptr);
	//CInBuff<> in; COutBuff<10'000'000> ob;
	int N, M;
	double P;
	cin >> N >> M  >> P;
	auto edge = Read<pair<int, int>>(N - 1);
	auto a = Read<int>(M);
#ifdef _DEBUG		
		printf("N=%d,P=%lf", N,P);
		Out(edge, ",edge=");
		Out(a,",a=");
		//Out(ab, ",ab=");
		//Out(B, "B=");
		//Out(que, "que=");
		//Out(B, "B=");
#endif // DEBUG		
		auto res = Solution().Ans(N,P,edge,a);
		printf("%.2lf", res);
		
	return 0;
};

单元测试

int N;
		double P;
		vector<pair<int, int>>edge;
		vector<int> a;
		TEST_METHOD(TestMethod01)
		{
			N = 4, P = 0.200000, edge = { {1,2},{2,3},{3,4} }, a = { 2 };
			auto res = Solution().Ans(N,P,edge,a);
			AssertEx(1.3, res);
		}

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子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。
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测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17

或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17

如无特殊说明，本算法用**C++**实现。