【算法提高篇】（五）线段树 + 分治：解锁区间问题的终极思路，从最大子段和到复杂序列操作

_OP_CHEN2026-02-20 9:32

目录

前言

[一、为什么需要 "线段树 + 分治"？](#一、为什么需要 “线段树 + 分治”？)

二、核心原理：线段树节点该维护哪些分治信息？

[三、实战入门：最大子段和（洛谷 P4513 小白逛公园）](#三、实战入门：最大子段和（洛谷 P4513 小白逛公园）)

[3.1 题目要求](#3.1 题目要求)

[3.2 结构体与核心函数设计](#3.2 结构体与核心函数设计)

[3.2.1 结构体定义](#3.2.1 结构体定义)

[3.2.2 pushup：分治整合左右孩子信息](#3.2.2 pushup：分治整合左右孩子信息)

[3.2.3 build：建树](#3.2.3 build：建树)

[3.2.4 modify：单点修改](#3.2.4 modify：单点修改)

[3.2.5 query：区间查询（分治整合结果）](#3.2.5 query：区间查询（分治整合结果）)

[3.3 完整 AC 代码](#3.3 完整 AC 代码)

[3.4 代码测试与验证](#3.4 代码测试与验证)

题目输入示例：

手动计算过程：

[四、进阶挑战：01 序列的复杂分治维护（洛谷 P2572 [SCOI2010] 序列操作）](#四、进阶挑战：01 序列的复杂分治维护（洛谷 P2572 [SCOI2010] 序列操作）)

[4.1 题目要求](#4.1 题目要求)

[4.2 核心分析](#4.2 核心分析)

[4.2.1 结构体设计](#4.2.1 结构体设计)

[4.2.2 核心辅助函数](#4.2.2 核心辅助函数)

（1）pushup：分治整合左右孩子信息

（2）lazy：处理懒标记，更新当前节点信息

（3）pushdown：下放懒标记

[4.2.3 建树、修改、查询操作](#4.2.3 建树、修改、查询操作)

（1）build：建树

[（2）modify：区间修改（支持置 0、置 1、取反）](#（2）modify：区间修改（支持置 0、置 1、取反）)

[（3）query：区间查询（支持查询 1 的个数、最长连续 1 长度）](#（3）query：区间查询（支持查询 1 的个数、最长连续 1 长度）)

[4.3 完整 AC 代码](#4.3 完整 AC 代码)

[五、"线段树 + 分治" 的通用解题框架](#五、“线段树 + 分治” 的通用解题框架)

[5.1 步骤 1：分析分治所需的信息](#5.1 步骤 1：分析分治所需的信息)

[5.2 步骤 2：设计 pushup 函数](#5.2 步骤 2：设计 pushup 函数)

[5.3 步骤 3：处理懒标记（如有修改操作）](#5.3 步骤 3：处理懒标记（如有修改操作）)

[5.4 步骤 4：实现建树、修改、查询](#5.4 步骤 4：实现建树、修改、查询)

六、高频易错点总结

[6.1 分治信息维护不全](#6.1 分治信息维护不全)

[6.2 pushup 函数逻辑错误](#6.2 pushup 函数逻辑错误)

[6.3 懒标记优先级处理错误](#6.3 懒标记优先级处理错误)

[6.4 懒标记下放顺序错误](#6.4 懒标记下放顺序错误)

[6.5 数据类型溢出](#6.5 数据类型溢出)

总结

前言

线段树的核心是分治思想 ------ 将大区间拆分为小区间，通过维护子区间信息拼凑出父区间结果。但当遇到最大子段和这类无法用单一数值维护的问题时，基础线段树就显得力不从心。而 "线段树 + 分治" 的组合，通过让线段树节点维护更丰富的分治相关信息，再利用分治思想整合结果，完美解决了这类复杂区间问题。

本文将从经典的最大子段和问题入手，深入拆解线段树与分治的结合逻辑，手把手实现 "小白逛公园" 模板题，再拓展到更复杂的 01 序列操作，让你彻底掌握这种进阶思路！下面就让我们正式开始吧！

一、为什么需要 "线段树 + 分治"？

先看一个经典问题：给定一个序列，支持两种操作 ------ 修改某个元素的值、查询某个区间内的最大子段和（连续子序列的最大和）。

如果用暴力解法，查询时遍历所有子段，时间复杂度 O (n²)，面对 10⁵级别的数据直接超时；如果用基础线段树，只维护区间和、最大值，根本无法拼凑出 "连续子段" 的最大和 ------ 因为最大子段可能横跨左右两个子区间，仅靠左右孩子的最大值无法计算。

核心痛点：复杂区间问题的结果，往往需要结合 "左区间内部""右区间内部""跨区间" 三种情况，基础线段树的单一信息维护无法覆盖。

而分治思想恰好能解决这个问题：对于一个区间的最大子段和，无非是三种情况的最大值：

  1. 完全在左子区间内；
  2. 完全在右子区间内；
  3. 横跨左右子区间（左子区间的后缀最大和 + 右子区间的前缀最大和）。

"线段树 + 分治" 的核心思路就是：让线段树的每个节点，维护分治所需的关键信息（如区间和、前缀最大和、后缀最大和、区间内最大子段和），查询时通过分治逻辑整合这三种情况的结果，最终得到答案。

二、核心原理：线段树节点该维护哪些分治信息？

以最大子段和问题为例，我们需要线段树的每个节点维护以下 4 类信息，才能通过分治整合出父区间的结果：

  1. sum：当前区间的总和 ------ 用于计算跨区间子段和（左后缀 + 右前缀）；
  2. lmax：当前区间以左端点为起点的最大子段和（前缀最大和）；
  3. rmax：当前区间以右端点为终点的最大子段和（后缀最大和）；
  4. max：当前区间内的最大子段和（最终需要的结果）。

这四类信息的分治整合逻辑（pushup 函数）是关键，我们用公式明确：

  • 父区间总和 = 左孩子总和 + 右孩子总和；
  • 父区间前缀最大和 = max (左孩子前缀最大和，左孩子总和 + 右孩子前缀最大和)；
  • 父区间后缀最大和 = max (右孩子后缀最大和，右孩子总和 + 左孩子后缀最大和)；
  • 父区间最大子段和 = max (左孩子最大子段和，右孩子最大子段和，左孩子后缀最大和 + 右孩子前缀最大和)。

通过这些信息，就能完整覆盖分治的三种情况，这就是 "线段树 + 分治" 的核心原理。

三、实战入门：最大子段和（洛谷 P4513 小白逛公园）

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P4513

3.1 题目要求

给定 n 个公园的打分，支持两种操作：

  1. 修改某个公园的打分；
  2. 查询区间 [a,b] 内的最大子段和（a 可能大于 b，需交换）。

3.2 结构体与核心函数设计

3.2.1 结构体定义

每个节点维护 sum、lmax、rmax、max 四个分治信息，以及区间边界 l/r：

cpp 复制代码 
typedef long long LL;
const int N = 5e5 + 10;
const int INF = 1e18;

struct Node {
    int l, r;
    LL sum;    // 区间总和
    LL lmax;   // 前缀最大和（以l为起点）
    LL rmax;   // 后缀最大和（以r为终点）
    LL max;    // 区间内最大子段和
} tr[N << 2];

int a[N];  // 原始数组（公园打分）

3.2.2 pushup：分治整合左右孩子信息

这是最核心的函数，严格按照之前的公式实现：

cpp 复制代码 
// 用左孩子l和右孩子r，更新父节点p的信息
void pushup(Node& p, Node& l, Node& r) {
    // 1. 父区间总和 = 左总和 + 右总和
    p.sum = l.sum + r.sum;
    // 2. 父前缀最大和 = max(左前缀, 左总和+右前缀)
    p.lmax = max(l.lmax, l.sum + r.lmax);
    // 3. 父后缀最大和 = max(右后缀, 右总和+左后缀)
    p.rmax = max(r.rmax, r.sum + l.rmax);
    // 4. 父最大子段和 = max(左max, 右max, 左后缀+右前缀)
    p.max = max(max(l.max, r.max), l.rmax + r.lmax);
}

3.2.3 build：建树

叶子节点的信息的初始化：

  • 叶子节点区间长度为 1，sum = 原始值；
  • lmax = rmax = max = 原始值（只有一个元素，前缀、后缀、最大子段和都是它本身）；非叶子节点递归构建左右孩子后，调用 pushup 整合信息。
cpp 复制代码 
void build(int p, int l, int r) {
    tr[p].l = l;
    tr[p].r = r;
    if (l == r) {  // 叶子节点
        tr[p].sum = a[l];
        tr[p].lmax = a[l];
        tr[p].rmax = a[l];
        tr[p].max = a[l];
        return;
    }
    int mid = (l + r) >> 1;
    build(p << 1, l, mid);     // 构建左子树
    build(p << 1 | 1, mid + 1, r);  // 构建右子树
    pushup(tr[p], tr[p << 1], tr[p << 1 | 1]);  // 整合信息
}

3.2.4 modify：单点修改

修改某个位置的值后，递归更新路径上所有节点的分治信息（通过 pushup）：

cpp 复制代码 
// 将位置x的 value 改为s
void modify(int p, int x, LL s) {
    if (tr[p].l == x && tr[p].r == x) {  // 找到叶子节点
        tr[p].sum = s;
        tr[p].lmax = s;
        tr[p].rmax = s;
        tr[p].max = s;
        return;
    }
    int mid = (tr[p].l + tr[p].r) >> 1;
    if (x <= mid) modify(p << 1, x, s);  // 左子树包含x
    else modify(p << 1 | 1, x, s);       // 右子树包含x
    pushup(tr[p], tr[p << 1], tr[p << 1 | 1]);  // 更新父节点信息
}

3.2.5 query：区间查询（分治整合结果）

查询区间 [a,b] 时，返回一个 Node 结构体，包含该区间的 sum、lmax、rmax、max 信息。查询过程是分治的核心：

  1. 如果当前节点区间完全覆盖查询区间，直接返回该节点的信息；
  2. 如果查询区间只在左子树或右子树，递归查询并返回结果；
  3. 如果查询区间横跨左右子树，分别查询左子树的重叠部分（L）和右子树的重叠部分（R），然后用 pushup 整合 L 和 R 的信息，返回整合后的结果。
cpp 复制代码 
Node query(int p, int x, int y) {
    if (x <= tr[p].l && tr[p].r <= y) {  // 完全覆盖，直接返回
        return tr[p];
    }
    int mid = (tr[p].l + tr[p].r) >> 1;
    if (y <= mid) {  // 查询区间在左子树
        return query(p << 1, x, y);
    } else if (x > mid) {  // 查询区间在右子树
        return query(p << 1 | 1, x, y);
    } else {  // 横跨左右子树，分治查询后整合
        Node L = query(p << 1, x, y);    // 左子树重叠部分
        Node R = query(p << 1 | 1, x, y);  // 右子树重叠部分
        Node res;
        pushup(res, L, R);  // 整合L和R的信息
        return res;
    }
}

3.3 完整 AC 代码

cpp 复制代码 
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int N = 5e5 + 10;
const LL INF = 1e18;

struct Node {
    int l, r;
    LL sum;
    LL lmax;
    LL rmax;
    LL max;
} tr[N << 2];

int a[N];

void pushup(Node& p, Node& l, Node& r) {
    p.sum = l.sum + r.sum;
    p.lmax = max(l.lmax, l.sum + r.lmax);
    p.rmax = max(r.rmax, r.sum + l.rmax);
    p.max = max(max(l.max, r.max), l.rmax + r.lmax);
}

void build(int p, int l, int r) {
    tr[p].l = l;
    tr[p].r = r;
    if (l == r) {
        tr[p].sum = a[l];
        tr[p].lmax = a[l];
        tr[p].rmax = a[l];
        tr[p].max = a[l];
        return;
    }
    int mid = (l + r) >> 1;
    build(p << 1, l, mid);
    build(p << 1 | 1, mid + 1, r);
    pushup(tr[p], tr[p << 1], tr[p << 1 | 1]);
}

void modify(int p, int x, LL s) {
    if (tr[p].l == x && tr[p].r == x) {
        tr[p].sum = s;
        tr[p].lmax = s;
        tr[p].rmax = s;
        tr[p].max = s;
        return;
    }
    int mid = (tr[p].l + tr[p].r) >> 1;
    if (x <= mid) modify(p << 1, x, s);
    else modify(p << 1 | 1, x, s);
    pushup(tr[p], tr[p << 1], tr[p << 1 | 1]);
}

Node query(int p, int x, int y) {
    if (x <= tr[p].l && tr[p].r <= y) {
        return tr[p];
    }
    int mid = (tr[p].l + tr[p].r) >> 1;
    if (y <= mid) {
        return query(p << 1, x, y);
    } else if (x > mid) {
        return query(p << 1 | 1, x, y);
    } else {
        Node L = query(p << 1, x, y);
        Node R = query(p << 1 | 1, x, y);
        Node res;
        pushup(res, L, R);
        return res;
    }
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);

    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
    }
    build(1, 1, n);  // 根节点编号1，维护[1,n]

    while (m--) {
        int op, a, b;
        cin >> op >> a >> b;
        if (op == 1) {
            // 操作1：查询区间[a,b]的最大子段和，处理a>b的情况
            if (a > b) swap(a, b);
            Node res = query(1, a, b);
            cout << res.max << endl;
        } else {
            // 操作2：将位置a的打分改为b
            modify(1, a, b);
        }
    }

    return 0;
}

3.4 代码测试与验证

题目输入示例：

复制代码 
5 3
1
2
-3
4
5
1 2 3  // 查询[2,3]的最大子段和
2 2 -1 // 将位置2的打分改为-1
1 2 3  // 再次查询[2,3]的最大子段和

手动计算过程：

  1. 初始数组：[1,2,-3,4,5]；
  2. 第一次查询 [2,3]：区间值为 [2,-3]，最大子段和是 2（仅取 2），输出 2；
  3. 修改位置 2 为 - 1 后，数组变为 [1,-1,-3,4,5]；
  4. 第二次查询 [2,3]：区间值为 [-1,-3]，最大子段和是 - 1（仅取 - 1），输出 - 1；
  5. 输出结果与题目示例一致，代码正确。

四、进阶挑战：01 序列的复杂分治维护（洛谷 P2572 [SCOI2010] 序列操作）

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P2572

4.1 题目要求

给定 01 序列，支持五种操作：

  1. 区间 [L,R] 全部改为 0；
  2. 区间 [L,R] 全部改为 1；
  3. 区间 [L,R] 全部取反（0→1，1→0）；
  4. 查询区间 [L,R] 内 1 的个数；
  5. 查询区间 [L,R] 内最长连续 1 的长度。

4.2 核心分析

这道题的复杂度在于：

  • 存在三种区间修改操作（置 0、置 1、取反），需要设计多懒标记，且要确定优先级（置 0 / 置 1 优先级高于取反）；
  • 查询 "最长连续 1 的长度"，需要分治维护相关信息，同时还要维护 0 的对应信息（因为取反会交换 0 和 1 的属性）。

4.2.1 结构体设计

需要维护的信息（同时维护 0 和 1 的相关分治信息）：

  • 基础信息：区间边界 l/r；
  • 计数信息：s0（0 的个数）、s1（1 的个数）；
  • 分治信息 （最长连续子段）：
    • l0（以左端点为起点的最长连续 0 长度）、r0（以右端点为终点的最长连续 0 长度）、m0（区间内最长连续 0 长度）；
    • l1（以左端点为起点的最长连续 1 长度）、r1（以右端点为终点的最长连续 1 长度）、m1（区间内最长连续 1 长度）；
  • 懒标记：f（置 0 / 置 1 标记，-1 表示无，0 表示置 0，1 表示置 1）、rev（取反标记，-1 表示无，2 表示需要取反）。

4.2.2 核心辅助函数

（1）pushup：分治整合左右孩子信息

以 1 的信息为例（0 的信息逻辑相同）：

  • s1 = 左孩子 s1 + 右孩子 s1；
  • l1：如果左孩子全是 1（s0=0），则 l1 = 左孩子 s1 + 右孩子 l1；否则 l1 = 左孩子 l1；
  • r1：如果右孩子全是 1（s0=0），则 r1 = 右孩子 s1 + 左孩子 r1；否则 r1 = 右孩子 r1；
  • m1 = max (左孩子 m1, 右孩子 m1, 左孩子 r1 + 右孩子 l1)。
cpp 复制代码 
void pushup(Node& p, Node& l, Node& r) {
    // 整合0的计数和分治信息
    p.s0 = l.s0 + r.s0;
    p.l0 = (l.s1 == 0) ? (l.s0 + r.l0) : l.l0;
    p.r0 = (r.s1 == 0) ? (r.s0 + l.r0) : r.r0;
    p.m0 = max(max(l.m0, r.m0), l.r0 + r.l0);

    // 整合1的计数和分治信息
    p.s1 = l.s1 + r.s1;
    p.l1 = (l.s0 == 0) ? (l.s1 + r.l1) : l.l1;
    p.r1 = (r.s0 == 0) ? (r.s1 + l.r1) : r.r1;
    p.m1 = max(max(l.m1, r.m1), l.r1 + r.l1);
}
（2）lazy：处理懒标记，更新当前节点信息
  • 置 0 操作：将所有 1 的信息置 0，0 的信息置为区间长度，清空取反标记；
  • 置 1 操作：将所有 0 的信息置 0，1 的信息置为区间长度，清空取反标记；
  • 取反操作：交换 0 和 1 的所有信息，翻转取反标记（有则清，无则加）。
cpp 复制代码 
void lazy(Node& p, int op) {
    int len = p.r - p.l + 1;
    if (op == 0) {  // 置0操作
        p.s0 = len; p.l0 = len; p.r0 = len; p.m0 = len;
        p.s1 = 0;  p.l1 = 0;  p.r1 = 0;  p.m1 = 0;
        p.f = 0; p.rev = -1;  // 清空取反标记
    } else if (op == 1) {  // 置1操作
        p.s0 = 0;  p.l0 = 0;  p.r0 = 0;  p.m0 = 0;
        p.s1 = len; p.l1 = len; p.r1 = len; p.m1 = len;
        p.f = 1; p.rev = -1;  // 清空取反标记
    } else if (op == 2) {  // 取反操作
        // 交换0和1的所有信息
        swap(p.s0, p.s1);
        swap(p.l0, p.l1);
        swap(p.r0, p.r1);
        swap(p.m0, p.m1);
        // 翻转取反标记
        p.rev = (p.rev == 2) ? -1 : 2;
    }
}
（3）pushdown：下放懒标记

按优先级下放：先下放置 0 / 置 1 标记（优先级高），再下放取反标记，最后清空当前节点标记。

cpp 复制代码 
void pushdown(int p) {
    Node& father = tr[p];
    Node& left = tr[p << 1];
    Node& right = tr[p << 1 | 1];

    // 先下放置0/置1标记
    if (father.f != -1) {
        lazy(left, father.f);
        lazy(right, father.f);
        father.f = -1;  // 清空标记
    }

    // 再下放取反标记
    if (father.rev == 2) {
        lazy(left, 2);
        lazy(right, 2);
        father.rev = -1;  // 清空标记
    }
}

4.2.3 建树、修改、查询操作

（1）build：建树

叶子节点初始化：根据原始值，设置 0 和 1 的相关信息，懒标记初始为 - 1（无标记）。

cpp 复制代码 
void build(int p, int l, int r) {
    tr[p].l = l;
    tr[p].r = r;
    tr[p].f = -1;  // 初始无置0/置1标记
    tr[p].rev = -1;  // 初始无取反标记
    if (l == r) {
        int val = a[l];
        if (val == 0) {
            tr[p].s0 = 1; tr[p].l0 = 1; tr[p].r0 = 1; tr[p].m0 = 1;
            tr[p].s1 = 0; tr[p].l1 = 0; tr[p].r1 = 0; tr[p].m1 = 0;
        } else {
            tr[p].s0 = 0; tr[p].l0 = 0; tr[p].r0 = 0; tr[p].m0 = 0;
            tr[p].s1 = 1; tr[p].l1 = 1; tr[p].r1 = 1; tr[p].m1 = 1;
        }
        return;
    }
    int mid = (l + r) >> 1;
    build(p << 1, l, mid);
    build(p << 1 | 1, mid + 1, r);
    pushup(tr[p], tr[p << 1], tr[p << 1 | 1]);
}
（2）modify：区间修改（支持置 0、置 1、取反）
cpp 复制代码 
void modify(int p, int x, int y, int op) {
    Node& cur = tr[p];
    if (x <= cur.l && cur.r <= y) {
        lazy(cur, op);
        return;
    }
    pushdown(p);  // 下放标记
    int mid = (cur.l + cur.r) >> 1;
    if (x <= mid) modify(p << 1, x, y, op);
    if (y > mid) modify(p << 1 | 1, x, y, op);
    pushup(cur, tr[p << 1], tr[p << 1 | 1]);  // 整合信息
}
（3）query：区间查询（支持查询 1 的个数、最长连续 1 长度）

返回查询区间的 Node 结构体，按需提取 s1 或 m1。

cpp 复制代码 
Node query(int p, int x, int y) {
    Node& cur = tr[p];
    if (x <= cur.l && cur.r <= y) {
        return cur;
    }
    pushdown(p);  // 下放标记
    int mid = (cur.l + cur.r) >> 1;
    if (y <= mid) {
        return query(p << 1, x, y);
    } else if (x > mid) {
        return query(p << 1 | 1, x, y);
    } else {
        Node L = query(p << 1, x, y);
        Node R = query(p << 1 | 1, x, y);
        Node res;
        pushup(res, L, R);
        return res;
    }
}

4.3 完整 AC 代码

cpp 复制代码 
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;

struct Node {
    int l, r;
    // 0的相关信息：个数、前缀最长、后缀最长、区间最长
    int s0, l0, r0, m0;
    // 1的相关信息：个数、前缀最长、后缀最长、区间最长
    int s1, l1, r1, m1;
    // 懒标记：f（-1无，0置0，1置1），rev（-1无，2取反）
    int f, rev;
} tr[N << 2];

int a[N];

void pushup(Node& p, Node& l, Node& r) {
    // 整合0的信息
    p.s0 = l.s0 + r.s0;
    p.l0 = (l.s1 == 0) ? (l.s0 + r.l0) : l.l0;
    p.r0 = (r.s1 == 0) ? (r.s0 + l.r0) : r.r0;
    p.m0 = max(max(l.m0, r.m0), l.r0 + r.l0);

    // 整合1的信息
    p.s1 = l.s1 + r.s1;
    p.l1 = (l.s0 == 0) ? (l.s1 + r.l1) : l.l1;
    p.r1 = (r.s0 == 0) ? (r.s1 + l.r1) : r.r1;
    p.m1 = max(max(l.m1, r.m1), l.r1 + r.l1);
}

void lazy(Node& p, int op) {
    int len = p.r - p.l + 1;
    if (op == 0) {  // 置0
        p.s0 = len; p.l0 = len; p.r0 = len; p.m0 = len;
        p.s1 = 0;  p.l1 = 0;  p.r1 = 0;  p.m1 = 0;
        p.f = 0; p.rev = -1;
    } else if (op == 1) {  // 置1
        p.s0 = 0;  p.l0 = 0;  p.r0 = 0;  p.m0 = 0;
        p.s1 = len; p.l1 = len; p.r1 = len; p.m1 = len;
        p.f = 1; p.rev = -1;
    } else if (op == 2) {  // 取反
        swap(p.s0, p.s1);
        swap(p.l0, p.l1);
        swap(p.r0, p.r1);
        swap(p.m0, p.m1);
        p.rev = (p.rev == 2) ? -1 : 2;
    }
}

void pushdown(int p) {
    Node& father = tr[p];
    if (father.f == -1 && father.rev == -1) return;

    Node& left = tr[p << 1];
    Node& right = tr[p << 1 | 1];

    // 先下放置0/置1标记
    if (father.f != -1) {
        lazy(left, father.f);
        lazy(right, father.f);
        father.f = -1;
    }

    // 再下放取反标记
    if (father.rev == 2) {
        lazy(left, 2);
        lazy(right, 2);
        father.rev = -1;
    }
}

void build(int p, int l, int r) {
    tr[p].l = l;
    tr[p].r = r;
    tr[p].f = -1;
    tr[p].rev = -1;
    if (l == r) {
        int val = a[l];
        if (val == 0) {
            tr[p].s0 = 1; tr[p].l0 = 1; tr[p].r0 = 1; tr[p].m0 = 1;
            tr[p].s1 = 0; tr[p].l1 = 0; tr[p].r1 = 0; tr[p].m1 = 0;
        } else {
            tr[p].s0 = 0; tr[p].l0 = 0; tr[p].r0 = 0; tr[p].m0 = 0;
            tr[p].s1 = 1; tr[p].l1 = 1; tr[p].r1 = 1; tr[p].m1 = 1;
        }
        return;
    }
    int mid = (l + r) >> 1;
    build(p << 1, l, mid);
    build(p << 1 | 1, mid + 1, r);
    pushup(tr[p], tr[p << 1], tr[p << 1 | 1]);
}

void modify(int p, int x, int y, int op) {
    Node& cur = tr[p];
    if (x <= cur.l && cur.r <= y) {
        lazy(cur, op);
        return;
    }
    pushdown(p);
    int mid = (cur.l + cur.r) >> 1;
    if (x <= mid) modify(p << 1, x, y, op);
    if (y > mid) modify(p << 1 | 1, x, y, op);
    pushup(cur, tr[p << 1], tr[p << 1 | 1]);
}

Node query(int p, int x, int y) {
    Node& cur = tr[p];
    if (x <= cur.l && cur.r <= y) {
        return cur;
    }
    pushdown(p);
    int mid = (cur.l + cur.r) >> 1;
    if (y <= mid) {
        return query(p << 1, x, y);
    } else if (x > mid) {
        return query(p << 1 | 1, x, y);
    } else {
        Node L = query(p << 1, x, y);
        Node R = query(p << 1 | 1, x, y);
        Node res;
        pushup(res, L, R);
        return res;
    }
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);

    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
    }
    build(1, 1, n);

    while (m--) {
        int op, l, r;
        cin >> op >> l >> r;
        l++; r++;  // 题目输入下标从0开始，统一转为1开始
        if (op < 3) {
            // 操作0：置0，1：置1，2：取反
            modify(1, l, r, op);
        } else if (op == 3) {
            // 查询1的个数
            Node res = query(1, l, r);
            cout << res.s1 << endl;
        } else {
            // 查询最长连续1的长度
            Node res = query(1, l, r);
            cout << res.m1 << endl;
        }
    }

    return 0;
}

五、"线段树 + 分治" 的通用解题框架

通过以上两个例题，我们可以总结出 "线段树 + 分治" 的通用解题步骤，无论遇到哪种复杂区间问题，都可以按这个思路推导：

5.1 步骤 1：分析分治所需的信息

明确问题的结果需要覆盖哪些分治情况（如最大子段和的三种情况），进而确定每个节点需要维护的信息。例如：

  • 最长连续相同元素长度：需要维护前缀最长、后缀最长、区间最长；
  • 最大子数组乘积：需要维护前缀最大乘积、前缀最小乘积（负负得正）、后缀最大乘积、后缀最小乘积、区间最大乘积、区间乘积。

5.2 步骤 2：设计 pushup 函数

这是分治的核心，明确如何通过左右孩子的信息，整合出父节点的信息。设计时要确保覆盖所有分治情况，避免遗漏（如跨区间的情况）。

5.3 步骤 3：处理懒标记（如有修改操作）

如果涉及区间修改，需要设计对应的懒标记，并明确标记的优先级和下放逻辑。懒标记的处理不能破坏分治信息的正确性，例如取反操作需要交换 0 和 1 的所有分治信息。

5.4 步骤 4：实现建树、修改、查询

  • 建树：初始化叶子节点的分治信息，非叶子节点递归构建后调用 pushup；
  • 修改：找到目标区间后更新懒标记，路径上的节点通过 pushup 更新分治信息；
  • 查询：分治查询目标区间的子区间，通过 pushup 整合结果后返回。

六、高频易错点总结

"线段树 + 分治" 的代码复杂度较高，新手容易踩坑，以下是五大高频易错点：

6.1 分治信息维护不全

例如只维护了 1 的分治信息，忘记维护 0 的信息，导致取反操作无法实现；或遗漏跨区间的情况（如最大子段和忘记左后缀 + 右前缀）。

6.2 pushup 函数逻辑错误

这是最致命的错误，例如前缀最大和的计算错误（误将 "左总和 + 右前缀" 写成 "左前缀 + 右总和"），会导致整个分治逻辑失效。建议手动推导简单案例，验证 pushup 逻辑。

6.3 懒标记优先级处理错误

例如置 0 / 置 1 标记的优先级低于取反标记，导致置 0 后再取反的结果错误。记住：覆盖类操作（置 0 / 置 1）的优先级高于翻转类操作（取反）。

6.4 懒标记下放顺序错误

应按优先级从高到低下放标记，否则会出现标记叠加错误。例如先下放取反标记，再下放置 0 标记，会导致取反操作被置 0 操作覆盖，结果错误。

6.5 数据类型溢出

当序列长度较大或数值较大时，分治信息（如 sum）可能超过 int 范围，需用 long long 存储，避免溢出。

总结

"线段树 + 分治" 是解决复杂区间问题的终极思路，其核心在于用分治思想定义节点信息，用线段树高效维护这些信息。掌握这种思路后，无论是最大子段和、最长连续相同元素、还是复杂的 01 序列操作，都能迎刃而解。

线段树 + 分治的学习门槛较高，但一旦掌握，就能应对算法竞赛中绝大多数区间类难题。希望本文能帮你建立清晰的思路，在刷题中逐步吃透这种进阶用法，祝你在算法之路上越走越远！

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