【算法通关指南：算法基础篇】二分算法: 1.A-B 数对 2.烦恼的高考志愿

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文章目录

前言
[一、A-B 数对](#一、A-B 数对)
- 1.1题目
- [1.2 算法原理](#1.2 算法原理)
- 1.3代码
二、烦恼的高考志愿
- [2.1 题目](#2.1 题目)
- [2.2 算法原理](#2.2 算法原理)
- [2.3 代码](#2.3 代码)
总结与每日励志

前言

本文将通过两道经典二分查找例题 ------A-B 数对与烦恼的高考志愿，带你系统掌握二分查找的核心思想与实用技巧。从排序预处理到lower_bound、upper_bound的灵活运用，再到手动实现二分与边界细节处理，由浅入深讲解算法原理与代码实现，帮助你快速攻克二分查找题型，提升编程思维与解题效率

一、A-B 数对

1.1题目

链接：A-B 数对

1.2 算法原理

由于顺序不影响最终结果，所以可以先把整个数组排序，来研究是佛否有其他的性质。

由A − B = C 得：B = A − C，由于C是已知的数，我们可以从前往后枚举所有的A ，然后去前面找有多少个符合要求的B ，正好可以用二分快速查找出区间的长度。

【STL使用】

1.lower_bound：传入要查询区间的左右迭代器（注意是左闭右开的区间，如果是数组就是左右指针）以及要查询的值k，然后返回该数组中 >= k的第一个位置。

2.upper_bound ：传入要查询区间的左右迭代器（注意是左闭右开的区间，如果是数组就是左右指针）以及要查询的值k ，然后返回该数组中 > k 的第⼀个位置；

例：a = $10, 20, 20, 20, 30, 40$ ，设下标从1 开始计数，在整个数组中查询20 ：

lower_bound(a + 1, a + 1 + 6, 20) ，返回a + 2 位置的指针；

upper_bound(a + 1, a + 1 + 6, 20) ，返回a + 5 位置的指针；

然后两个指针相减，就是包含20 这个数区间的长度。

1.3代码

coffeescript 复制代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 2e5 + 10;
LL a[N];

int main()
{
	int n, c;
	cin >> n >> c;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		cin >> a[i];

	sort(a + 1,a + 1 + n);

	LL ret = 0;
	for (int i = 2; i <= n; i++)
	{
		LL b = a[i] - c;
		ret += upper_bound(a + 1,a + i + 1,b) - lower_bound(a + 1, a + 1 + i, b);
	}

	cout << ret << endl;
	return 0;
}

注：同时STL的使用范围很「局限」，查询「有序序列」的时候才有用，数组无序的时候就无法使用。但是我们的二分算法也能在「数组无序」的时候使用，只要有「二段性」即可

二、烦恼的高考志愿

2.1 题目

链接：烦恼的高考志愿

2.2 算法原理

先把学校的录取分数「排序」，然后针对每一个学生成绩，在「录取分数」中二分出≥ b的「第一个」位置pos，那么差值最小的结果要么在pos位置，要么在位置pos - 1,那么最后的不满意度求法就为：

abs(a $pos$ − b)与abs(a $pos - 1$ − b)的最小值。

注：细节问题

如果所有元素都大于b的时候，pos − 1 会在0 下标的位置，有可能结果出错；

• 如果所有元素都小于pos的时候，pos会在n的位置，此时结果倒不会出错，但是我们要想到这个细节问题，这道题不出错不代表下⼀道题不出错。

解决方法：加上两个左右护法，结果就不会出错了

2.3 代码

coffeescript 复制代码

//烦恼的高考志愿
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1e5 + 10;
LL a[N],b[N],m,n;

LL find(LL x)
{
	int l = 1, r = m;
	while (l < r)
	{
		LL mid = (l + r) / 2;
		if (a[mid] >= x)
			r = mid;
		else
			l = mid + 1;
	}
	return l;
}

int main()
{
	cin >> m >> n;

	for (int i = 1; i <= m; i++)
		cin >> a[i];
	//设置左护法
	a[0] = -1e7;
	sort(a + 1, a + 1 + m);
	
	LL ret = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		cin >> b[i];
		LL pos = find(b[i]);
		ret += min(abs(a[pos - 1] - b[i]),abs(a[pos] - b[i]));
	}

	cout << ret << endl;
	return 0;
}

总结与每日励志

✨通过两道题目，我们学会了利用排序与二分查找快速统计数对、寻找最优匹配，理解了边界处理与 STL 函数的正确使用。二分的本质是寻找二段性，代码简洁却考验思维。愿你在算法学习路上保持耐心与专注，每一次思考都在沉淀成长，永远相信美好的事情即将发生，坚持下去，终会遇见更优秀的自己。