模意义下及同余的公式整理
我们在做同余或模意义下式子的时候，可以把元素都先处理到最简，然后就基本可以用普通的算式性质了。
最简的意思是若 a>pa>pa>p，把 a←a mod pa\leftarrow a\bmod pa←amodp。
模
- a mod b=a−⌊ab⌋ba\bmod b=a-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor bamodb=a−⌊ba⌋b
- (a+b) mod p=(a mod p+b mod p) mod p(a+b)\bmod p=(a\bmod p+b\bmod p)\bmod p(a+b)modp=(amodp+bmodp)modp
- (a−b) mod p=(a mod p−(b mod p)+p) mod p(a-b)\bmod p=(a\bmod p-(b\bmod p)+p)\bmod p(a−b)modp=(amodp−(bmodp)+p)modp
- ab mod p=a mod p×b mod pab\bmod p=a\bmod p\times b\bmod pabmodp=amodp×bmodp
- kp mod p=0kp\bmod p=0kpmodp=0
若 a<0a<0a<0：
令 a=−kp+ba=-kp+ba=−kp+b。其中 kkk 为非负的整数，b<0b<0b<0。
其中 kkk 是满足 −kp≥a-kp\ge a−kp≥a 的最小整数值。
则 a≡b( mod p)a\equiv b(\bmod p)a≡b(modp)。
- 若 −p<a<0-p<a<0−p<a<0，a≡p−a( mod p)a\equiv p-a(\bmod p)a≡p−a(modp)
同余
- a≡a( mod p)a\equiv a(\bmod p)a≡a(modp)
- 若 a≡ba\equiv ba≡b，则 b≡ab\equiv ab≡a
- 若 a≡b,b≡ca\equiv b,b\equiv ca≡b,b≡c，则 a≡ca\equiv ca≡c
- 若 a≡ba\equiv ba≡b，则 a±c≡b±ca\pm c\equiv b\pm ca±c≡b±c
- 若 a≡b,c≡da\equiv b,c\equiv da≡b,c≡d，则 a±c≡b±da\pm c\equiv b\pm da±c≡b±d
- 若 a≡b( mod p)a\equiv b(\bmod p)a≡b(modp)，则 ac≡bc( mod p)ac\equiv bc(\bmod p)ac≡bc(modp)
除法（乘法逆元）：
若 xa≡1( mod p)xa\equiv 1(\bmod p)xa≡1(modp)，则称 a≡x−1( mod p)a\equiv x^{-1}(\bmod p)a≡x−1(modp)，也称 aaa 为 xxx 在模 ppp 意义下的乘法逆元。
怎么求就不用多说了，一般情况下 ppp 为质数，最小的 a=xp−2a=x^{p-2}a=xp−2。
或者 O(n)O(n)O(n) 递推求逆元。
所以模意义下的除法 ab≡ab−1( mod p)\frac{a}{b}\equiv ab^{-1}(\bmod p)ba≡ab−1(modp)。
- 所以若 ac≡bc( mod p)ac\equiv bc(\bmod p)ac≡bc(modp)，未必有 a≡b( mod p)a\equiv b(\bmod p)a≡b(modp)。