算法：查并集

#预处理 #基础算法

维护"集合"的三件套：查询/合并/判同

普通并查集

数据结构

fa $i$ :结点i的父指针，根结点指向自己
初始化：每个元素自成集合，fa $i$ =i;

三大基础操作

cpp 复制代码

void init(int n) { for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i; }

int find(int x) {                    // 路径压缩
    if(fa[x]==x) return x;
    return fa[x]=find(fa[x]);
}

void un(int x,int y) {               // 按秩/大小合并可写一行
    int fx=find(x), fy=find(y);
    if(fx!=fy) fa[fx]=fy;            // 把 fx 挂到 fy 下
}

bool same(int x,int y) { return find(x)==find(y); }

统计集合个数

cpp 复制代码

int cnt=0;
for(int i=1;i<=n;i++) if(fa[i]==i) cnt++;

扩展域查并集（关系>2种）

核心思想：把"每个元素"拆成多个域，每个域代表一种状态/关系，用偏移量存储。

经典场景：朋友&敌人（2倍域）

域1~n: 朋友身份
域n+1~2n:敌人身份

合并规则

朋友 x,y → un(x,y) 且 un(x+n,y+n)
敌人 x,y → un(x,y+n) 且 un(y,x+n)

代码模板

cpp 复制代码

const int N = 1e6 + 10;
int fa[N * 2];             // 0~n-1 为原域，n~2n-1 为"敌人域"

void init(int n) {
    for (int i = 1; i <= 2 * n; i++) fa[i] = i;
}

int find(int x) {          // 与普通版完全相同
    if (fa[x] == x) return x;
    return fa[x] = find(fa[x]);
}

void un(int x, int y) {    // 合并根，普通写法
    int fx = find(x), fy = find(y);
    if (fx != fy) fa[fx] = fy;
}

void mergeFriend(int x, int y, int n) { // 朋友：双向绑定
    un(x, y);
    un(x + n, y + n);
}

void mergeEnemy(int x, int y, int n) {  // 敌人：交叉绑定
    un(x, y + n);
    un(y, x + n);
}

bool isFriend(int x, int y) { return find(x) == find(y); }
bool isEnemy (int x, int y)  { return find(x) == find(y + n); }
bool conflict(int x, int y, int n) { // 判断是否"既友又敌"
    return isFriend(x, y) && isEnemy(x, y, n);
}

带权并查集

核心思想：给每条父边记录"权值 d $i$ "，表示 i 到父节点的某种累积量（距离、差值、高度差等）。路径压缩后 d $i$ 直接是 i → 根的累积。

数据结构

cpp 复制代码

int fa[N], d[N];   // d[i]：i 相对于父节点的权值
void init(int n) {
    for(int i=1;i<=n;i++) { fa[i]=i; d[i]=0; }
}

查询（路径压缩+累计权值）

cpp 复制代码

int find(int x) {
    if(fa[x]==x) return x;
    int root=find(fa[x]);   // 先让祖先挂到根
    d[x] += d[fa[x]];       // 累加"祖父→根"部分
    return fa[x]=root;      // 挂根，返回根
}

合并

（按题目给出的权值公式）

以 "x 到 y 的边权为 w" 为例（x 在 fx 树，y 在 fy 树）
目标：让 fx 挂到 fy，且满足d $x$ + d $fx$ + w == d $y$ → d $fx$ = d $y$ - d $x$ - w

cpp 复制代码

void un(int x,int y,int w) {   // w: x→y 的给定边权
    int fx=find(x), fy=find(y);
    if(fx==fy) return;         // 已同集合，视情况判断矛盾
    fa[fx]=fy;
    d[fx] = d[y] - d[x] - w;   // 保证公式成立
}

查询两点间量值

cpp 复制代码

int query(int x,int y) {
    int fx=find(x), fy=find(y);
    if(fx!=fy) return INF;     // 不同集合，量值未知
    return d[y] - d[x];        // 根据合并公式推导
}

选用策略

场景	用法
纯连通、集合计数	普通 UFS + 路径压缩 + 按秩合并
朋友-敌人 / 食物链	扩展域（2 倍或 3 倍）
差分、距离、相对高度	带权 UFS（维护 d\[\]）