完全平方数【Letcode279题解】

向往着的青绿色2026-03-22 9:45

这道题目是一道很好的题目，下面写两个题解 DP 和数学的

动态规划

个人理解动态规划是这样的：把 f $i$ 用 f $j$ (j<i)相关的式子进行表示，那么我们就要想着去找一个比 i 小的 j 来构造 f $i$

再审视一下这道题目，我们要用完全平方数的和来表示这个数字 i i i，那么我们可以考虑到（假设）这个 i i i 有一个完全平方数 j 2 j^2 j2 作为一部分那么我们可以写出这样的式子 i = j 2 + ( i − j 2 ) i=j^2+(i-j^2) i=j2+(i−j2)

于是乎我们就可以知道 f $i$ = 1+ f $i-j\*j$ 了这就是这道题目的动态转移方程，具体CPP代码如下

cpp 复制代码

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;

int numSquares(int n){
	vector<int> msq(n+1);
	// 不考虑 0 
	for(int i=1;i<=n;i+=1){
		int t=i;
		for(int j=1;j*j<=i;j+=1){
			t=min(t,msq[i-j*j]);
		}
		msq[i]=1+t;
	}
	return msq[n];
}

int main(){
	int n;
	cin>>n;
	cout<<numSquares(n);
	return 0;
}

拉格朗日四平方和定理

借用了letcode题解的思路

如果你数学好一点，就知道 四平方定理 这个概念：四平方和定理_百度百科

由拉格朗日证明的：每一个正整数 n 都可以表示为 4 个整数的平方和，即一定存在
x = x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 + x 4 2 x = x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2 x=x12+x22+x32+x42

根据这个定理我们就可以知道当 n = 4 k ∗ ( 8 m + 7 ) n = 4^k * (8m+7) n=4k∗(8m+7) 的时候，n只能被4个整数的平方和表示，那么接下来的情况就剩下 1，2，3个了

当 res =1的时候 n 本身就是一个完全平方数，当 res = 2 的时候可以枚举这两个整数，当res 不等于 1，2，4的时候 res 一定等于 3，由此可以得到结果

具体的Cpp语言解法如下：

cpp 复制代码

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;

bool isPerfectSquare(int n){
	int t=sqrt(n);
	return t*t==n;
}

bool isfour(int n){
	while(n%4==0){
		n/=4;
	}
	return  n%8==7;
}

int numSquare(int n){
	if(isPerfectSquare(n)){
		return 1;
	}
	if(isfour(n)){
		return 4;
	}
	for(int i=1;i*i<n;i+=1){
		int j=n-i*i;
		if(isPerfectSquare(j)){
			return 2;
		}
	}
	return 3;
}

int main(){
	int n;
	cin>>n;
	cout<<numSquare(n);
	return 0;
}