第六章 图

一、图的基本概念（选择高频，基础必背）

1. 图的定义

图是由顶点集和边集组成的非线性结构，其中：

• 顶点集：顶点的有限集合，顶点无重复，不能为空（至少1个顶点）；

• 边集：边的有限集合，边是顶点之间的关联关系，可空（空图）。

2. 图的分类

（1）按边的方向分类

• 无向图：边无方向，两个顶点之间的边没有先后顺序，边的两个顶点互为邻接点；

• 有向图：边有方向，分为弧尾和弧头，从弧尾指向弧头，两个顶点之间的双向边视为两条不同的有向边。

（2）按边的数量分类

• 稀疏图：边的数量远少于完全图的边数；

• 稠密图：边的数量接近完全图的边数；

• 完全图：任意两个顶点之间都有边相连。

• 无向完全图：边的数量等于顶点数乘以（顶点数减一）再除以二；

• 有向完全图：边的数量等于顶点数乘以（顶点数减一）（每个顶点到其他所有顶点都有一条有向边）。

（3）其他特殊图

• 网（带权图）：边上带有权值（表示距离、代价等）的图，分为无向网和有向网；

• 有向无环图：无环的有向图，是拓扑排序、关键路径的前提；

• 子图：从原图中选取部分顶点和边组成的图（顶点集是原图子集，边集是原图中对应顶点的边的子集）；

• 生成子图：包含原图所有顶点的子图；

• 生成树：属于生成子图的一种，是连通图的极小连通子图，包含原图所有顶点，且边数最少（顶点数减一条），任意添加一条边都会形成环；

• 森林：由多个互不连通的生成树组成，非连通无向图的每个连通分量都对应一棵生成树，整体构成森林。

3. 顶点的度（核心概念，计算题常考）

（1）无向图：顶点的度是与该顶点关联的边的数量（环算2度）；

（2）有向图：顶点的度等于入度加上出度；

• 入度：以该顶点为弧头的边的数量；

• 出度：以该顶点为弧尾的边的数量；

（3）握手定理（必考结论）：所有顶点的度数之和等于边数的2倍（无向图、有向图均适用），可用于判断图的合法性。

4. 连通性相关概念（选择高频，易混淆）

（1）无向图的连通性

• 连通：两个顶点之间存在一条路径；

• 连通图：图中任意两个顶点都连通；

• 连通分量：无向图中极大的连通子图（"极大"指不能再添加原图的顶点使其仍连通）；非连通无向图有多个连通分量；

• 极小连通子图：包含原图所有顶点，且边数最少的连通子图，也就是生成树，移除任意一条边都会导致图不连通。

（2）有向图的连通性

• 强连通：两个顶点之间，既存在从第一个顶点到第二个顶点的路径，也存在从第二个顶点到第一个顶点的路径；

• 强连通图：图中任意两个顶点都强连通；

• 强连通分量：有向图中极大的强连通子图；即使是强连通图，其强连通分量也只有自身；

• 弱连通图：将有向图的所有有向边改为无向边后，图是连通的，则称该有向图为弱连通图。

5. 路径与环（易混淆，选择常考）

• 路径：从一个顶点到另一个顶点的顶点序列（或边序列）；

• 简单路径：路径中所有顶点不重复；

• 回路（环）：起点和终点相同的路径；

• 简单回路：起点和终点相同，其余顶点不重复的回路；

• 路径长度：无向图中为边的数量，有向网中为边上权值之和；

• 最短路径：两个顶点之间，路径长度最小的路径（无权图中边数最少，带权图中权值之和最小）。

6. 常考结论（选择必背，直接秒杀题目）

1. 含有n个顶点的无向连通图，至少有n减1条边（生成树的边数）；若边数少于n减1，必为非连通图；

2. 含有n个顶点的无向图，最多有n乘以（n减1）再除以2条边（无向完全图）；

3. 有向图存在拓扑排序，说明该图是有向无环图，也说明图中无环；反之，有环的有向图不存在拓扑排序；

4. 生成树是连通图的极小连通子图（含所有顶点，边数最少，加任意一条边必成环）；

5. 无向图的邻接矩阵一定对称，有向图的邻接矩阵不一定对称；

6. 无向图中，连通分量的个数加上边数，大于或等于顶点数；

7. 有向无环图的拓扑排序结果不唯一，只要符合顶点间的先后约束即可；

8. 生成树中没有环，且任意两个顶点之间只有一条简单路径。

二、图的存储结构（基础，算法实现的前提）

核心要求：掌握每种存储结构的实现逻辑、优缺点、适用场景，能区分稀疏图和稠密图的存储选择。

1. 邻接矩阵（数组存储，必考）

（1）实现方式：用n行n列的二维数组表示，其中数组中对应位置元素的含义：

• 无向图：数组对应位置为1表示两个顶点之间存在边，为0表示无边；若为无向网，数组对应位置存储边的权值，无边时设为无穷大；

• 有向图：数组对应位置为1表示存在从第一个顶点到第二个顶点的弧，为0表示无弧；有向网同理，无边时设为无穷大；

• 数组对角线元素均为0（无自环，考研默认无自环）。

（2）优缺点

• 优点：查询任意两条顶点间是否有边（查边）效率高，时间复杂度为常数级；容易实现图的遍历、判断连通性；

• 缺点：空间复杂度为顶点数的平方，浪费空间（尤其稀疏图，大部分元素为0或无穷大）；添加/删除边需修改对应数组元素，效率尚可，但添加顶点需重构数组，效率低。

（3）适用场景：稠密图、需要频繁查边的场景。

2. 邻接表（链表+数组，必考）

（1）实现方式：由"顶点数组"和"邻接链表"组成：

• 顶点数组：数组的每个元素存储一个顶点的信息（如顶点编号、数据），数组下标对应顶点编号，方便快速查找顶点；

• 邻接链表：每个顶点对应一条链表，链表中的每个节点存储与该顶点相邻的顶点信息（如相邻顶点编号、边的权值），以及指向下一个相邻顶点的指针。

补充说明：无向图的邻接表中，同一条边会在两个相邻顶点的链表中各出现一次（比如顶点A和顶点B之间的边，会在A的链表中出现B，在B的链表中出现A）；有向图的邻接表中，每条弧只在弧尾顶点的链表中出现一次（比如从A指向B的弧，只在A的链表中出现B）。

（2）优缺点

• 优点：空间复杂度为顶点数加边数，节省空间（尤其稀疏图，边数少，无需存储大量无效数据）；添加/删除边只需修改对应链表，效率高；添加顶点只需在数组末尾添加元素，效率高；遍历图时，只需遍历所有顶点的邻接链表，效率高。

• 缺点：查询任意两条顶点间是否有边（查边）效率低，需要遍历对应顶点的邻接链表，时间复杂度与该顶点的度数相关；不适合频繁查边的场景。

（3）适用场景：稀疏图、需要频繁添加/删除顶点和边、需要频繁遍历图的场景。

3. 十字链表（有向图专用，了解即可）

（1）实现方式：专为有向图设计，解决邻接表查询入边不便的问题，由"顶点数组"和"弧节点"组成：

• 顶点数组：每个顶点存储两个指针，一个指向以该顶点为弧尾的第一条弧，一个指向以该顶点为弧头的第一条弧；

• 弧节点：每个弧节点存储弧尾、弧头、权值，以及两个指针（一个指向同弧尾的下一条弧，一个指向同弧头的下一条弧）。

（2）优缺点

• 优点：查询一个顶点的入边和出边都很方便，适合需要频繁查询入边的有向图操作；

• 缺点：结构复杂，实现难度大，考研仅需了解结构逻辑，不考手写实现。

（3）适用场景：有向图，且需要频繁查询入边和出边的场景（考研几乎不考应用）。

4. 邻接多重表（无向图专用，了解即可）

（1）实现方式：专为无向图设计，解决邻接表中同一条边重复存储的问题，由"顶点数组"和"边节点"组成：

• 顶点数组：每个顶点存储一个指针，指向与该顶点关联的第一条边；

• 边节点：每个边节点存储两个关联的顶点、权值，以及两个指针（分别指向与两个顶点关联的下一条边），一条边只对应一个边节点。

（2）优缺点

• 优点：避免边的重复存储，节省空间；删除边时只需修改一个边节点，效率高；

• 缺点：结构比邻接表复杂，实现难度大，考研仅需了解结构逻辑，不考手写实现。

（3）适用场景：无向图，且需要频繁删除边的场景（考研几乎不考应用）。

三、图的遍历（必考，算法基础）

核心要求：掌握两种遍历的实现思路、步骤、适用场景，牢记时间复杂度，能区分两种遍历的差异，适配大题手写步骤。

图的遍历：从图中某个顶点出发，按照一定的顺序访问图中所有顶点，且每个顶点只访问一次的过程，是后续所有图算法（最短路径、拓扑排序等）的基础。

1. 深度优先搜索（DFS，必考）

（1）核心思想：从起始顶点出发，沿着一条路径一直走到底（尽可能深地访问），直到无法继续前进（没有未访问的邻接点），再回溯到上一个顶点，继续访问其他未访问的邻接点，直到所有顶点都被访问。

（2）实现方式：两种方式均可，考研大题可任选一种，推荐递归（代码更简洁）。

• 递归实现：借助函数递归的回溯特性，访问一个顶点后，递归访问其所有未访问的邻接点；

• 栈实现：用栈存储待访问的顶点，访问一个顶点后，将其未访问的邻接点依次压入栈，再从栈顶取出顶点继续访问，直到栈为空。

（3）遍历特点：遍历顺序不唯一（取决于邻接点的访问顺序），类似树的先序遍历（先访问根节点，再递归访问子树）。

（4）时间复杂度：与存储结构相关，无关图的稠密程度。

• 邻接矩阵存储：时间复杂度为顶点数的平方（需要遍历每个顶点，每个顶点需要遍历所有其他顶点判断是否有边）；

• 邻接表存储：时间复杂度为顶点数加边数（需要遍历每个顶点，每个边会被访问两次，无向图）或一次（有向图）。

（5）应用场景：判断图的连通性（遍历结束后，若所有顶点都被访问，则图连通）；查找图中的路径；检测图中是否有环；拓扑排序的辅助实现。

2. 广度优先搜索（BFS，必考）

（1）核心思想：从起始顶点出发，先访问该顶点的所有未访问的邻接点（一层一层地访问），再依次访问每个邻接点的未访问邻接点，直到所有顶点都被访问，类似"逐层扩散"。

（2）实现方式：只能用队列实现，步骤固定。

• 步骤：将起始顶点入队，标记为已访问；然后出队，访问该顶点的所有未访问邻接点，标记为已访问并入队；重复出队、访问邻接点、入队的操作，直到队列为空。

（3）遍历特点：遍历顺序不唯一（取决于邻接点的访问顺序），类似树的层序遍历（逐层访问节点）；无权图中，用BFS遍历得到的路径是起始顶点到其他顶点的最短路径（边数最少）。

（4）时间复杂度：与深度优先搜索一致，与存储结构相关。

• 邻接矩阵存储：时间复杂度为顶点数的平方；

• 邻接表存储：时间复杂度为顶点数加边数。

（5）应用场景：判断图的连通性；求无权图的单源最短路径（起始顶点到其他所有顶点的最短路径）；分层访问图中的顶点。

3. 遍历相关注意事项（考研易错点）

• 无论DFS还是BFS，都需要设置"访问标记"（如数组），避免重复访问顶点；

• 非连通图的遍历：需要遍历所有顶点，若某个顶点未被访问，则从该顶点开始重新遍历，直到所有顶点都被访问；

• 有向图的遍历：由于边有方向，可能存在某些顶点无法被访问（即使图是弱连通的），需注意起始顶点的选择。

四、最小生成树（MST，大题高频）

核心要求：掌握两种算法的核心思想、步骤、适用场景，牢记时间复杂度，能手写大题步骤（如 Prim 算法的分步计算、Kruskal 算法的边选择过程）。

最小生成树定义：针对连通网（带权的连通图），生成树中所有边的权值之和最小的生成树，称为最小生成树。最小生成树不唯一，但权值之和一定是最小的；若连通网中所有边的权值都不相同，则最小生成树唯一。

核心性质：生成树有顶点数减一条边，且无环；最小生成树是连通网的极小连通子图，且权值之和最小。

1. Prim 算法（必考）

（1）核心思想：从一个任意选定的起始顶点出发，每次选择"已访问顶点集合"和"未访问顶点集合"之间权值最小的边，将该边对应的未访问顶点加入已访问集合，重复该过程，直到所有顶点都加入已访问集合，此时所有选中的边组成最小生成树。

简单理解："从点出发"，逐步扩大已访问顶点的范围，每次选最短的连接边。

（2）实现步骤（简化版，适配大题手写）

1. 任选一个起始顶点，标记为已访问，记录每个未访问顶点到已访问集合的最小边权；

2. 从所有未访问顶点中，选择到已访问集合边权最小的顶点，标记为已访问，将对应的边加入最小生成树；

3. 更新剩余未访问顶点到已访问集合的最小边权（若新加入的顶点与某个未访问顶点的边权，小于当前记录的最小边权，则更新）；

4. 重复步骤2和步骤3，直到所有顶点都被标记为已访问（共执行顶点数减一次，选中顶点数减一条边）。

（3）时间复杂度：主要取决于"查找最小边权"的效率，与存储结构相关。

• 邻接矩阵存储：时间复杂度为顶点数的平方（每次查找最小边权需要遍历所有未访问顶点）；

• 邻接表存储：时间复杂度为边数乘以边数的对数（需借助堆优化查找最小边权）。

（4）适用场景：稠密网（边数多，顶点数少），因为邻接矩阵存储时效率更高，无需额外优化。

2. Kruskal 算法（必考）

（1）核心思想：将连通网中所有的边按权值从小到大排序，然后依次从权值最小的边开始选择，若该边连接的两个顶点不在同一个连通分量中（避免形成环），则将该边加入最小生成树，重复该过程，直到选中顶点数减一条边，此时所有选中的边组成最小生成树。

简单理解："从边出发"，先选最短的边，避开环，直到连接所有顶点。

（2）关键辅助工具：并查集（用于判断两个顶点是否在同一个连通分量，避免形成环），考研需掌握并查集的基本操作（查找、合并）。

（3）实现步骤（简化版，适配大题手写）

1. 将连通网中所有边按权值从小到大排序；

2. 初始化并查集（每个顶点各自成为一个独立的连通分量）；

3. 依次遍历排序后的边，对于每条边，判断其连接的两个顶点是否在同一个连通分量中；

4. 若不在同一个连通分量，将该边加入最小生成树，并用并查集合并两个顶点所在的连通分量；

5. 重复步骤3和步骤4，直到选中顶点数减一条边（此时所有顶点都在同一个连通分量中）。

（4）时间复杂度：主要取决于边的排序，时间复杂度为边数乘以边数的对数（排序的时间），与顶点数无关。

（5）适用场景：稀疏网（边数少，顶点数多），因为排序的边数少，效率更高。

3. 两种算法对比（选择常考）

• 核心区别：Prim算法从顶点出发，逐步扩大连通范围；Kruskal算法从边出发，逐步合并连通分量；

• 时间复杂度：Prim算法适合稠密网，Kruskal算法适合稀疏网；

• 环的避免：Prim算法天然不会形成环（只选已访问和未访问顶点之间的边）；Kruskal算法需借助并查集避免环。

五、最短路径（必考，大题高频）

核心要求：掌握三种算法的核心思想、适用场景、时间复杂度，能手写Dijkstra算法和Floyd算法的大题步骤，明确每种算法的限制条件。

最短路径定义：从一个顶点（源点）到另一个顶点（终点）的路径中，权值之和最小的路径，分为单源最短路径（从一个源点到其他所有顶点）和多源最短路径（从所有顶点到其他所有顶点）。

1. Dijkstra 算法（单源最短路径，必考）

（1）核心思想：贪心算法，从源点出发，每次选择当前距离源点最近的未访问顶点，标记为已访问，然后更新该顶点的所有邻接点到源点的距离（若经过该顶点到邻接点的距离，小于当前记录的邻接点到源点的距离，则更新），重复该过程，直到所有顶点都被访问。

（2）限制条件：不支持负权边（若存在负权边，会导致已标记为"最短距离"的顶点，被后续负权边更新，导致算法出错）。

（3）实现步骤（简化版，适配大题手写）

1. 初始化距离数组：源点到自身的距离为0，源点到其他所有顶点的距离设为无穷大；标记所有顶点为未访问；

2. 从所有未访问顶点中，选择距离源点最近的顶点，标记为已访问；

3. 遍历该顶点的所有邻接点，计算源点经过该顶点到邻接点的距离（源点到该顶点的距离 + 该顶点到邻接点的边权）；

4. 若计算出的距离小于邻接点当前的距离，则更新邻接点的距离；

5. 重复步骤2到步骤4，直到所有顶点都被标记为已访问，此时距离数组中存储的就是源点到各顶点的最短距离。

（4）时间复杂度：与存储结构和优化方式相关。

• 邻接矩阵存储（未优化）：时间复杂度为顶点数的平方；

• 邻接表存储（堆优化）：时间复杂度为边数乘以边数的对数。

（5）适用场景：无负权边的连通网，求单源最短路径（如从某个顶点出发，求到其他所有顶点的最短距离）。

2. Floyd 算法（多源最短路径，必考）

（1）核心思想：动态规划思想，通过中间顶点逐步优化任意两个顶点之间的最短距离，即"对于任意两个顶点，若经过某个中间顶点的路径距离更短，则更新这两个顶点之间的最短距离"，重复该过程，直到所有中间顶点都被考虑。

简单理解：枚举所有中间顶点，逐步更新任意两个顶点之间的最短距离。

（2）限制条件：支持负权边，但不支持负权回路（若存在负权回路，会导致两个顶点之间的距离无限减小，算法无法终止）。

（3）实现步骤（简化版，适配大题手写）

1. 初始化距离矩阵：距离矩阵中对应位置存储两个顶点之间的直接边权，无边时设为无穷大，顶点到自身的距离为0；

2. 枚举所有中间顶点，对于每个中间顶点，枚举所有起点和终点；

3. 对于每个起点和终点，判断"起点到中间顶点的距离 + 中间顶点到终点的距离"是否小于"起点到终点的直接距离"；

4. 若小于，则更新起点到终点的距离；

5. 所有中间顶点枚举完毕后，距离矩阵中存储的就是任意两个顶点之间的最短距离。

（4）时间复杂度：固定为顶点数的立方，与边数无关，因为需要三重循环（枚举中间顶点、起点、终点）。

（5）适用场景：任意连通网（无负权回路），求多源最短路径（如求所有顶点之间的最短距离），尤其适合顶点数较少的场景（顶点数多会导致时间复杂度过高）。

3. Bellman-Ford 算法（单源最短路径，了解即可）

（1）核心思想：通过反复松弛边（更新顶点到源点的距离），逐步得到源点到其他所有顶点的最短距离，最多需要松弛顶点数减一次（因为最长的简单路径最多有顶点数减一条边）。

（2）优势：可处理负权边，还能检测负权回路（若经过顶点数减一次松弛后，仍能更新某个顶点的距离，则说明存在负权回路）。

（3）时间复杂度：时间复杂度为顶点数乘以边数，效率低于Dijkstra算法和Floyd算法。

（4）适用场景：有负权边，且需要检测负权回路的单源最短路径问题（考研考得少，主要掌握其能处理负权边、检测负权回路的特点）。

4. 三种算法对比（选择常考）

• 适用场景：Dijkstra算法（无负权边，单源）、Floyd算法（无负权回路，多源）、Bellman-Ford算法（负权边，单源，检测负权回路）；

• 时间复杂度：Floyd算法（顶点数立方）> Bellman-Ford算法（顶点数×边数）> Dijkstra算法（堆优化，边数×log边数）；

• 负权支持：Bellman-Ford算法支持负权边，Floyd算法支持负权边但不支持负权回路，Dijkstra算法不支持负权边。

六、拓扑排序（DAG专属，必考）

核心要求：掌握拓扑排序的核心思想、步骤、适用场景，能手写拓扑排序的步骤，明确其与有向无环图的关系。

拓扑排序定义：对有向无环图中的所有顶点，按照"前驱顶点先于后继顶点"的顺序进行排列，得到的顶点序列称为拓扑序列，拓扑排序就是求拓扑序列的过程。

核心前提：只有有向无环图才有拓扑排序，有环的有向图不存在拓扑排序（因为环中的顶点之间互为前驱和后继，无法确定先后顺序）。

1. 核心思想

不断选择入度为0的顶点（没有前驱顶点，可优先访问），将其输出到拓扑序列中，然后删除该顶点的所有出边（即减少其邻接点的入度），重复该过程，直到所有顶点都被输出（得到完整拓扑序列），或没有入度为0的顶点（说明图中有环，无法进行拓扑排序）。

2. 实现步骤（简化版，适配大题手写）

1. 计算图中所有顶点的入度，记录在入度数组中；

2. 初始化队列，将所有入度为0的顶点入队；

3. 当队列不为空时，执行以下操作：

a. 出队一个顶点，将其加入拓扑序列；

b. 遍历该顶点的所有出边，找到其每个邻接点，将邻接点的入度减1；

c. 若某个邻接点的入度减为0，则将其入队；

4. 遍历结束后，若拓扑序列中顶点的个数等于图中顶点的总数，则说明图是有向无环图，得到拓扑序列；若小于，则说明图中有环，无拓扑序列。

3. 时间复杂度

与图的存储结构相关，邻接矩阵存储时为顶点数的平方，邻接表存储时为顶点数加边数，与图的遍历时间复杂度一致。

4. 特点与应用场景

• 特点：拓扑序列不唯一（若有多个入度为0的顶点，可任意选择一个入队，导致序列不同）；

• 应用场景：判断有向图是否有环；处理具有先后约束的任务调度（如工程施工，某些任务必须在其他任务完成后才能进行）。

七、关键路径（AOE网专属，大题低频，了解重点）

核心要求：掌握关键路径的定义、核心概念，能计算关键活动，了解关键路径的意义，无需深入手写复杂步骤（考研大题考得少，重点在选择）。

1. 相关定义

• AOE网：边表示活动，顶点表示事件（如"某个活动开始""某个活动结束"），边上的权值表示活动的持续时间，是一个带权的有向无环图；

• 关键路径：从起点（开始事件）到终点（结束事件）的路径中，权值之和最大的路径，决定了工程的最短完成时间（因为关键路径上的活动全部完成，工程才能结束）；

• 关键活动：关键路径上的活动，若关键活动延迟完成，整个工程会延迟；若关键活动提前完成，整个工程可提前完成。

2. 核心计算（4个关键量，选择常考）

• 事件最早发生时间：从起点到该事件的最长路径长度（因为只有所有前置活动都完成，事件才能发生，取最长路径确保所有前置活动都完成）；

• 事件最晚发生时间：从终点到该事件的最长路径长度，减去该事件到终点的最长路径长度（确保不影响工程的最短完成时间）；

• 活动最早开始时间：该活动对应的起点事件的最早发生时间（事件发生后，活动才能开始）；

• 活动最晚开始时间：该活动对应的终点事件的最晚发生时间，减去该活动的持续时间（确保活动完成后，不影响后续事件的最晚发生时间）。

3. 关键活动的判断

活动最早开始时间等于活动最晚开始时间，说明该活动是关键活动（没有缓冲时间，延迟会影响工程进度）；反之，不是关键活动（有缓冲时间，轻微延迟不影响工程进度）。

4. 特点与应用场景

• 特点：关键路径不唯一，若有多条关键路径，所有关键路径上的关键活动都必须按时完成，工程才能按时结束；

• 应用场景：工程进度规划，确定工程的最短完成时间，找出关键活动，优先保障关键活动的资源供应。

八、考研易错点与高频陷阱（选择必背）

1. 混淆"连通图"与"强连通图"：无向图谈连通，有向图谈强连通，弱连通图≠强连通图；

2. 最小生成树的误区：最小生成树的权值之和最小，但边的数量一定是顶点数减一条，且无环；

3. Dijkstra算法的限制：不能处理负权边，若有负权边，需用Bellman-Ford算法；

4. 拓扑排序的前提：只有有向无环图才有拓扑排序，有环图无拓扑排序；

5. 邻接矩阵与邻接表的适用场景：稠密图用邻接矩阵，稀疏图用邻接表；

6. 握手定理的应用：所有顶点度数之和必为偶数，可用于判断图的合法性（如度数之和为奇数，必为非法图）；

7. 关键路径的误区：关键路径是权值之和最大的路径，不是最小的路径，决定工程最短完成时间。