本文涉及知识点
预备知识
证明： lim a → ∞ a x = ∞ , x > 0 \lim\limits_{a \to \infty}a^x=\infty,x>0 a→∞limax=∞,x>0
令 x 0 → 0 + , ∀ M ， A = M 1 x 0 x0\to 0^+,\forall M，A=M^{\frac 1 {x0}} x0→0+,∀M，A=Mx01
a=A 式，左式子=M。
由于 a x 0 a^{x0} ax0是单调递增，a是变量，故a>A时，左式>M。故 x → 0 + 时 x \to 0^+时 x→0+时趋于无穷大。
由于 a x , x > 0 a^x,x>0 ax,x>0可以看成若干个无穷大相乘，得证。
a x 的导数为正，故单调递增。 ( a 0 + ) ′ = 0 + a − 1 + > 0 a^x的导数为正，故单调递增。(a^{0^+})'=0^+ a^{-1+}>0 ax的导数为正，故单调递增。(a0+)′=0+a−1+>0
第一节 定积分的概念和性质
一，定积分问题举例
1，曲边梯形的面积
设y=f(x)在区间[a,b]非负且连续，由直线x=a,x=b,y=0及曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形，其中曲线弧称为曲边。由于连续，故对于任意容差 ϵ \epsilon ϵ,任意x， ∃ Δ , ∣ f ( x ) − f ( x + Δ ) ∣ < ϵ \exist \Delta,|f(x)-f(x+\Delta)|<\epsilon ∃Δ,∣f(x)−f(x+Δ)∣<ϵ,故我们将曲线梯形划分成无数个宽度为 Δ \Delta Δ的平行于y轴的细长矩形。
故曲边梯形的近似面积为： lim n → ∞ ∑ i : 0 n − 1 f ( a + Δ × i ) Δ , Δ = b − a n \lim\limits_{n \to \infty}\sum_{i:0}^{n-1} f(a+\Delta\times i)\Delta,\Delta=\frac {b-a}{n} n→∞lim∑i:0n−1f(a+Δ×i)Δ,Δ=nb−a
2,变速直线运动的路程
设某物体做直线运动，已知速度v=v(t)是时间间隔[T1,T2]上t的连续函数，且v(t)>=0，计算这段时间内物体经过的路程。路程就是曲面梯形的面积。如果v(t)可能小于0，则路程是有向面积。
定积分的定义
设函数f(x)在[a,b]上有界，且[a,b]中任意插入若干个分点
a = x 0 < x 1 < ⋯ < x n − 1 < x n = b a=x_0<x_1<\cdots <x_{n-1}<x_n=b a=x0<x1<⋯<xn−1<xn=b
把[a,b]分成若干个小区间：
x 0 , x 1 \] , \[ x 1 , x 2 \] , ⋯ , \[ x n − 1 , x n \] \[x_0,x_1\],\[x_1,x_2\],\\cdots,\[x_{n-1},x_n\] \[x0,x1\],\[x1,x2\],⋯,\[xn−1,xn
各小区间的长度分别为：
Δ x 1 = x 1 − x 0 , Δ x 2 = x 2 − x 1 ⋯ Δ x n = x n − x n − 1 \Delta x_1=x_1-x_0,\Delta x_2=x_2-x_1\cdots \Delta x_n=x_n-x_{n-1} Δx1=x1−x0,Δx2=x2−x1⋯Δxn=xn−xn−1
在各小区间 [ x i − 1 , x i ] 上任取一点 ξ ( x i − 1 ≤ ξ ≤ x i ) , 作函数值 f ( ξ ) 与小区间长度 Δ x i 的乘积 f ( ξ i ) Δ x i ( i = 1 , 2 ⋯ n ) [x_{i-1},x_i]上任取一点\xi(x_{i-1} \le \xi \leq x_i),作函数值f(\xi)与小区间长度\Delta x_i的乘积f(\xi_i)\Delta x_i(i=1,2\cdots n) [xi−1,xi]上任取一点ξ(xi−1≤ξ≤xi),作函数值f(ξ)与小区间长度Δxi的乘积f(ξi)Δxi(i=1,2⋯n)，并作出和。
S = ∑ i : 1 n f ( ξ i ) Δ x i S=\sum_{i:1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i S=∑i:1nf(ξi)Δxi
记 λ = max Δ x 1 , Δ x 2 , ⋯ , Δ x n \lambda=\max{\Delta x_1,\Delta x_2,\cdots,\Delta x_n} λ=maxΔx1,Δx2,⋯,Δxn,如果当 λ → 0 \lambda \to 0 λ→0,这和的极限总存在，且与闭区间[a,b]的分法及 ξ i \xi_i ξi的取法无关，那么这个极限I为函数f(x)在区间[a,b]的定积分（简称积分)，记作 ∫ a b f ( x ) d x \int {a}^{b}f(x)dx ∫abf(x)dx。即：
lim λ → 0 ∑ i : 1 n f ( ξ i ) Δ x i \lim\limits{\lambda\to 0}\sum_{i:1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i λ→0lim∑i:1nf(ξi)Δxi
定理1 设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。
定理2：设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限各间断点，则f(x)在[a,b]上可积。
三 定积分的计算
矩形法手工算，过于复杂。
四，定积分的性质
当a=b时， ∫ b a f ( x ) d x = 0 \int^a_bf(x)dx=0 ∫baf(x)dx=0
当 a ≠ b , ∫ a b f ( x ) d x = − ∫ b a f ( x ) d x a\neq b,\int^b_af(x)dx=-\int^a_bf(x)dx a=b,∫abf(x)dx=−∫baf(x)dx
性质1 ：当 α , β 均为常数 \alpha,\beta均为常数 α,β均为常数
∫ a b [ α f ( x ) + β g ( x ) ] d x = α ∫ a b f ( x ) d x + β ∫ a b g ( x ) d x \int^b_a[\alpha f(x)+\beta g(x)]dx=\alpha\int^b_a f(x)dx+\beta \int^b_a g(x)dx ∫ab[αf(x)+βg(x)]dx=α∫abf(x)dx+β∫abg(x)dx
性质2 ：设a<c<b，则：
∫ a b f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x \int^b_af(x)dx=\int^c_af(x)dx+\int^b_cf(x)dx ∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx
不论a,b,c的相对位置如何，性质2都成立。
性质3 ：如果在区间[a,b]上f(x) ≡ 1 \equiv 1 ≡1，那么
∫ a b 1 d x = b − a \int^b_a1dx=b-a ∫ab1dx=b−a
性质4 ：如果在区间[a,b]上 f ( x ) ≥ 0 f(x) \ge 0 f(x)≥0，那么：
∫ a b f ( x ) d x ≥ 0 ( a < b ) \int^b_af(x)dx \ge 0 (a<b) ∫abf(x)dx≥0(a<b)
推论1 ：如果在区间[a,b]上 f ( x ) ≤ g ( x ) f(x) \le g(x) f(x)≤g(x),那么
∫ a b f ( x ) d x ≤ ∫ a b g ( x ) d x ( a < b ) \int^b_af(x)dx \le \int^b_a g(x)dx (a<b) ∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx(a<b)
推论2 ： ∣ ∫ a b f ( x ) d x ∣ ≤ ∫ a b ∣ f ( x ) ∣ d x |\int^b_a f(x)dx|\le \int^b_a|f(x)|dx ∣∫abf(x)dx∣≤∫ab∣f(x)∣dx
性质5 ：设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值及最小值，则：
m ( b − a ) ≤ ∫ a b f ( x ) d x ≤ M ( b − a ) ( a < b ) m(b-a) \le \int^b_af(x)dx\le M(b-a) (a<b) m(b−a)≤∫abf(x)dx≤M(b−a)(a<b)
性质6 （定积分中值定理)：如果函数f(x)在积分区间[a,b]上连续，那么[a,b]上至少存在一个点 ξ \xi ξ，使得下式成立：
∫ a b f ( x ) d x = f ( ξ ) ( b − a ) , ( a ≤ ξ ≤ b ) \int^b_af(x)dx=f(\xi)(b-a),(a\le \xi \le b) ∫abf(x)dx=f(ξ)(b−a),(a≤ξ≤b)
第二节 微积分的基本公式
第一部分比较简单，略。
二，积分上限的函数及其导数
定理1 ：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，那么积分上限的函数
ϕ = ∫ a x f ( t ) d t \phi=\int^x_af(t)dt ϕ=∫axf(t)dt
在[a,b]上可导，并且它的导数是：
ϕ ′ ( x ) = d d x ∫ a x f ( t ) d t = f ( x ) \phi'(x)=\frac d {dx}\int^x_af(t)dt=f(x) ϕ′(x)=dxd∫axf(t)dt=f(x)
定理2 ： 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，那么函数
ϕ ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t \phi(x)=\int^x_af(t)dt ϕ(x)=∫axf(t)dt就是f(x)在[a,b]上的一个原函数。
扩展 ：
ϕ ( x ) ∫ g ( x ) h ( x ) f ( t ) d t \phi(x)\int_{g(x)}^{h(x)}f(t)dt ϕ(x)∫g(x)h(x)f(t)dt，则积分上限函数的导函数为：
f ( h ( x ) ) h ′ ( x ) − f ( g ( x ) ) g ′ ( x ) f(h(x))h'(x)-f(g(x))g'(x) f(h(x))h′(x)−f(g(x))g′(x)
三，牛顿-莱布尼茨公式
定理3（微积分基本定理) 如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]的一个原函数，那么： ∫ a b f ( x ) = F ( b ) − F ( a ) \int^b_af(x)=F(b)-F(a) ∫abf(x)=F(b)−F(a)
例8 :求 lim x → 0 ∫ cos x − 1 e − t 2 d t x 2 \lim\limits_{x\to 0}\frac{\int_{\cos x}^{-1}e^{-t^2}dt}{x^2} x→0limx2∫cosx−1e−t2dt
解： 0 0 型 \frac 0 0型 00型，用洛必达法则。
分子= − ∫ 1 cos x e − t 2 d t -\int_1^{\cos x}e^{-t^2}dt −∫1cosxe−t2dt 利用积分上限函数，则
f ( x ) = e − x 2 , g ( x ) = 1 , g ′ ( x ) = 0 , h ( x ) = cos x , h ′ ( x ) = − sin x f(x)=e^{-x^2},g(x)=1,g'(x)=0,h(x)=\cos x,h'(x)=-\sin x f(x)=e−x2,g(x)=1,g′(x)=0,h(x)=cosx,h′(x)=−sinx
故分子的导数为： 0 − e − cos 2 x ( − sin x ) = e − cos 2 x sin x 0 - e^{-\cos^2x}(-\sin x)=e^{-\cos^2x}\sin x 0−e−cos2x(−sinx)=e−cos2xsinx
当 x → 0 时，分子的导数为 e − 1 sin x x\to 0时，分子的导数为e^{-1}\sin x x→0时，分子的导数为e−1sinx,分母的导数为： 2 x 2x 2x，抵消等价无穷小。
原式= 1 2 e \frac 1 {2e} 2e1。
第三节 定积分的换元法和分部积分法
一 定积分的换元法
例1：计算 ∫ 0 a a 2 − x 2 d x ( a > 0 ) \int^a_0\sqrt{a^2-x^2}dx(a>0) ∫0aa2−x2 dx(a>0)
解：设 x = a sin t , 则 d x = a cos t d t x=a\sin t,则dx=a\cos t dt x=asint,则dx=acostdt
当x=0时，t=0;当x=a，t= π 2 \frac {\pi} 2 2π
原式= ∫ 0 π ÷ 2 a 2 − a 2 sin 2 t a cos t d t = a 2 cos 2 t d t \int^{\pi \div 2}_0\sqrt{a^2-a^2\sin^2t}a\cos t dt=a^2\cos ^2tdt ∫0π÷2a2−a2sin2t acostdt=a2cos2tdt
= a 2 2 ∫ 0 π ÷ 2 ( cos 2 t + 1 ) d t \frac{a^2}2\int^{\pi \div 2}_0(\cos 2t+1)dt 2a2∫0π÷2(cos2t+1)dt
= a 2 4 i n t 0 π ÷ 2 cos 2 t d 2 t + a 2 2 i n t 0 π ÷ 2 d t \frac{a^2}4int^{\pi \div 2}_0\cos 2td2t+\frac{a^2}2int^{\pi \div 2}_0dt 4a2int0π÷2cos2td2t+2a2int0π÷2dt
= a 2 2 [ 1 2 sin 2 t + t ] 0 π ÷ 2 \frac {a^2}2[\frac 1 2 \sin 2t + t]^{\pi \div 2}_0 2a2[21sin2t+t]0π÷2
= π a a 4 \frac{\pi a^a} 4 4πaa
例2：计算 ∫ 0 π ÷ 2 cos 5 x sin x d x \int^{\pi \div 2}_0\cos^5x\sin xdx ∫0π÷2cos5xsinxdx
解设 t = cos x t=\cos x t=cosx，则 d t = − sin x d x dt=-\sin xdx dt=−sinxdx
当x=0时，t=1;当x= π ÷ 2 ， t = 0 \pi\div 2，t=0 π÷2，t=0
于是原式= − ∫ 1 0 t 5 d t = [ t 6 6 ] 0 1 = 1 6 -\int^0_1t^5dt=[\frac {t^6}{6}]^1_0=\frac 1 6 −∫10t5dt=[6t6]01=61
如果不用中间变量替换，则无需变换上下限。
原式= − ∫ 0 π ÷ 2 c o s 5 x d ( cos x ) = − [ cos 6 x 6 ] 0 π ÷ 2 = 1 6 -\int^{\pi \div 2}_0cos^5xd(\cos x)=-[\frac {\cos^6x}6]^{\pi \div 2}_0=\frac 1 6 −∫0π÷2cos5xd(cosx)=−[6cos6x]0π÷2=61
例3：计算 ∫ 0 π sin 5 x − sin 3 x d x \int^{\pi}_0\sqrt{\sin^5x-\sin^3x}dx ∫0πsin5x−sin3x dx
微分函数= sin 3 2 x ∣ cos x ∣ \sin^{\frac 3 2}x|\cos x| sin23x∣cosx∣
原式= ∫ 0 π ÷ 2 sin 3 2 x d ( sin x ) − ∫ π ÷ 2 π sin 3 2 x d ( sin x ) \int^{\pi \div 2}0\sin^{\frac 3 2}xd(\sin x)-\int^{\pi}{\pi \div 2}\sin^{\frac 3 2}xd(\sin x) ∫0π÷2sin23xd(sinx)−∫π÷2πsin23xd(sinx)
= [ 2 5 sin 2 5 x ] 0 π ÷ 2 − [ 2 5 sin 2 5 x ] π ÷ 2 π [\frac 2 5\sin^{\frac 2 5}x]^{\pi \div 2}0-[\frac 2 5\sin^{\frac 2 5}x]^{\pi}{\pi \div 2} [52sin52x]0π÷2−[52sin52x]π÷2π
= 4 5 \frac 4 5 54
例6：设f(x)在[0,1]上连续，证明：
（1), ∫ 0 π ÷ 2 f ( sin x ) d x = ∫ 0 π ÷ 2 f ( cos x ) d x \int_0^{\pi \div 2}f(\sin x)dx=\int_0^{\pi \div 2}f(\cos x)dx ∫0π÷2f(sinx)dx=∫0π÷2f(cosx)dx
（2), ∫ 0 π x f ( sin x ) d x = π 2 ∫ 0 π f ( sin x ) d x \int_0^{\pi}xf(\sin x)dx=\frac {\pi} 2\int_0^{\pi}f(\sin x)dx ∫0πxf(sinx)dx=2π∫0πf(sinx)dx,计算 ∫ 0 π x sin x 1 + cos 2 x d x \int_0^{\pi}\frac{x\sin x}{1+\cos^2 x}dx ∫0π1+cos2xxsinxdx
解(1)，令t= π ÷ 2 − x ， d t = − d x 。 x = 0 , t = π ÷ 2 ; x = π / 2 , t = 0 \pi \div 2 -x，dt=-dx。x=0,t=\pi \div 2;x=\pi/2 ,t=0 π÷2−x，dt=−dx。x=0,t=π÷2;x=π/2,t=0
原始= ∫ π ÷ 2 0 f ( sin ( π ÷ 2 − t ) ) d ( − t ) = ∫ 0 π ÷ 2 f ( cos t ) d t \int_{\pi \div 2}^0f(\sin(\pi \div 2-t))d(-t)=\int_0^{\pi \div 2}f(\cos t)dt ∫π÷20f(sin(π÷2−t))d(−t)=∫0π÷2f(cost)dt得证。
解(2)，令 t = π − x , d t = − d x 。 x = 0 , t = π ; x = π , t = 0 t =\pi-x,dt=-dx。x=0,t=\pi;x=\pi,t=0 t=π−x,dt=−dx。x=0,t=π;x=π,t=0
原式= ∫ π 0 ( π − t ) f ( sin ( π − t ) ) − d t = ∫ 0 π ( π − t ) f ( sin t ) d t \int_{\pi}^0(\pi-t)f(\sin (\pi -t))-dt=\int_0^{\pi}(\pi-t)f(\sin t)dt ∫π0(π−t)f(sin(π−t))−dt=∫0π(π−t)f(sint)dt
= π ∫ 0 π f ( sin t ) d t − ∫ 0 π t f ( sin t ) d t \pi\int_0^{\pi}f(\sin t)dt-\int_0^{\pi}tf(\sin t)dt π∫0πf(sint)dt−∫0πtf(sint)dt
= π ∫ 0 π f ( sin x ) d x − ∫ 0 π t f ( sin x ) d x \pi\int_0^{\pi}f(\sin x)dx-\int_0^{\pi}tf(\sin x)dx π∫0πf(sinx)dx−∫0πtf(sinx)dx用t代替x，积分不变。第二项，就是原来得左式
故：原来得左式= π 2 f ( sin x ) d x \frac \pi 2f(\sin x)dx 2πf(sinx)dx得证。
待计算式子得f(x)为： sin x 2 − sin 2 x \frac {\sin x} {2-\sin ^2 x} 2−sin2xsinx
∫ 0 π sin x 2 − sin 2 x d x = − ∫ 0 π d ( cos x ) 1 + cos 2 x \int_0^{\pi}\frac {\sin x} {2-\sin ^2 x}dx=-\int_0^{\pi}\frac {d(\cos x)} {1+\cos^2 x} ∫0π2−sin2xsinxdx=−∫0π1+cos2xd(cosx)
= − π 2 [ arctan cos x ] 0 π -\frac{\pi} 2[\arctan \cos x]_0^{\pi} −2π[arctancosx]0π
= − π 2 [ − π 4 − π 4 ] -\frac{\pi}2[-\frac {\pi} 4-\frac {\pi} 4] −2π[−4π−4π]
= π 2 ÷ 4 \pi^2 \div 4 π2÷4
例8：计算 ∫ 0 3 x 2 ( x 2 − 3 x + 3 ) 2 d x \int_0^3\frac{x^2}{(x^2-3x+3)^2}dx ∫03(x2−3x+3)2x2dx
分母= ( ( x − 3 2 ) 2 + 3 4 ) 2 , 令 x − 3 2 = 3 2 tan u ( ∣ u ∣ < π 2 ) ((x-\frac 3 2)^2+\frac 3 4)^2,令x-\frac 3 2=\frac {\sqrt 3} 2\tan u(|u|<\frac {\pi} 2) ((x−23)2+43)2,令x−23=23 tanu(∣u∣<2π)
= ( 3 4 sec 2 u ) 2 = 9 1 6 sec 4 u (\frac 3 4 \sec^2 u)^2=\frac 9 16\sec^4 u (43sec2u)2=196sec4u d x = 3 2 s e c 2 u d u dx=\frac {\sqrt 3}2sec^2 udu dx=23 sec2udu
当 x = 0 时， u = − π 3 ; 当 x = 3 时， u = π 3 当x=0时，u=-\frac {\pi} 3;当x=3时，u=\frac {\pi} 3 当x=0时，u=−3π;当x=3时，u=3π
原式= ∫ − π 3 π 3 分子 16 9 3 2 cos 2 u d u \int_{-\frac \pi 3}^{\frac \pi 3} 分子\frac {16} 9\frac {\sqrt 3} 2\cos^2udu ∫−3π3π分子91623 cos2udu
分子： 3 4 t a n 2 u + 3 3 2 tan u + 9 4 \frac 3 4 tan^2 u + 3\frac {\sqrt 3}2 \tan u + \frac 9 4 43tan2u+323 tanu+49
tan u cos 2 x \tan u\cos^2 x tanucos2x 是奇函数，上下限是相反数，故积分抵消了。第一项和第三项是偶函数，故：
8 3 3 2 ∫ 0 π ÷ 3 ( 3 4 tan 2 u + 9 4 ) cos 2 u d u \frac 8 {3\sqrt 3}2\int_0^{\pi \div 3}(\frac 3 4 \tan^2 u+ \frac 9 4)\cos^2 udu 33 82∫0π÷3(43tan2u+49)cos2udu
= 4 3 ∫ 0 π ÷ 3 ( s i n 2 x + 3 cos 2 x ) =\frac 4 {\sqrt 3}\int_0^{\pi \div 3}(sin^2 x+3\cos^2 x) =3 4∫0π÷3(sin2x+3cos2x)
= 4 3 ∫ 0 π ÷ 3 ( 2 + cos 2 u ) d u =\frac 4 {\sqrt 3}\int_0^{\pi \div 3}(2+\cos 2u)du =3 4∫0π÷3(2+cos2u)du
= 4 3 [ 2 u + 1 2 sin 2 u ] 0 π ÷ 3 =\frac 4 {\sqrt 3}[2u+\frac 1 2 \sin 2u]_0^{\pi \div 3} =3 4[2u+21sin2u]0π÷3
= 8 π 3 3 + 1 =\frac {8\pi} {3\sqrt 3}+1 =33 8π+1
定积分的分部积分法
∫ a b u v ′ d x = [ u v ] a b − ∫ a b v u ′ d x \int^b_auv'dx=[uv]^b_a-\int^b_avu'dx ∫abuv′dx=[uv]ab−∫abvu′dx或 ∫ a b u d v = [ v u ] a b − ∫ a b v d u \int^b_audv=[vu]^b_a-\int^b_avdu ∫abudv=[vu]ab−∫abvdu
和不同积分大同小异。
例12： I n = ∫ 0 π ÷ 2 sin n x d x ( = ∫ 0 π ÷ 2 cos n x d x ) I_n=\int_0^{\pi \div 2}\sin^n xdx(=\int_0^{\pi \div 2}\cos^n xdx) In=∫0π÷2sinnxdx(=∫0π÷2cosnxdx)
= { n − 1 n n − 3 n − 2 ⋯ 1 2 π 2 n 为正偶数 n − 1 n n − 3 n − 2 ⋯ 2 3 n 为大于 1 的正奇数 =\begin{cases} \frac {n-1}n\frac{n-3}{n-2}\cdots \frac 1 2 \frac {\pi} 2 & n为正偶数\\ \frac {n-1}n\frac{n-3}{n-2}\cdots \frac 2 3 & n为大于1的正奇数\\ \end{cases} ={nn−1n−2n−3⋯212πnn−1n−2n−3⋯32n为正偶数n为大于1的正奇数
令n ≥ 3 \geq 3 ≥3
I n = − sin n − 1 x d ( cos x ) I_n=-\sin^{n-1}xd(\cos x) In=−sinn−1xd(cosx) 换元法
= − s i n n − 1 x cos x ∣ 0 π ÷ 2 + ∫ 0 π ÷ 2 cos x d ( s i n n − 1 x ) =-sin^{n-1}x\cos x|0^{\pi \div 2}+\int_0^{\pi \div 2} \cos xd(sin^{n-1}x) =−sinn−1xcosx∣0π÷2+∫0π÷2cosxd(sinn−1x) 第一项为0， sin 0 和 s i n 90 。 都为 0 \sin 0和 sin 90^。都为0 sin0和sin90。都为0
= ( n − 1 ) ∫ 0 π ÷ 2 s i n n − 2 x cos x cos x d x =(n-1)\int_0^{\pi \div 2}sin^{n-2}x\cos x \cos x dx =(n−1)∫0π÷2sinn−2xcosxcosxdx
= ( n − 1 ) ∫ 0 π ÷ 2 s i n n − 2 x − ( n − 1 ) ∫ 0 π ÷ 2 s i n n x d x 因为 cos 2 x = 1 − sin 2 x =(n-1)\int_0^{\pi \div 2}sin^{n-2}x-(n-1)\int_0^{\pi \div 2}sin^nxdx 因为\cos^2x=1-\sin^2x =(n−1)∫0π÷2sinn−2x−(n−1)∫0π÷2sinnxdx因为cos2x=1−sin2x
= ( n − 1 ) I n − 2 − ( n − 1 ) I n =(n-1)I{n-2}-(n-1)I_n =(n−1)In−2−(n−1)In
即：
n I n = ( n − 1 ) I n − 2 nI_n=(n-1)I_{n-2} nIn=(n−1)In−2
→ I n = n − 1 n I n − 2 \to I_n=\frac {n-1}n I_{n-2} →In=nn−1In−2
∫ 0 π ÷ 2 sin x d x = − cos x ∣ 0 π ÷ 2 = 1 ，即 I 1 = 1 \int_0^{\pi \div 2}\sin xdx=-\cos x|_0^{\pi \div 2}=1，即I_1=1 ∫0π÷2sinxdx=−cosx∣0π÷2=1，即I1=1
∫ 0 π ÷ 2 s i n 2 x d x = s i n 2 x x ∣ 0 π ÷ 2 − ∫ 0 π ÷ 2 x d ( s i n 2 x ) \int_0^{\pi \div 2}sin^2xdx=sin^2xx|_0^{\pi \div 2}-\int_0^{\pi \div 2}xd(sin^2x) ∫0π÷2sin2xdx=sin2xx∣0π÷2−∫0π÷2xd(sin2x)
= π ÷ 2 − ∫ 0 π ÷ 2 2 x sin x cos x \pi \div 2-\int_0^{\pi \div 2}2x\sin x\cos x π÷2−∫0π÷22xsinxcosx
= π ÷ 2 \pi \div 2 π÷2
即 I 2 = π ÷ 2 I_2=\pi \div 2 I2=π÷2
典型应用
求圆的面积：
根据函数连续的特征：一笔画，圆和正弦曲线都是连续函数。
将半径为r的圆移动到坐标系原点，我们求第一象限的四分之一圆的面积，在第一象限：
y= r 2 − x 2 , 0 ≤ x ≤ r \sqrt{r^2-x^2},0\le x \le r r2−x2 ,0≤x≤r
我们令 x = r sin t , 0 ≤ t ≤ π ÷ 2 ， d x = r cos t d t x=r\sin t,0 \le t \le \pi \div 2，dx=r\cos t dt x=rsint,0≤t≤π÷2，dx=rcostdt
故：F(x)= ∫ r 2 − x 2 d x = ∫ r 1 − s i n 2 t r cos t d t = ∫ r 2 cos t cos t d t \int \sqrt{r^2-x^2}dx=\int r\sqrt{1-sin^2t}r\cos t dt=\int r^2\cos t\cos t dt ∫r2−x2 dx=∫r1−sin2t rcostdt=∫r2costcostdt
= r 2 2 ∫ ( 1 + cos 2 t ) d t \frac {r^2} 2\int(1+\cos 2t) dt 2r2∫(1+cos2t)dt 根据三角函数
= r 2 4 ∫ ( 1 + cos 2 t ) d ( 2 t ) \frac {r^2} 4 \int(1+\cos 2t)d(2t) 4r2∫(1+cos2t)d(2t)
= r 2 4 ( 2 t + sin 2 t ) + C \frac {r^2} 4 (2t+\sin 2t)+C 4r2(2t+sin2t)+C
故四分之一圆的面积为： F ( π ) − F ( 0 ) = r 2 4 ( π + sin π − 0 − sin 0 ) = π r 2 4 F(\pi)-F(0)=\frac {r^2} 4 (\pi+\sin \pi-0-\sin 0)=\frac{\pi r^2} 4 F(π)−F(0)=4r2(π+sinπ−0−sin0)=4πr2
故圆的面积是 π r r \pi r r πrr。
求圆的周长
半径为r的周长： A r e a ( r + Δ ) − A r e a ( r ) Δ \frac {Area(r+\Delta)-Area(r)}{\Delta} ΔArea(r+Δ)−Area(r)就是圆面积的导数 2 π r 2\pi r 2πr
扩展阅读
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测试环境
操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。
