张量tensors、流形manifolds、度规metric。
流形是一个空间，即使在整体范围内是弯曲的，近看却显得平坦。宇宙就是这样一个流形。而要讨论它的弯曲方式，我们需要一种在其上进行测量的方法。这就是度规，不是一把尺子，而是一套测量规则。一个接受两个方向并返回一个数值的函数。
张量则是让度规"发声"的语言，它并不在乎你选择用哪些坐标来描述这个空间。当你改变观察视角时，它们能完美地进行变换。这就是物理学信赖它们的原因，无论你站在何处，它们传达的都是同样的信息。
曲率不仅仅是你在外部观察到的形状。它是流形自身从内部所知晓的特质。测地线，光线，能感知到它。时空弯曲，光便随之而行。
度规即引力。这是爱因斯坦的洞见。不是一种拉扯的力量，而是一种弯曲的几何。
先说度规（度量）。
想象你身处地球表面，一个二维生物，生活在球体上，没有"上"的概念。你想测量两个相邻点之间的距离。在平坦地面上，毕达哥拉斯Pythagoras定理成立：ds2=dx2+dy2ds^2 = dx^2 + dy^2ds2=dx2+dy2。但在曲面上，这就不成立了。度规就是修正后的版本，它说明了在这个曲面空间的这个点上，距离实际上是如何运作的。
在球体上，靠近两极的地方，经线会密集地聚集在一起。度规知道这一点。它会进行调整。
在时空中，四维空间，其中三维是空间，一维是时间。度规同样如此运作。但此刻它还告诉你，在质量巨大的物体附近，时间流逝的方式会有所不同。时钟走得变慢了。这并非诗意，而是度规的本质。
ds2=dx2+dy2ds^2 = dx^2 + dy^2ds2=dx2+dy2 仅在无限小的情况下成立。对于两个无限接近的邻近点，曲面看起来是平坦的。因此该公式成立，但仅限于那个微小的极限。
距离更大时呢？你不能直接套用这个公式。误差确实会增大，但更重要的是，求解方法会完全改变。
你不能一次性计算出整个距离，需要将路径分解为无穷多个无限小的步长。在每个微小的步长处，曲面看起来是平坦的，所以你使用该处的局部距离公式。但公式的系数会因点而异，因为曲率在变化。
因此，在曲面上，公式不再是 ds2=dx2+dy2ds^2 = dx^2 + dy^2ds2=dx2+dy2，而是变成类似这样：
ds2=g11dx2+2g12dx dy+g22dy2ds^2 = g_{11}dx^2 + 2g_{12}dx\, dy + g_{22}dy^2ds2=g11dx2+2g12dxdy+g22dy2
这些 ggg 值，它们就是度规。它们在曲面上各处不同。它们编码了每个位置上距离被拉伸或压缩的程度。
然后，要计算沿路径的总距离，你需要进行积分，即把所有这些微小的步长加起来。
测地线就是那个使总和最小的路径。
在平面上，g12=0g_{12} = 0g12=0，且 g11=g22=1g_{11} = g_{22} = 1g11=g22=1。第二个公式简化为第一个公式。第一个公式不过是更一般公式中默默隐藏的一个特例。
ddd 表示无限微小的变化量。所以 dxdxdx 是 xxx 方向上一个微小到近乎为零的步长。不是一个有限的距离，而是一个微乎其微的距离。
那么 dx2dx^2dx2 意味着那个微小的步长，乘以它自身。这似乎很奇怪，为什么要对一个无限微小的量进行平方？但这正是毕达哥拉斯所做的：要得到距离，你需将分量平方后相加。这里的 ddd 仅仅表示我们在局部、某一点上进行这一操作，且在某量趋于无限小的极限条件下。
而 dx dydx\, dydxdy，即交叉项，衡量的是另一件事。它在问：xxx 方向上的一个微小步长会与 yyy 方向上的一个微小步长产生交互作用吗？在平坦的、与坐标轴平行的坐标系中，它们不会。它们是独立的。因此交叉项为零。
但在曲面上，或在倾斜的坐标系中，沿 xxx 方向移动可能会使你稍微偏离 yyy 方向。度规能感知到这一点。g12g_{12}g12 捕捉到了这一点。
Hessian矩阵，它们都是对称矩阵，编码了二阶结构。度规和Hessian矩阵都具有这种形状。这种联系比表面看起来要深刻得多。
还有平方，它并不显而易见。为什么不直接相加呢？
诚实的答案是：因为距离不应该取决于方向。如果你向右走一个单位，或者向左走一个单位，距离是相同的。但是 会给出不同的符号。平方消除了这一点，它使距离无符号、对称，并且与你移动的方向无关。
这背后还有更深层次的东西。勾股定理并非任意的，它源于平坦空间的几何，源于垂直方向彼此真正独立的特性。平方和相加正是度规意义上的独立性体现。
当方向不再独立时，当空间弯曲，或坐标倾斜时，交叉项就会出现。这是度规注意到你的坐标轴不再真正分离。
勾股定理不仅仅是关于三角形的定理。它描述的是平坦空间的几何性质。它从度量的角度解释了平坦的含义。在弯曲空间中，它失效了，不是因为代数运算错了，而是因为空间本身就不同。
中学给了我们工具。但它没有告诉你工具是有形状的，这种形状只适用于某些特定的空间。