P3374 【模板】树状数组 1

记录117

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=5e5+10;
int a[MAXN],c[MAXN];// a[] 是原始数组，c[] 是树状数组（核心数组）
int n,m; // n 是数列长度，m 是操作次数
int lowbit(int x){//计算 x 的二进制表示中最低位的 1 所代表的值 
	return x&(-x);
}//用途：用于确定当前节点管辖的范围，以及在树中向上/向下跳转 
int sum(int x){// sum 函数：查询前缀和
	int res=0;
	for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i)) res+=c[i];
	return res;
}// 作用：计算原数组 a 中区间 [1, x] 的元素之和
void add(int x,int y){// add 函数：单点修改
	for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)) c[i]+=y;
}// 作用：将原数组 a 的第 x 个元素加上 y，并维护树状数组 c
int main() {
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++){
    	cin>>a[i];
    	add(i,a[i]);
	}
	while(m--){
		int op,x,y;
		cin>>op>>x>>y;
		if(op==1) add(x,y);
		else cout<<sum(y)-sum(x-1)<<endl;// 利用前缀和思想求区间和 
	}
    return 0;
}

前言

我是一名专注信奥赛（CSP-J/S、NOIP）的教练。

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题目传送门https://www.luogu.com.cn/problem/P3374

突破口

题目描述

如题，已知一个数列，你需要进行下面两种操作：

将某一个数加上 x；

求出某区间每一个数的和。

输入格式

第一行包含两个正整数 n,m，分别表示该数列数字的个数和操作的总个数。

第二行包含 n 个用空格分隔的整数，其中第 i 个数字表示数列第 i 项的初始值。

接下来 m 行每行包含 3 个整数，表示一个操作，具体如下：

1 x k 含义：将第 x 个数加上 k；

2 x y 含义：输出区间 [x,y] 内每个数的和。

输出格式

输出包含若干行整数，即为所有操作 2 的结果。

思路

这道题是**树状数组（Binary Indexed Tree, BIT）**的入门模板题。

💡 核心思路：为什么要用树状数组？

题目中有两种操作：

单点修改：给某个数加上 xx 。
区间查询：求一段区间的和。

暴力做法的痛点：

如果用普通数组，修改是 O(1)O(1) ，但求和需要遍历区间，是 O(N)O(N) 。
如果用前缀和数组，求和是 O(1)O(1) ，但一旦某个数变了，后面的前缀和都要重新算，修改变成了 O(N)O(N) 。
题目中 NN 和 MM 都高达 5×1055×105 ，如果是 O(N)O(N) 的操作，总复杂度会达到 O(NM)O(NM) ，必然超时。

树状数组的优势：

它通过一种巧妙的"二进制分组"方式，将修改和查询的时间复杂度都降低到了 O(log⁡N)O(logN)。

核心原理：

树状数组 c[i] 并不直接存储原数组 a[i] 的值，而是存储一段区间 的和。这段区间的长度由 lowbit(i) 决定。

lowbit(x) ：取出 xx 二进制表示中最低位的 1。例如 lowbit(4) (100) = 4，lowbit(6) (110) = 2。
c[i] 的职责 ：管理区间 [i - lowbit(i) + 1, i] 的和。

树状数组的样子:

因为是按照二进制的1来拆分，所以会根据层级形成一棵树

代码分析

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=5e5+10;
int a[MAXN], c[MAXN]; // a[] 是原始数组，c[] 是树状数组（核心数组）
int n, m; // n 是数列长度，m 是操作次数

解析：

a[MAXN]：虽然题目有原始数组，但在树状数组的很多实现中，其实可以省略 a 数组，只维护 c 数组。这里保留 a 是为了逻辑清晰。
c[MAXN]：这是树状数组 本体。注意 c 的下标通常从 1 开始，因为 lowbit(0) 会导致死循环。

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int lowbit(int x) {
    // 计算 x 的二进制表示中最低位的 1 所代表的值 
    return x & (-x);
}

解析：这是树状数组的灵魂。

原理：利用补码特性。-x 在计算机中等于 ~x + 1（按位取反加 1）。
效果：x 和 -x 进行按位与运算（&），除了最低位的 1 以外，其他位都会变成 0。
作用：它告诉我们要"跳"多远。比如在查询时，它决定了我们要减去多少才能跳到下一个负责更小范围的节点。

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int sum(int x) {
    // sum 函数：查询前缀和
    int res = 0;
    for(int i = x; i > 0; i -= lowbit(i)) res += c[i];
    return res;
}

解析：查询操作（区间求和的基础）。

目标：计算原数组 a[1] 到 a[x] 的总和。
逻辑：我们将区间 [1, x] 拆分成若干个由 c 数组管理的子区间。
过程：
1. 先把 c[x] 加上（它管理着以 x 结尾的一段）。
2. 然后 i -= lowbit(i)，跳到剩下的前缀的结尾。
3. 重复直到 i 变为 0。
复杂度：因为每次至少减去二进制的一位，所以循环次数是 log⁡2Nlog2N 。

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void add(int x, int y) {
    // add 函数：单点修改
    for(int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) c[i] += y;
}

解析：修改操作。

目标：给 a[x] 加上 y。
逻辑：因为 a[x] 被包含在多个 c 数组的节点中，所以 a[x] 变了，所有包含它的 c[i] 都要更新。
过程：
1. 更新 c[x]。
2. i += lowbit(i)：跳到包含当前区间的父节点（范围更大的节点）。
3. 一直更新直到超出数组长度 n。

cpp 复制代码

int main() {
    cin >> n >> m;
    // 初始化
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
        add(i, a[i]); // 将初始值插入树状数组
    }
    
    while(m--) {
        int op, x, y;
        cin >> op >> x >> y;
        if(op == 1) add(x, y); // 操作1：单点修改，a[x] += y
        else cout << sum(y) - sum(x - 1) << endl; // 操作2：区间查询
    }
    return 0;
}

解析：

初始化 ：通过循环调用 add，将初始数组构建成树状数组。时间复杂度 O(Nlog⁡N)O(NlogN) 。
操作 1 ：直接调用 add(x, y)，表示位置 x 的值增加了 y。
操作 2 ：利用前缀和思想 。
- 要求区间 [x, y] 的和，等价于：(1 到 y 的和) - (1 到 x-1 的和)。
- 即 sum(y) - sum(x - 1)。

📌 总结

这段代码展示了树状数组最标准、最简洁的写法：

lowbit 负责导航（找爸爸或找前一个兄弟）。
add 负责自底向上更新（修改自己，通知所有包含自己的父节点）。
sum 负责自顶向下（或跳跃式）累加（把大区间拆成几个小区间加起来）。
main 中利用 sum(y) - sum(x-1) 巧妙解决任意区间求和问题。