算法：图的基本概念

图的分类

有向图

· 定义 ：图中的边有方向性，用箭头表示。

· 表示：边 (A, B) 与 (B, A) 是两条不同的边。

无向图

· 定义 ：图中的边没有方向。

· 表示 ：边 (A, B) 与 (B, A) 是同一条边。

· 转换：可以将无向图中的一条边看作两条方向相反的有向边。

图的特殊结构

自环

· 定义：一条边从某个顶点出发，并指向其自身。

重边

· 定义：两个顶点之间存在两条或两条以上完全相同的边（在有向图中要求方向也相同）。

稠密图 vs 稀疏图

· 稀疏图 ：边数远少于顶点数的平方（|E| << |V|²），即"少边多点"。

· 稠密图 ：边数接近顶点数的平方（|E| ≈ |V|²），即"多边少点"。

· 这是一个相对概念，没有绝对的界限。

顶点与路径

顶点的度

· 无向图：与该顶点相关联的边的总数。

· 有向图：

· 入度 ：指向该顶点的边的数目。

· 出度：从该顶点指出的边的数目。

路径

· 定义 ：一个顶点序列，其中每相邻两个顶点之间都存在一条边。

· 回路/环：路径的起点和终点是同一个顶点。

路径长度

· 无权图 ：路径上经过的边的数量。

· 带权图：路径上所有边的权值之和。

连通性

连通图与连通分量

· 连通图 ：在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在路径，则该图称为连通图。

· 非连通图 ：不是连通图的无向图。

· 重要性质 ：一个有 n 个顶点的图，如果边数小于 n-1，则它一定是非连通图。

· 连通分量 ：无向图中的极大连通子图。

· "极大"意味着 ：再也找不到另一个包含该子图且比它更大的连通子图。

· 一个图可以有多个连通分量。

连通分量数的计算

· 对于一个有 n 个顶点、m 条边且无环的森林结构，其连通分量数可以通过以下公式计算：

连通分量数 = n - m

生成树

· 定义 ：一个连通图的生成树是包含其全部顶点的极小连通子图。

· 性质：

1. 包含原图所有 n 个顶点。
2. 只有 n-1 条边。
3. 是连通的，并且无环。
   · 关键特性 ：
   · 极小性：在生成树中移除任意一条边都会导致图变得不连通。
   · 在生成树中添加任意一条边都会形成一个回路。