整数拆分——动态规划

如竟没有火炬2026-06-09 8:18

给定一个正整数 n ，将其拆分为 k 个 正整数 的和（ k >= 2 ），并使这些整数的乘积最大化。

返回 你可以获得的最大乘积 。

示例 1:

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输入: n = 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。

示例 2:

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输入: n = 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。

思路：

如果最优结果包含一个因子f>=4，那么你可以将其替换为因子2和f-2，而不会丧失最优性，因为

2*（f-2）=2f-4>=f。如此一来，你便无需使用任何大于或等于4的因子，这意味着你只需要用到1、2和3这三种因子（当然，1是一种浪费，仅会在n=2和n=3时才需用到它。）

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class Solution:
    def integerBreak(self, n: int) -> int:
        if n <= 3:
            return n - 1
        
        dp = [0] * (n + 1)
        dp[2] = 1
        for i in range(3, n + 1):
            dp[i] = max(2 * (i - 2), 2 * dp[i - 2], 3 * (i - 3), 3 * dp[i - 3])
        
        return dp[n]

自己写的一版：

让所有的拆分数尽可能的相等，这样的乘积是最大的。

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class Solution:
    def integerBreak(self, n: int) -> int:
        res = 0
        for i in range(2, n // 2 + 1):
            base = n // i
            baseAddNum = n - base * i
            res = max(res, base ** (i-baseAddNum) * ((base + 1) ** baseAddNum))
        return res
print(Solution().integerBreak(10))