计算机图形学：【Games101】学习笔记08——光线追踪（辐射度量学、渲染方程与全局光照、蒙特卡洛积分与路径追踪）

计算机图形学：【Games101】学习笔记07------光线追踪（基本原理、加速结构）

前言
一、光线追踪（辐射度量学、渲染方程与全局光照）
- [1.1 辐射度量学概念复习 (Reviewing Radiometry Concepts)](#1.1 辐射度量学概念复习 (Reviewing Radiometry Concepts))
- [1.2 辐照度 (Irradiance)](#1.2 辐照度 (Irradiance))
- - [1.2.1 兰伯特余弦定律 (Lambert's Cosine Law)](#1.2.1 兰伯特余弦定律 (Lambert's Cosine Law))
  - [1.2.2 辐照度随距离的衰减 (Irradiance Falloff)](#1.2.2 辐照度随距离的衰减 (Irradiance Falloff))
- [1.3 辐射度 (Radiance)](#1.3 辐射度 (Radiance))
- - [1.3.1 辐射度与其他量的关系](#1.3.1 辐射度与其他量的关系)
  - [1.3.2 入射与出射辐射度（Incident Radiance & Exiting Radiance）](#1.3.2 入射与出射辐射度（Incident Radiance & Exiting Radiance）)
  - [1.3.3 辐照度与辐射度对比（Irradiance vs. Radiance）](#1.3.3 辐照度与辐射度对比（Irradiance vs. Radiance）)
- [1.4 双向反射分布函数（BRDF）](#1.4 双向反射分布函数（BRDF）)
- - [1.4.1 点上的反射现象（Reflection at a Point）](#1.4.1 点上的反射现象（Reflection at a Point）)
  - [1.4.2 双向反射分布函数（BRDF）](#1.4.2 双向反射分布函数（BRDF）)
- [1.5 光线传输：反射方程与渲染方程](#1.5 光线传输：反射方程与渲染方程)
- - [1.5.1 反射方程（The Reflection Equation）](#1.5.1 反射方程（The Reflection Equation）)
  - [1.5.2 渲染方程（The Rendering Equation）](#1.5.2 渲染方程（The Rendering Equation）)
  - [1.5.3 理解渲染方程（Understanding the rendering equation）](#1.5.3 理解渲染方程（Understanding the rendering equation）)
二、光线追踪（蒙特卡洛积分与路径追踪）
- [2.1 蒙特卡洛积分 (Monte Carlo Integration)](#2.1 蒙特卡洛积分 (Monte Carlo Integration))
- - [2.1.1 为什么需要蒙特卡洛积分？](#2.1.1 为什么需要蒙特卡洛积分？)
  - [2.1.2 什么是蒙特卡洛积分？](#2.1.2 什么是蒙特卡洛积分？)
  - [2.1.3 均匀采样示例 (Uniform Monte Carlo Estimator)](#2.1.3 均匀采样示例 (Uniform Monte Carlo Estimator))
- [2.2 路径追踪 (Path Tracing)](#2.2 路径追踪 (Path Tracing))
- - [2.2.1 动机：Whitted-Style 光线追踪的局限性（Motivation: Whitted-Style Ray Tracing）](#2.2.1 动机：Whitted-Style 光线追踪的局限性（Motivation: Whitted-Style Ray Tracing）)
  - [2.2.2 简单的蒙特卡洛解决方案 (A Simple Monte Carlo Solution)](#2.2.2 简单的蒙特卡洛解决方案 (A Simple Monte Carlo Solution))
  - [2.2.3 引入全局光照 (Global Illumination)](#2.2.3 引入全局光照 (Global Illumination))
  - [2.2.4 路径追踪的两大难题与解决方案](#2.2.4 路径追踪的两大难题与解决方案)
  - [2.2.5 提升效率：直接对光源采样 (Sampling the Light)](#2.2.5 提升效率：直接对光源采样 (Sampling the Light))
  - [2.2.6 最终的路径追踪算法结构](#2.2.6 最终的路径追踪算法结构)
- [2.3 补充与总结 (Side Notes)](#2.3 补充与总结 (Side Notes))

前言

🎮 GAMES101 是国内相当有名的图形学公开课。项目相关资源在：https://sites.cs.ucsb.edu/~lingqi/teaching/games101.html。

本 📒笔记为 🖊️笔者在自学过程中整理的 🇨🇳中文版笔记，供各位 📖读者阅读 😼～

一、光线追踪（辐射度量学、渲染方程与全局光照）

1.1 辐射度量学概念复习 (Reviewing Radiometry Concepts)

辐射能量 (Radiant energy) Q Q Q：电磁辐射的总能量，单位是焦耳 $J = J o u l e$ $J = Joule$ $J=Joule$ 。在计算机图形学中极少直接使用。

辐射通量/功率 (Radiant flux / power) Φ \Phi Φ：单位时间内的能量。 Φ ≡ d Q d t \Phi \equiv \frac{dQ}{dt} Φ≡dtdQ，单位是瓦特 $W = W a t t$ $W = Watt$ $W=Watt$ 或流明 $l m = l u m e n$ $lm = lumen$ $lm=lumen$ 。

辐射强度 (Radiant intensity) I ( ω ) I(\omega) I(ω)：每单位立体角的功率。 I ( ω ) ≡ d Φ d ω I(\omega) \equiv \frac{d\Phi}{d\omega} I(ω)≡dωdΦ。

立体角 (Solid Angle) Ω \Omega Ω：球面上截取的面积与半径平方的比值。 Ω = A r 2 \Omega = \frac{A}{r^2} Ω=r2A

微分立体角 (Differential Solid Angles) ：在极坐标下推导，面积微元 d A = ( r d θ ) ( r sin ⁡ θ d ϕ ) = r 2 sin ⁡ θ d θ d ϕ dA = (r d\theta)(r \sin\theta d\phi) = r^2 \sin\theta d\theta d\phi dA=(rdθ)(rsinθdϕ)=r2sinθdθdϕ。因此微分立体角 d ω = d A r 2 = sin ⁡ θ d θ d ϕ d\omega = \frac{dA}{r^2} = \sin\theta d\theta d\phi dω=r2dA=sinθdθdϕ。

1.2 辐照度 (Irradiance)

定义：入射到一个表面点上的每单位面积的功率 (power per unit area)。

E ( x ) ≡ d Φ ( x ) d A E(x) \equiv \frac{d\Phi(x)}{dA} E(x)≡dAdΦ(x)

单位： $W / m 2$ $W / m\^2$ $W/m2$ 或 $l m / m 2 = l u x$ $lm / m\^2 = lux$ $lm/m2=lux$ 。

1.2.1 兰伯特余弦定律 (Lambert's Cosine Law)

表面接收到的辐照度与"光线方向和表面法线之间夹角的余弦值"成正比。

E = Φ A cos ⁡ θ E = \frac{\Phi}{A} \cos\theta E=AΦcosθ

注意：总是使用单位面积，余弦项作用于夹角 θ \theta θ。

物理意义解释 ：如果是垂直照射，表面接收全部功率；如果表面旋转了 60 ∘ 60^{\circ} 60∘，接收到的功率减半。这也是地球上出现四季变化的原因（地球自转轴倾斜了约 23.5 ∘ 23.5^{\circ} 23.5∘，导致不同季节北半球接收太阳光的夹角发生变化，从而影响辐照度）。

1.2.2 辐照度随距离的衰减 (Irradiance Falloff)

假设一个点光源向周围均匀地发射功率 Φ \Phi Φ，在半径为 r r r 的球面上，总表面积为 4 π r 2 4\pi r^2 4πr2。

该球面上的辐照度为 E ′ = Φ 4 π r 2 = E r 2 E' = \frac{\Phi}{4\pi r^2} = \frac{E}{r^2} E′=4πr2Φ=r2E。这说明辐照度随着距离的平方呈反比衰减。

1.3 辐射度 (Radiance)

Radiance 是描述环境中光线分布的最基础的场量。它是与一条光线 (Ray) 相关联的物理量，而渲染的核心就是计算 Radiance。

定义：每单位立体角、每投影单位面积表面发射、反射、透射或接收的功率。

L ( p , ω ) ≡ d 2 Φ ( p , ω ) d ω d A cos ⁡ θ L(p, \omega) \equiv \frac{d^2\Phi(p, \omega)}{d\omega dA \cos\theta} L(p,ω)≡dωdAcosθd2Φ(p,ω)

单位： $W s r \cdot m 2$ $\\frac{W}{sr \\cdot m\^2}$ $sr\cdotm2W$ 或 $c d m 2 = l m s r \cdot m 2 = n i t$ $\\frac{cd}{m\^2} = \\frac{lm}{sr \\cdot m\^2} = nit$ $m2cd=sr\cdotm2lm=nit$ 。其中 cos ⁡ θ \cos\theta cosθ 用于计算投影面积。

1.3.1 辐射度与其他量的关系

Irradiance 是每投影单位面积的功率。Intensity 是每立体角的功率。

因此，Radiance 可以理解为每立体角的 Irradiance，或者每投影单位面积的 Intensity。

1.3.2 入射与出射辐射度（Incident Radiance & Exiting Radiance）

1️⃣ 入射辐射度 (Incident Radiance) ：到达表面的每单位立体角的 Irradiance。公式表示为 L ( p , ω ) = d E ( p ) d ω cos ⁡ θ L(p, \omega) = \frac{dE(p)}{d\omega \cos\theta} L(p,ω)=dωcosθdE(p)。它描述的是沿着某条特定光线（特定方向 ω \omega ω）到达表面点 p p p 的光。

2️⃣ 出射辐射度 (Exiting Radiance) ：离开表面的每单位投影面积的 Intensity。公式表示为 L ( p , ω ) = d I ( p , ω ) d A cos ⁡ θ L(p, \omega) = \frac{dI(p, \omega)}{dA \cos\theta} L(p,ω)=dAcosθdI(p,ω)。例如，对于一个面光源，它描述了沿着某条特定光线离开表面的光。

1.3.3 辐照度与辐射度对比（Irradiance vs. Radiance）

Irradiance 是区域 d A dA dA 接收到的总功率。

Radiance 是区域 d A dA dA 从单一方向 d ω d\omega dω 接收到的功率。

关系：计算某一点的 Irradiance，相当于把来自半球 H 2 H^2 H2 内所有方向的 Radiance 积分起来。公式为：

E ( p ) = ∫ H 2 L i ( p , ω ) cos ⁡ θ d ω E(p) = \int_{H^2} L_i(p, \omega) \cos\theta d\omega E(p)=∫H2Li(p,ω)cosθdω

1.4 双向反射分布函数（BRDF）

1.4.1 点上的反射现象（Reflection at a Point）

光线在一个点发生反射可以分解为两步：

1️⃣ 从入射方向 ω i \omega_i ωi 射来的 Radiance，变成了表面微元 d A dA dA 接收到的 Irradiance 功率 E E E：

d E ( ω i ) = L ( ω i ) cos ⁡ θ i d ω i dE(\omega_i) = L(\omega_i) \cos\theta_i d\omega_i dE(ωi)=L(ωi)cosθidωi

2️⃣ 接收到的能量 E E E 随后转化为向各个出射方向 ω r \omega_r ωr 辐射的 Radiance d L r ( ω r ) dL_r(\omega_r) dLr(ωr)。

1.4.2 双向反射分布函数（BRDF）

Bidirectional Reflectance Distribution Function (BRDF) 描述了：从每一个特定的入射方向 ω i \omega_i ωi，有多少比例的光被反射到了特定的出射方向 ω r \omega_r ωr（单位是 $1 s r$ $\\frac{1}{sr}$ $sr1$ ）。

f r ( ω i → ω r ) = d L r ( ω r ) d E i ( ω i ) = d L r ( ω r ) L i ( ω i ) cos ⁡ θ i d ω i f_r(\omega_i \rightarrow \omega_r) = \frac{dL_r(\omega_r)}{dE_i(\omega_i)} = \frac{dL_r(\omega_r)}{L_i(\omega_i) \cos\theta_i d\omega_i} fr(ωi→ωr)=dEi(ωi)dLr(ωr)=Li(ωi)cosθidωidLr(ωr)

1.5 光线传输：反射方程与渲染方程

1.5.1 反射方程（The Reflection Equation）

通过在整个半球上对所有入射光线的贡献进行积分，就能得到某个固定观察方向 ω r \omega_r ωr 上的总反射 Radiance。

L r ( p , ω r ) = ∫ H 2 f r ( p , ω i → ω r ) L i ( p , ω i ) cos ⁡ θ i d ω i L_r(p, \omega_r) = \int_{H^2} f_r(p, \omega_i \rightarrow \omega_r) L_i(p, \omega_i) \cos\theta_i d\omega_i Lr(p,ωr)=∫H2fr(p,ωi→ωr)Li(p,ωi)cosθidωi

挑战（递归性） ：反射方程中，反射出去的 Radiance L r L_r Lr 依赖于入射的 Radiance L i L_i Li；但这个入射的 Radiance L i L_i Li，实质上又是场景中其他某个表面反射出来的 Radiance。

1.5.2 渲染方程（The Rendering Equation）

由 Kajiya 在 1986 年提出。在反射方程的基础上，加入了一个自发光项 (Emission term) L e L_e Le，使其成为一个完全通用的方程。

渲染方程公式：

L o ( p , ω o ) = L e ( p , ω o ) + ∫ Ω + L i ( p , ω i ) f r ( p , ω i , ω o ) ( n ⋅ ω i ) d ω i L_o(p, \omega_o) = L_e(p, \omega_o) + \int_{\Omega^+} L_i(p, \omega_i) f_r(p, \omega_i, \omega_o) (n \cdot \omega_i) d\omega_i Lo(p,ωo)=Le(p,ωo)+∫Ω+Li(p,ωi)fr(p,ωi,ωo)(n⋅ωi)dωi

注意：在这里，我们规定所有的方向矢量（无论是入射 ω i \omega_i ωi 还是出射 ω o \omega_o ωo）都是从表面向外指的。 ( n ⋅ ω i ) (n \cdot \omega_i) (n⋅ωi) 也就是 cos ⁡ θ i \cos\theta_i cosθi。

1.5.3 理解渲染方程（Understanding the rendering equation）

渲染方程是一个第二类 Fredholm 积分方程，其规范形式可以写为：

l ( u ) = e ( u ) + ∫ l ( v ) K ( u , v ) d v l(u) = e(u) + \int l(v) K(u, v) dv l(u)=e(u)+∫l(v)K(u,v)dv

可以将其抽象为线性算子方程：

L = E + K L L = E + K L L=E+KL

L L L 是光照（Radiance）。
E E E 是光源发出的光。
K K K 是光线传输算子 (Light Transport Operator)，包含了 BRDF 和余弦项的积分。

E E E：光源直接发出的光 (Emission)。
K E KE KE：一次弹射，即光源打在物体上被我们看见。这就是直接光照 (Direct Illumination)，也是传统光栅化着色主要计算的部分。
K 2 E K^2E K2E：两次弹射（一跳间接光照，如镜面反射、折射）。
K 3 E K^3E K3E及以后：多次弹射的间接光照。
全局光照 = 直接光照 + 所有的间接光照。

课程中展示了同一场景在不同弹射次数（Direct, 1-bounce, 2-bounce, 4-bounce, 8-bounce, 16-bounce）下的渲染效果，展现了间接光照带来的色彩溢出 (Color Bleeding) 和更加真实的明暗过渡。

二、光线追踪（蒙特卡洛积分与路径追踪）

2.1 蒙特卡洛积分 (Monte Carlo Integration)

2.1.1 为什么需要蒙特卡洛积分？

渲染方程包含在半球上的积分，但通常这些积分太难，无法求出解析解。

2.1.2 什么是蒙特卡洛积分？

核心思想：通过对函数值进行随机采样，并求其平均值，来估算函数的定积分。

数学公式 ：对于定积分 ∫ a b f ( x ) d x \int_a^b f(x) dx ∫abf(x)dx，给定随机变量 X i ∼ p ( x ) X_i \sim p(x) Xi∼p(x)，其蒙特卡洛估计量为：

F N = 1 N ∑ i = 1 N f ( X i ) p ( X i ) F_N = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \frac{f(X_i)}{p(X_i)} FN=N1i=1∑Np(Xi)f(Xi)

2.1.3 均匀采样示例 (Uniform Monte Carlo Estimator)

如果我们在区间 $a , b$ $a, b$ $a,b$ 上进行均匀采样，概率密度函数为常数 C C C。因为 ∫ a b C d x = 1 \int_a^b C dx = 1 ∫abCdx=1，所以 p ( x ) = 1 b − a p(x) = \frac{1}{b-a} p(x)=b−a1。

将其代入通用公式，均匀蒙特卡洛估计量变为：

F N = b − a N ∑ i = 1 N f ( X i ) F_N = \frac{b-a}{N} \sum_{i=1}^{N} f(X_i) FN=Nb−ai=1∑Nf(Xi)

样本数量 N N N 越多，方差越小（结果越准确）。
必须在要积分的同一个域上进行采样（例如对 x x x 采样，就对 x x x 积分）。

2.2 路径追踪 (Path Tracing)

2.2.1 动机：Whitted-Style 光线追踪的局限性（Motivation: Whitted-Style Ray Tracing）

Whitted-Style 光线追踪有两个重大简化：只计算镜面反射/折射，并且光线碰到漫反射表面就停止弹射。

问题1：无法正确处理 Glossy（光泽）材质。光泽材质的反射方向并不是唯一的镜面反射方向。

问题2：忽略了漫反射材质之间的光线反弹（Color Bleeding 现象）。例如 Cornell Box 中，红墙会把红光反射到白箱子上，这就是全局光照，而 Whitted-Style 无法渲染出来。

结论：Whitted-Style 是错误的，渲染方程才是正确的。但求解渲染方程需要计算半球积分以及处理递归。

2.2.2 简单的蒙特卡洛解决方案 (A Simple Monte Carlo Solution)

直接应用蒙特卡洛积分来解渲染方程。我们假设在半球上均匀采样，即 p ( ω i ) = 1 2 π p(\omega_i) = \frac{1}{2\pi} p(ωi)=2π1。

估算公式：

L o ( p , ω o ) ≈ 1 N ∑ i = 1 N L i ( p , ω i ) f r ( p , ω i , ω o ) ( n ⋅ ω i ) p ( ω i ) L_o(p, \omega_o) \approx \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \frac{L_i(p,\omega_i) f_r(p,\omega_i,\omega_o) (n \cdot \omega_i)}{p(\omega_i)} Lo(p,ωo)≈N1i=1∑Np(ωi)Li(p,ωi)fr(p,ωi,ωo)(n⋅ωi)

算法逻辑 (shade(p, wo))：随机选 N N N 个方向发射光线；如果光线击中光源，则将其贡献累加并平均。这就得到了一个正确的直接光照着色算法。

2.2.3 引入全局光照 (Global Illumination)

当光线从 P P P 点射出，击中另一个物体 Q Q Q 时， Q Q Q 也会把光反射到 P P P 点。这部分光的强度等于 Q Q Q 点接收到的直接光照。

因此，在算法中加入递归：如果光线击中物体 Q Q Q，则调用 shade(q, -wi) 作为入射光 L i L_i Li 继续计算。

2.2.4 路径追踪的两大难题与解决方案

难题一：光线数量爆炸 (Explosion of #rays)

假设每次反射发射 100 条光线，那么反弹两次就是 10 , 000 10,000 10,000 条，反弹三次就是 1 , 000 , 000 1,000,000 1,000,000 条，计算量呈指数级爆炸。

解决方案 ：只要令每次反弹的采样数 N = 1 N = 1 N=1，光线数量就不会爆炸！这就是路径追踪 (Path Tracing) 的精髓。（注：如果 N ≠ 1 N \neq 1 N=1，则被称为分布式光线追踪）。

光线生成 (Ray Generation)：只用 1 根光线计算会产生极大的噪点。为了消除噪点，我们可以在每个像素 (pixel) 范围内均匀选取多个采样点，对每个采样点发射一条路径追踪光线，最后求像素辐射度的平均值。

难题二：递归永远不会停止 (Infinite Recursion)

光线在真实世界中会不断弹射。如果在代码中强行限制弹射次数，就会损失能量（图像变暗）。

解决方案：俄罗斯轮盘赌 (Russian Roulette, RR)。

手动设定一个生存概率 P P P ( 0 < P < 1 0 < P < 1 0<P<1)。
以概率 P P P 发射光线，并将返回的着色结果除以 P P P（即 L o / P L_o / P Lo/P）。
以概率 1 − P 1-P 1−P 终止光线，结果记为 0 0 0。

数学证明 ：其期望值 E = P × ( L o / P ) + ( 1 − P ) × 0 = L o E = P \times (L_o / P) + (1-P) \times 0 = L_o E=P×(Lo/P)+(1−P)×0=Lo，保证了结果在统计上的正确性。

2.2.5 提升效率：直接对光源采样 (Sampling the Light)

低效率的原因：如果光源很小，在着色点上半球均匀采样时，绝大部分光线都打不到光源被"浪费"了，导致结果充满噪点。

解决方案 ：既然蒙特卡洛积分允许任何采样方式，我们可以直接在光源表面积上进行采样（这样没有光线会被浪费）。光源面积为 A A A，则均匀采样的 PDF 为 1 / A 1/A 1/A。

变量替换 ：渲染方程原本是对立体角 d ω d\omega dω 积分，我们需要将其转换为对光源面积 d A dA dA 的积分。根据立体角的定义：

d ω = d A cos ⁡ θ ′ ∣ ∣ x ′ − x ∣ ∣ 2 d\omega = \frac{dA \cos\theta'}{||x' - x||^2} dω=∣∣x′−x∣∣2dAcosθ′

其中 θ ′ \theta' θ′ 是光源法线与光线方向的夹角， ∣ ∣ x ′ − x ∣ ∣ 2 ||x' - x||^2 ∣∣x′−x∣∣2 是两点距离的平方。

将其代入渲染方程，即可将针对立体角的积分改写为针对光源面积的积分。

2.2.6 最终的路径追踪算法结构

为了兼顾效率与物理正确性，最终的算法将着色分为两部分求和：

直接光照 (来自光源)：在光源表面均匀采样。不需要俄罗斯轮盘赌。只需从着色点向光源采样点发射一条射线，如果中间没有被遮挡（Not blocked），则计算其贡献。
间接光照 (来自其他反射物)：使用俄罗斯轮盘赌决定是否继续。如果在半球上按概率采样发出的射线击中了非发光物体，则递归调用着色函数。

二者相加即为最终结果。

2.3 补充与总结 (Side Notes)

学习门槛：路径追踪由于融合了物理、概率论、微积分和代码实现，难度较高。

渲染质量：路径追踪生成的图像极其逼真，几乎是 100% 物理正确的（达到了照片级写实 Photo-realistic）。

概念区分：

以前说的"光线追踪"通常指 Whitted-style 光线追踪。
现代图形学中的"光线追踪"指的是光线传输的通用求解方案集合，包含了：单向/双向路径追踪 (PT/BDPT)、光子映射 (Photon Mapping)、Metropolis 光线传输 (MLT)、VCM 等等。

课程未涵盖的主题（图形学进阶领域）：

如何非均匀采样（重要性采样 Importance Sampling）？
伪随机数的作用（低差异序列 Low discrepancy sequences）。
如何结合半球采样与光源采样（多重重要性采样 MIS）？
像素重建滤波 (Pixel reconstruction filter) 与伽马校正 (Gamma correction) / 色彩空间等知识。