👋 欢迎阅读
🎯 欢迎来到「单调递增的数字」题解之旅！ 本文将带你从"找不超过给定数字的最大单调递增数"这一数字处理问题出发，深入理解贪心算法 的巧妙运用，并掌握如何通过从高位向低位扫描、定位下降点来高效构造结果。
在开始之前，建议你先：
-
了解题目背景 ：这是 LeetCode 738 题，给定一个非负整数 nn，要求返回小于或等于 nn 的最大数字 ，且该数字的每一位从左到右呈非递减 （单调递增）。本质上，我们需要在数字的十进制表示上做局部调整，将某个高位减1，后续全部变为9，以保证结果尽量大且满足单调性。
-
明确学习目标 ：掌握贪心核心步骤 ------将 nn 转为字符数组，从高位向低位找到第一个下降位置 ，然后从该位置向前回溯，将前面相等的数字减1（处理借位），最终将该位置之后的所有数字置为9。理解为什么这样能得到最大且合法的结果（贪心选择：在尽可能高的位置减小一位，后面全部用9填充，既保证最大又保证单调）。
-
准备好环境：建议在本地 IDE 或 LeetCode 在线编辑器中打开代码，边看边运行。
本文将从问题转化、贪心策略设计（定位下降点 + 回溯借位 + 填充9）、正确性直觉 到代码实现，层层递进。即使你对贪心算法还不熟悉，我们也会从"让高位尽量大，后面全用9来补"这一直觉出发，让你轻松抓住核心思想 ------一旦发现上升趋势被破坏，就减小当前位，并把后面所有位变成9，这样既保证最大又满足单调。现在，让我们一起调整数字的每一位，找出那个最大的单调递增数吧！ 🔢✨
一、题目
二、做题思路
1. 问题分析（前置分析）
给定一个整数 n，要求找到 小于或等于 n 的最大数字 ，且该数字的每一位从高位到低位 单调非递减 （即 x <= y）。
核心贪心思想 ：从高位到低位扫描，找到第一个 下降点 （即 当前位 > 下一位），将 该位数字减 1 ，并将 该位之后的所有位都变为 9 ，这样得到的数一定是满足条件且最大的。
特殊处理 ：若下降点前有连续相等数字，需要 回退到相等段的起始位 进行减 1，以保证结果最大且不破坏单调性。
2. 贪心策略（核心决策规则）
-
将
n转换为字符串ret，便于逐位操作。 -
使用两个指针：
left指向当前相等段的起始位置 ，right指向当前待比较的下一位。 -
从左到右扫描：
-
若
ret[left] < ret[right]，说明严格递增，更新left = right，right++继续向后。 -
若
ret[left] == ret[right]，说明相等，left保持不变 ，right++继续向后。 -
若
ret[left] > ret[right]，找到下降点：-
将
ret[left]减 1 （字符减 1，如'3'变为'2'）。 -
将
left+1及其之后所有位都设为'9'。 -
直接返回修改后的整数 （
stoi(ret)可自动去除前导零）。
-
-
-
若整个扫描未发现下降点，说明原数字本身已单调递增，直接返回
n。
3. 正确性说明（简单版本）
为了得到不超过 n 的最大单调递增数，必须在第一个可能导致递减的位置进行调整。将第一个下降点的高位减 1，并将后面所有位变成 9 ，是使数字尽可能大且满足单调性的唯一最优方式。若将更低位减 1，则高位不变但后面变为 9 会超过 n；若将更高位减 1，则数字会过小，不是最大。回退到相等段起始位 是为了避免 332 这样的情况：直接处理 3>2 得到 329，但 329 仍不是单调递增（3>2），必须将第一个 3 减 1 变为 2，后面全为 9，得到 299，这才是正确结果。因此贪心策略正确。
4. 实现细节（边界防护）
-
使用 字符串
ret存储n的每一位，便于修改和比较。 -
初始
left = 0，right = 1。 -
扫描过程中，
left始终指向当前相等段的第一个位置，当遇到下降时，该位置就是要减 1 的位置。 -
找到下降点后，将
left之后的字符全部置为'9'，然后用stoi转回整数返回。 -
若
n为个位数，直接返回原数（循环不执行，进入最后的return n）。
5. 返回值（目标映射）
返回修改后的整数，即 小于或等于 n 的最大单调递增数字。
四、代码
cpp
class Solution
{
public:
int monotoneIncreasingDigits(int n)
{
// 贪心策略：从高位到低位寻找第一个下降点（当前位 > 下一位），
// 将该位数字减1，并将之后所有位变为9，即可得到最大的单调递增数。
// 注意：如果前面存在连续相等的情况，需要回退到相等段的起始位进行减1，
// 以确保结果最大。本算法通过 left 指针始终指向当前相等段的起始位来实现。
string ret = to_string(n); // 将整数转为字符串，便于逐位操作
int len = ret.size();
int left = 0; // 当前比较的左边界（指向当前相等段的起始位置）
int right = 1; // 当前比较的右边界（指向待比较的下一位）
// 从左到右扫描，寻找第一个下降点
while (right < len)
{
// 情况1：左位 < 右位，说明是严格递增，更新左边界为当前右位，
// 并继续向后移动右指针。
if (ret[left] < ret[right])
{
left = right;
right++;
}
// 情况2：左位 == 右位，说明相等，左边界不变（保持为相等段的起点），
// 只移动右指针继续向后比较。
else if (ret[left] == ret[right])
{
right++;
}
// 情况3：左位 > 右位，找到下降点。
// 将相等段起始位（left）减1，并将该位之后的所有位置设为'9'，
// 然后返回结果。
else
{
ret[left] = ret[left] - 1; // 减1操作（注意字符减1，如'3'变为'2'）
int index = left + 1;
while (index < len)
{
ret[index++] = '9';
}
// 将修改后的字符串转回整数并返回（自动忽略前导零）
return stoi(ret);
}
}
// 如果整个字符串原本就是单调递增的，则直接返回原数
return n;
}
};五、流程图
六、正确性说明（详细版）
步骤 1：符号与问题建模
+----------------------------------------------------+
| 输入：整数 n，转为字符串 s（高位到低位） |
| 定义：单调递增数满足 s[i] <= s[i+1] 对所有 i。 |
| 目标：返回不大于 n 的最大单调递增整数。 |
+----------------------------------------------------+
|
v
+----------------------------------------------------+
| 贪心策略：从左到右扫描，维护 left 指向当前相等段 |
| 的起始位置（初始0），right 指向下一位。 |
| ① 若 s[left] < s[right]，则更新 left=right； |
| ② 若 s[left] == s[right]，则保持 left 不动； |
| ③ 若 s[left] > s[right]（找到下降点）， |
| 将 s[left] 减1，并将 left 之后所有位设为9， |
| 返回结果。 |
| 贪心实质：在保证尽可能大的前提下，遇到下降必须 |
| 退一步（减1）并填充9，以维持单调递增性质。 |
+----------------------------------------------------+-
将整数
n转为字符串，便于逐位操作。 -
核心观察 ：任何小于
n且尽量大的数，必然是在某个位置比n小一位，后面全为9。为了最大，这个位置应尽量靠右（即最早出现的下降点的前一位，且若是相等段则需要回退到该段的最左端）。
步骤 2：关键性质 ------ 下降点与相等段处理的正确性（反证法）
+----------------------------------------------------+
| 性质 1：若 s[i] > s[i+1]，则任何大于将 s[i] 减1 |
| 且后面全9的数都不可能满足单调递增。 |
| 反证：若 s[i] 不减1，则为了不大于原数，后面必 |
| 然有某位小于原数，形成新的下降，无法保持递增。 |
| 因此最优解必须将 s[i] 减1，后续全置9。 |
+----------------------------------------------------+
|
v
+----------------------------------------------------+
| 性质 2（相等段回退）：若存在连续相等段 |
| s[left..right-1] 都相等，且 s[right] 更小， |
| 则必须将 **整个相等段的最左端** 减1， |
| 因为若只在最后一位减1（如332 → 322）， |
| 则前一位仍大于下一位（3 > 2），仍不满足递增， |
| 且后续无论怎么补9都无法补救。 |
+----------------------------------------------------+详细论证：
-
性质1（下降点处理） ：设首次出现下降的位置为
i，即s[i] > s[i+1]。为了得到不大于原数的最大单调递增数，该位置之前的数字必须保持不变 （否则会变得更小，损失太大）。若s[i]不变，则无论i之后如何调整，s[i] > s[i+1]的约束无法满足，因此必须将s[i]减1。减1后，为了让数尽可能大且保持递增，i之后的所有位都应设为9（这是最大的可行选择）。 -
性质2（相等段回退） ：当遇到
s[left] == s[right]时，left保持不动，直到找到一个更小的数字或字符串结束。例如332：扫描过程left=0, right=1（3==3），right=2发现 3>2，此时left仍为0，将s[0]减1得2，后面全9得299。若将left更新为1再减1，则得到322，并非单调递增。因此 必须回退到相等段的最左端进行减1，才能保证减1后前缀仍满足递增。
步骤 3：归纳证明 ------ 扫描过程得到全局最优
+----------------------------------------------------+
| 初始：left=0, right=1，扫描前两位。 |
| 归纳假设：在处理到位置 i 时，left 指向当前相等段 |
| 起点，且 s[left] 是前缀中需要保留的参考值， |
| 之前部分已经满足单调递增。 |
+----------------------------------------------------+
|
v
+----------------------------------------------------+
| 处理 s[i] 与 s[i+1]： |
| - 若 s[i] < s[i+1]，则前缀递增，更新 left=i+1。 |
| - 若 s[i] == s[i+1]，保持 left，继续。 |
| - 若 s[i] > s[i+1]，由性质1和性质2，将 s[left] |
| 减1，后面全9，所得结果即为最大可行数。 |
+----------------------------------------------------+
|
v
+----------------------------------------------------+
| 若扫描结束未发现下降，则原数本身单调递增， |
| 直接返回 n。 |
| 否则，修改后的字符串是最大且唯一的解。 |
+----------------------------------------------------+详细论证：
-
归纳基础 ：初始时
left=0，前缀为空，无任何约束。 -
归纳步骤 ：假设已处理到位置
i，且之前所有位都满足单调递增。考虑s[i]与s[i+1]的关系：-
若
s[i] < s[i+1]，则已满足递增，且s[i]作为新的相等段起点（因为下一个可能相等），更新left=i+1。 -
若
s[i] == s[i+1]，则当前相等段延续，left保持，继续向后检查。 -
若
s[i] > s[i+1]，出现下降。由性质2，必须将相等段起点（left位置）减1，因为任何更靠右的修改都会导致前缀或自身出现新的下降。减1后，为了最大化，将后续所有位设为9。此时得到的结果是不大于原数的最大单调递增数。
-
-
终止 ：若整个字符串扫描结束未发现下降，则
n本身满足单调递增，直接返回n。若发现下降并修改，则修改后的字符串满足单调递增（因为前缀不变且递增，减1位变小，后续全9，必不小于前一位），且是唯一能达到的最大值（任何其他改法都会更小或违反单调性）。
🎯 闭幕
🎉 恭喜你完成了「单调递增的数字」问题的学习！
为了巩固知识并进一步拓展，建议你：
🚀 动手实践
在 LeetCode 上提交代码，尝试不同的测试用例。
💡 深入思考
-
本题的核心是 贪心 + 字符串操作 ：从高位向低位寻找第一个 下降点 （即
ret[i] > ret[i+1]），然后向前回退到 相等段的起始位 ，将该位减1，后面全部置为9。为什么这样的操作能得到"小于等于 n 的最大单调递增数"？ 如果直接找到下降点就处理，不处理相等段，可能会错过更大的结果，你能举例说明吗？ -
代码中维护了
left指针指向当前相等段的起始位置。为什么需要记录相等段？ 如果只有下降点而前面没有相等，比如332，找到下降点3>2，但前面的两个3相等，需要把第一个3减1得到299；如果不回退到最前面，只把第二个3减1会得到329，比299大吗？实际上329不是单调递增（3>2），所以必须回退到相等段起点。你能理解这个回退的必要性吗？
📚 延伸挑战
-
将题目改为 单调递减的数字 （每位
x >= y），求小于等于n的最大递减数，你只需要修改哪些判断条件？ -
如果要求 严格单调递增 （每位必须
<而不是<=），算法需要怎么调整？
如果你觉得本文对你有所帮助，欢迎：
👍 点赞 / 收藏
👤 关注作者，获取更多题解
💬 留言交流你的疑问或优化思路
祝你在 算法之路 上越走越稳，早日攻克每一道难题！下次见 🚀✨