文章目录
- 引言
- 四、概率基本公式
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- [4.1 减法公式](#4.1 减法公式)
- [4.2 加法公式](#4.2 加法公式)
- [4.3 条件概率公式](#4.3 条件概率公式)
- [4.4 乘法公式](#4.4 乘法公式)
- 五、事件的独立性
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- [5.1 事件独立的定义](#5.1 事件独立的定义)
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- [5.1.1 两个事件的独立](#5.1.1 两个事件的独立)
- [5.1.2 三个事件的独立](#5.1.2 三个事件的独立)
- [5.2 事件独立的性质](#5.2 事件独立的性质)
- 写在最后
引言
承接上文，继续介绍概率论与数理统计第一章的内容。
四、概率基本公式
4.1 减法公式
P ( A − B ) = P ( A B ‾ ) = P ( A ) − P ( A B ) . P(A-B)=P(A \overline{B} )=P(A)-P(AB). P(A−B)=P(AB)=P(A)−P(AB). 证明： A = ( A − B ) + A B A=(A-B)+AB A=(A−B)+AB ，且 A − B A-B A−B 与 A B AB AB 互斥，根据概率的有限可加性，有 P ( A ) = P ( A − B ) + P ( A B ) P(A)=P(A-B)+P(AB) P(A)=P(A−B)+P(AB) ，即 P ( A − B ) = P ( A ) − P ( A B ) P(A-B)=P(A)-P(AB) P(A−B)=P(A)−P(AB) 。
A = A B ‾ + A B A=A\overline{B} +AB A=AB+AB ，且 A B ‾ A\overline{B} AB 与 A B AB AB 互斥，由有限可加性得： P ( A B ‾ ) = P ( A ) − P ( A B ) P(A \overline{B} )=P(A)-P(AB) P(AB)=P(A)−P(AB)
4.2 加法公式
（1） P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A B ) . P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB). P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB).
证明： A + B = ( A − B ) + ( B − A ) + A B A+B=(A-B)+(B-A)+AB A+B=(A−B)+(B−A)+AB ，且 A − B , B − A , A B A-B,B-A,AB A−B,B−A,AB 两两互斥，由有限可加性，可得： P ( A + B ) = P ( A − B ) + P ( B − A ) + P ( A B ) P(A+B)=P(A-B)+P(B-A)+P(AB) P(A+B)=P(A−B)+P(B−A)+P(AB) 再结合减法公式，有： P ( A + B ) = P ( A ) − P ( A B ) + P ( B ) − P ( B A ) + P ( A B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A B ) . P(A+B)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(BA)+P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB). P(A+B)=P(A)−P(AB)+P(B)−P(BA)+P(AB)=P(A)+P(B)−P(AB). （2） P ( A + B + C ) = P ( A ) + P ( B ) + P ( C ) − P ( A B ) − P ( A C ) − P ( B C ) + P ( A B C ) . P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC). P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)−P(AB)−P(AC)−P(BC)+P(ABC).
4.3 条件概率公式
设 A , B A,B A,B 为两个事件，且 P ( A ) > 0 P(A)>0 P(A)>0 ，则 P ( B ∣ A ) = P ( A B ) P ( A ) . P(B | A)= \frac{P(AB)}{P(A)}. P(B∣A)=P(A)P(AB).
4.4 乘法公式
（1）设 P ( A ) > 0 P(A)>0 P(A)>0 ，则 P ( A B ) = P ( A ) P ( B ∣ A ) . P(AB)=P(A)P(B|A). P(AB)=P(A)P(B∣A).
（2） P ( A 1 A 2 ... A n ) = P ( A 1 ) P ( A 2 ∣ A 1 ) P ( A 3 ∣ A 1 A 2 ) ... P ( A n ∣ A 1 A 2 ... A n − 1 ) . P(A_1A_2 \dots A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)P( A_3|A_1A_2)\dots P(A_n|A_1A_2\dots A_{n-1}). P(A1A2...An)=P(A1)P(A2∣A1)P(A3∣A1A2)...P(An∣A1A2...An−1).
五、事件的独立性
5.1 事件独立的定义
5.1.1 两个事件的独立
设 A , B A,B A,B 为两个随机事件，若 P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) P(AB)=P(A)P(B) P(AB)=P(A)P(B) ，则称事件 A , B A,B A,B 相互独立。
5.1.2 三个事件的独立
设 A , B , C A,B,C A,B,C 为三个随机事件，若满足 P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) , P ( A C ) = P ( A ) P ( C ) , P ( B C ) = P ( B ) P ( C ) , P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C), P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C), 且 P ( A B C ) = P ( A ) P ( B ) P ( C ) P(ABC)=P(A)P(B)P(C) P(ABC)=P(A)P(B)P(C) ，则称三个事件 A , B , C A,B,C A,B,C 相互独立。
5.2 事件独立的性质
性质 1 若事件 A A A 和 B B B 相互独立，则 A A A 与 B ‾ \overline{B} B 、 A ‾ \overline{A} A 与 B B B 、 A ‾ \overline{A} A 与 B ‾ \overline{B} B 也相互独立，反之亦成立。
证明：由独立可知， P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) P(AB)=P(A)P(B) P(AB)=P(A)P(B) ，则 P ( A B ‾ ) = P ( A − B ) = P ( A ) − P ( A B ) = P ( A ) − P ( A ) P ( B ) = P ( A ) P ( B ‾ ) , P(A\overline{B})=P(A-B)=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)P(\overline{B}), P(AB)=P(A−B)=P(A)−P(AB)=P(A)−P(A)P(B)=P(A)P(B), 即 A A A 与 B ‾ \overline{B} B 相互独立， A ‾ \overline{A} A 与 B B B 相互独立同理可证。
P ( A ‾ ∩ B ‾ ) = P ( A ∪ B ) ‾ = 1 − P ( A + B ) = 1 − P ( A ) − P ( B ) + P ( A B ) = 1 − P ( A ) 1 − P ( B ) = P ( A ‾ ) P ( B ‾ ) P(\overline{A}\cap \overline{B})=P(\overline{A \cup B)}=1-P(A+B)=1-P(A)-P(B)+P(AB)=1-P(A)1-P(B)=P(\overline{A})P(\overline{B}) P(A∩B)=P(A∪B)=1−P(A+B)=1−P(A)−P(B)+P(AB)=1−P(A)1−P(B)=P(A)P(B) ，则有 A ‾ \overline{A} A 与 B ‾ \overline{B} B 相互独立，反之证明同理。
性质 2 设 A , B A,B A,B 为两个随机事件且 P ( A ) = 0 P(A)=0 P(A)=0 或 P ( A ) = 1 P(A)=1 P(A)=1 ，则 A , B A,B A,B 相互独立。
证明：设 P ( A ) = 0 P(A)=0 P(A)=0 ，由 A B ⊂ A AB \sub A AB⊂A 可知， P ( A B ) ≤ P ( A ) = 0 P(AB) \leq P(A)=0 P(AB)≤P(A)=0 ，又因为 P ( A B ) ≥ 0 P(AB) \geq0 P(AB)≥0 ，故 P ( A B ) = 0 P(AB)=0 P(AB)=0 ，即有 P ( A B ) = P ( A ) = 0 P(AB)=P(A)=0 P(AB)=P(A)=0 ，可得 P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) P(AB)=P(A)P(B) P(AB)=P(A)P(B) ，从而有 A , B A,B A,B 相互独立。
设 P ( A ) = 1 P(A)=1 P(A)=1 ， P ( A ‾ ) = 0 P(\overline{A})=0 P(A)=0 ， P ( B A ‾ ) = P ( B ) − P ( A ) ≤ 1 P(B\overline{A})=P(B)-P(A) \leq1 P(BA)=P(B)−P(A)≤1 ，由 P ( A ) = 1 P(A)=1 P(A)=1 ，可知 P ( B A ‾ ) = 0 P(B\overline{A})=0 P(BA)=0 ，故 P ( B A ‾ ) = P ( A ‾ ) P ( B ) P(B\overline{A})=P(\overline{A})P(B) P(BA)=P(A)P(B) ，即有 A ‾ \overline{A} A 与 B B B 相互独立，根据性质 1 ，事件 A , B A,B A,B 相互独立。
1，事件 A , B , C A,B,C A,B,C 两两独立，则事件 A , B , C A,B,C A,B,C 不一定独立。
2，设 A , B A,B A,B 为两个随机事件，且 P ( A ) > 0 , P ( B ) > 0 P(A)>0,P(B)>0 P(A)>0,P(B)>0 ，则
若 A , B A,B A,B 独立，则 A , B A,B A,B 不互斥。因为此时 P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) > 0 P(AB)=P(A)P(B)>0 P(AB)=P(A)P(B)>0 ，不为空集。
若 A , B A,B A,B 互斥，则 A , B A,B A,B 不独立。此时 P ( A B ) = ∅ P(AB)=\empty P(AB)=∅ ，必不可能等于 P ( A ) P ( B ) P(A)P(B) P(A)P(B) 。
设事件 A 1 , A 2 , ... , A m A_1,A_2,\dots,A_m A1,A2,...,Am ，事件 B 1 , B 2 , ... , B n B_1,B_2,\dots,B_n B1,B2,...,Bn 相互独立，则由事件 A 1 , A 2 , ... , A m A_1,A_2,\dots,A_m A1,A2,...,Am 所构成的任意事件 φ ( A 1 , A 2 , ... , A m ) \varphi(A_1,A_2,\dots,A_m) φ(A1,A2,...,Am) 与由事件 B 1 , B 2 , ... , B n B_1,B_2,\dots,B_n B1,B2,...,Bn 构成的任意事件 ϕ ( B 1 , B 2 , ... , B n ) \phi (B_1,B_2,\dots,B_n) ϕ(B1,B2,...,Bn) 相互独立。
写在最后
剩下一个贝叶斯和全概率，还有概型，放到后面吧。