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1、最短路径
最短路径是在有向图中，找一个顶点到另一个顶点的最短路径，也就是边的权值和最小。
2、单源最短路径------Dijkstra算法（正权值）
单源指的是只有一个起点，求到图中其它所有点的最短路径。这个算法要求边的权值为正数才行。
D算法用的是局部贪心。分为两个集合S和Q，放起点s到S中，从Q中拿出一个点q，假设从头开始遍历，找到从s到q的最小边，找到就把q从Q中删除，放到S中，然后对u的每一个相邻节点v做松弛操作：看s到v的最小权值，和s到u，u到v的权值和谁更小，哪个小就更新为s到v的最小权值。
这个算法的贪心还体现在，s更新了t和y位置的值后，y的值比t小，它就选择从y继续走，更新下一个点，从y走，走到下一个点，下一点再和刚才一样的操作，更新它连接的所有顶点，再找到最小的那个走。这个最小是所有点位置的值中最小的。
对于每个位置的更新，可以想象一个数组，每个顶点对应一个下标，起点位置就是0位置处，其它位置都是无穷，第一次s更新完t和y的值后，这两点的下标位置处就填充为数字10和5，然后一步步变更所有位置的数值。
但路径的存储比较麻烦，D算法的解决办法是用一个一维数组，存储父节点，也就是路径上前一个顶点下标。最一开始，s和t，y直接相连，那么t和y位置就填上s的下标，也就是0，下一步，更新了s到x，通过y，那么x就存y的下标，一步步变更数字，最后得到的就是一整个路径。
cpp
void Dijkstra(const V& src, vector<W>& dist, vector<int>& pPath)
{
size_t srci = GetVertexIndex(src);
size_t n = _vertexs.size();
dist.resize(n, MAX_W);
pPath.resize(n, -1);
dist[srci] = 0;
pPath[srci] = srci;
vector<bool> S(n, false);//已经确定最短路径的集合
for(size_t j = 0; j < n; ++j)
{
//选最短路径顶点且不在S，更新其它路径
int u = 0;
W min = MAX_W;
for (size_t i = 0; i < n; ++i)
{
if (S[i] == false && dist[i] < min)
{
u = i;
min = dist[i];
}
}
S[u] = true;
//松弛 srci -> u , u ->其它顶点：srci -> 其它顶点
for (size_t v = 0; v < n; ++v)
{
//已经更新过的就不用更新了。
if (S[v] == false && _matrix[u][v] != MAX_W && dist[u] + _matrix[u][v] < dist[v])
{
dist[v] = dist[u] + _matrix[u][v];
pPath[v] = u;
}
}
}
}测试代码
cpp
void TestGraphDijkstra()
{
const char* str = "syztx";
Graph<char, int, INT_MAX, true> g(str, strlen(str));
g.AddEdge('s', 't', 10);
g.AddEdge('s', 'y', 5);
g.AddEdge('y', 't', 3);
g.AddEdge('y', 'x', 9);
g.AddEdge('y', 'z', 2);
g.AddEdge('z', 's', 7);
g.AddEdge('z', 'x', 6);
g.AddEdge('t', 'y', 2);
g.AddEdge('t', 'x', 1);
g.AddEdge('x', 'z', 4);
vector<int> dist;
vector<int> parentPath;
g.Dijkstra('s', dist, parentPath);
}打印函数。我们需要像并查集那样一点点往上寻找节点，这里找到后把它存入一个数组中，然后逆序整个数组，就是路径了
cpp
void PrintShortPath(const V& src, const vector<W>& dist, const vector<int>& pPath)
{
size_t srci = GetVertexIndex(src);
size_t n = _vertexs.size();
for (size_t i = 0; i < n; ++i)
{
if (i != srci)
{
//找出i顶点的路径
vector<int> path;
size_t parent = i;
while (parent != srci)
{
path.push_back(parent);
parent = pPath[parent];//变成当前节点的父节点
}
path.push_back(srci);
reverse(path.begin(), path.end());
for (auto e : path)
{
cout << _vertexs[e] << " -> ";
}
cout << "权值和: " << dist[i] << endl;
}
}
}
//测试代码最后加上这行
g.PrintShortPath('s', dist, parentPath);3、单源最短路径------BellmanFord算法
这个算法其实是一个暴力更新算法。效率比D算法低，但是可以求负权值，而D只能求正权值的图。BF算法的时间复杂度是n * 边数，如果是稠密图，BF算法时间消耗不小。
先初始化
cpp
void BellmanFord(const V& src, vector<W>& dist, vector<int>& pPath)
{
//初始化
size_t srci = GetVertexIndex(src);
size_t n = _vertexs.size();
dist.resize(N, MAX_W);
parentPath.resize(N, -1);
dist[srci] = W();//缺省值假设起点s和其它点集合V，要么是直接相连，要么是多条边连接。BF注重的是终止边，比如s - i - j，s和j之间也有直接相连，找到s到i的最短边，i到j的最短边，然后相加和s - j直接相连的边比较，谁更小谁就是s到j的最短路径。
cpp
bool BellmanFord(const V& src, vector<W>& dist, vector<int>& pPath)
{
//初始化
size_t srci = GetVertexIndex(src);
size_t n = _vertexs.size();
dist.resize(n, MAX_W);
pPath.resize(n, -1);
dist[srci] = W();//缺省值
//i -> j
cout << "更新边: " << endl;
for (size_t i = 0; i < n; ++i)
{
for (size_t j = 0; j < n; ++j)
{
//srci -> i + i -> j < src -> j
if (_matrix[i][j] != MAX_W && dist[i] + _matrix[i][j] < dist[j])
{
cout << _vertexs[i] << " -> " << _vertexs[j] << ":" << _matrix[i][j] << endl;
dist[j] = dist[i] + _matrix[i][j];
pPath[j] = i;
}
}
}
cout << " " << endl;
return true;//下面会写明这个true的意义
}测试代码
cpp
void TestGraphBellmanFord()
{
const char* str = "syztx";
Graph<char, int, INT_MAX, true> g(str, strlen(str));
g.AddEdge('s', 't', 6);
g.AddEdge('s', 'y', 7);
g.AddEdge('y', 'z', 9);
g.AddEdge('y', 'x', -3);
g.AddEdge('z', 's', 2);
g.AddEdge('z', 'x', 7);
g.AddEdge('t', 'x', 5);
g.AddEdge('t', 'y', 8);
g.AddEdge('t', 'z', -4);
g.AddEdge('x', 't', -2);
vector<int> dist;
vector<int> parentPath;
if (g.BellmanFord('s', dist, parentPath))
{
g.PrintShortPath('s', dist, parentPath);
}
else
{
cout << "存在负权回路" << endl;
}
}
我们看一下结果。最一开始dist里都是无穷大，除了起点位置，第一次更新的是s到y，代码中也就是dist[y] = dist[s] + _matrix[s][y]，s就是0位置处，这里相当于s到y更新为s到s + s到y，然后pPath数组中y位置就填0，也就是s点所在的位置，dist[y]就是7，接下来更新s到t，也是一样，pPath中t位置处填0，dist[t] = 6。更新y到z，那么pPath里z位置就填y的下标，dist[z] = 7 + 9。更新y到x，dist[x] = 7 - 3，更新t到z，此时z就填的不是y的下标，而是t的下标了，dist[z] = 6 - 4。
到了x->t，从s到t的路径就是s x t，前面s到x的路径已经更新了值，那么dist[t] = 7 - 3 - 2 = 2，此前是6，但是这个点更新就错误了，因为之前用t更新了z，s t z，dist[z] = 2，然后下一步更新x到t，dist[t]更新成了2，那么t再到z，应当是2 - 4 = -2。这个问题就是负权回路问题。
负权回路可以有个很暴力的解决方案，既然一次更新会出这样的问题，那就更新n次，因为可能再次更新还会有别的路径受影响，而更新n次就没有问题，在外面再嵌套一个循环。不过不是每次都会更新，得控制一下如果没有更新的了就结束。
cpp
bool BellmanFord(const V& src, vector<W>& dist, vector<int>& pPath)
{
//初始化
size_t srci = GetVertexIndex(src);
size_t n = _vertexs.size();
dist.resize(n, MAX_W);
pPath.resize(n, -1);
dist[srci] = W();//缺省值
//i -> j
for (size_t k = 1; k <= n; ++k)
{
bool update = false;
cout << "更新第" << k << "轮" << endl;
for (size_t i = 0; i < n; ++i)
{
for (size_t j = 0; j < n; ++j)
{
//srci -> i + i -> j < src -> j
if (_matrix[i][j] != MAX_W && dist[i] + _matrix[i][j] < dist[j])
{
update = true;
cout << _vertexs[i] << " -> " << _vertexs[j] << ":" << _matrix[i][j] << endl;
dist[j] = dist[i] + _matrix[i][j];
pPath[j] = i;
}
}
}
if (!update)//如果这一轮没有更新，就不需要继续了
{
cout << "没有更新，程序结束" << endl;
cout << " " << endl;
break;
}
cout << " " << endl;
}
return true;
}但是这样每次的更新所有边都参与，都需要去判断，应当改善为只更新需要更新的。
1、BF优化：SPFA
这个优化叫SPFA函数，用队列去优化。除了第一轮所有的边都入队列外，后面的轮次都只更新更短路径的边，让出现更短路径的边入队列。最好的情况是O(N ^ 2)，最坏的情况是O(n ^ 3)。
2、BF算法解决不了带负权回路的问题，实际上哪一个算法都无法求出来
看下面的带负权回路的测试代码
cpp
const char* str = "syztx";
Graph<char, int, INT_MAX, true> g(str, strlen(str));
g.AddEdge('s', 't', 6);
g.AddEdge('s', 'y', 7);
g.AddEdge('y', 'x', -3);
g.AddEdge('y', 'z', 9);
g.AddEdge('y', 'x', -3);
g.AddEdge('y', 's', 1); // 新增
g.AddEdge('z', 's', 2);
g.AddEdge('z', 'x', 7);
g.AddEdge('t', 'x', 5);
g.AddEdge('t', 'y', -8); // 更改
g.AddEdge('t', 'z', -4);
g.AddEdge('x', 't', -2);
vector<int> dist;
vector<int> parentPath;
if (g.BellmanFord('s', dist, parentPath))
{
g.PrintShortPath('s', dist, parentPath);
}
else
{
cout << "存在负权回路" << endl;
}这样就会导致不断地更新，每次更新都需要更新所有边，无法确定最终答案。可以在原代码上加个判断，如果更新n次后，还可以更新，那就是负权回路。
cpp
bool BellmanFord(const V& src, vector<W>& dist, vector<int>& pPath)
{
//初始化
size_t srci = GetVertexIndex(src);
size_t n = _vertexs.size();
dist.resize(n, MAX_W);
pPath.resize(n, -1);
dist[srci] = W();//缺省值
//i -> j
for (size_t k = 1; k <= n; ++k)
{
bool update = false;
cout << "更新第" << k << "轮" << endl;
for (size_t i = 0; i < n; ++i)
{
for (size_t j = 0; j < n; ++j)
{
//srci -> i + i -> j < src -> j
if (_matrix[i][j] != MAX_W && dist[i] + _matrix[i][j] < dist[j])
{
update = true;
cout << _vertexs[i] << " -> " << _vertexs[j] << ":" << _matrix[i][j] << endl;
dist[j] = dist[i] + _matrix[i][j];
pPath[j] = i;
}
}
}
if (!update)//如果这一轮没有更新，就不需要继续了
{
cout << "没有更新，程序结束" << endl;
cout << " " << endl;
break;
}
cout << " " << endl;
}
for (size_t i = 0; i < n; ++i)
{
for (size_t j = 0; j < n; ++j)
{
if (_matrix[i][j] != MAX_W && dist[i] + _matrix[i][j] < dist[j])
{
return false;
}
}
}
return true;//返回真就说明不是负权回路
}4、多源最短路径------Floyd-Warshall算法
F算法可以解决负权值问题，用来求任意两点之间的最短路径问题，用动态规划。它以所有点为源点，也可以求出任意两点之间的最短路径。
既然是多源，那么一维数组就不行了，dist和pPath都得是二维数组。之前的算法中，到i位置的最短路径存在dist[i]中，有可能不是直接相连的，而是间接。在二维数组中，两个位置下标就直接表示了两点之间最短路径。假设有n个顶点，i到j的最短路径中，最多经过n - 2个点。
假设i到j之间有1这个点，2这个点，...，k这个点，用三维数组来想象
经过点k了，那么这个有k个点的集合就变成k - 1个，i到j被分为i到k和k到j，i到k就有k - 1个点，k到j也同样有k - 1个点，但这k - 1个点不一样，这里就想象为i到k有k个点，去掉k，就是k - 1；k到j有k个点，去掉k，就是k - 1，所以这就是为什么叫集合。这里分出来的两部分其实和i到j的分析一样，只是点不同了，经过的点也不同了，i到k之间有k - 1个点，i到k的最短路径经过k - 1这个点，k到j有k - 1个点，k到j的最短路径有k - 1这个点。
如果不经过k点，那也去掉，这时候i到j就有k - 1个点，那么此时结果就取决于是否经过k - 1这个点。
上图可以发现，这个算法用到了动规，我们可以把三维压缩为二维数组来实现。
cpp
bool Floyd_Warshall(vector<vector<W>>& vvDist, vector<vector<int>>& vvpPath)
{
size_t n = _vertexs.size();
vvDist.resize(n);
vvpPath.resize(n);
//初始化权值和父路径矩阵
for (size_t i = 0; i < n; ++i)
{
vvDist[i].resize(n, MAX_W);
vvpPath[i].resize(n, -1);
}
//直接相连的边更新
for (size_t i = 0; i < n; ++i)
{
for (size_t j = 0; j < n; ++j)
{
if (_matrix[i][j] != MAX_W)
{
vvDist[i][j] = _matrix[i][j];
vvpPath[i][j] = i;//因为直接相连，所以j的父节点是i
}
if (i == j) vvDist[i][j] = 0;//只是自己规定的，也可以不加这个，这样对角线位置就是_matrix[i][j]的值
}
}
//更新最短路径
//i -> {其它顶点} -> j，k作为ij的中间点，可能是ij之间任意一个点
size_t k;
for (size_t i = 0; i < n; ++i)
{
for (size_t j = 0; j < n; ++j)
{
//按照公式更新
if (vvDist[i][k] != MAX_W && vvDist[k][j] != MAX_W
&& vvDist[i][k] + vvDist[k][j] < vvDist[i][j])//首先得是i到k，k到j之间有路径
{
vvDist[i][j] = vvDist[i][k] + vvDist[k][j];
//ij之间经过k，要更新j的上一个邻接顶点，也就是上一个顶点
//如果kj直接相连，那j上一个点就是k，vvpPath[k][j]存的就是k
//如果kj没有直接相连，kj之间还有点，vvpPath[k][j]存的就是这个点
vvpPath[i][j] = vvpPath[k][j];
}
}
}
}仔细理解上面代码后，上面的k是我们自己选的k，但实际上有很多个顶点都需要去判断，所以k也得循环取一遍。
cpp
//更新最短路径
//i -> {其它顶点} -> j，k作为ij的中间点，可能是ij之间任意一个点
for (size_t k = 0; k < n; ++k)
{
for (size_t i = 0; i < n; ++i)
{
for (size_t j = 0; j < n; ++j)
{
//按照公式更新
if (vvDist[i][k] != MAX_W && vvDist[k][j] != MAX_W
&& vvDist[i][k] + vvDist[k][j] < vvDist[i][j])//首先得是i到k，k到j之间有路径
{
vvDist[i][j] = vvDist[i][k] + vvDist[k][j];
//ij之间经过k，要更新j的上一个邻接顶点，也就是上一个顶点
//如果kj直接相连，那j上一个点就是k，vvpPath[k][j]存的就是k
//如果kj没有直接相连，kj之间还有点，vvpPath[k][j]存的就是这个点
vvpPath[i][j] = vvpPath[k][j];
}
}
}
}测试代码
cpp
void TestFloydWarshall()
{
const char* str = "12345";
Graph<char, int, INT_MAX, true> g(str, strlen(str));
g.AddEdge('1', '2', 3);
g.AddEdge('1', '3', 8);
g.AddEdge('1', '5', -4);
g.AddEdge('2', '4', 1);
g.AddEdge('2', '5', 7);
g.AddEdge('3', '2', 4);
g.AddEdge('4', '1', 2);
g.AddEdge('4', '3', -5);
g.AddEdge('5', '4', 6);
vector<vector<int>> vvDist;
vector<vector<int>> vvParentPath;
g.Floyd_Warshall(vvDist, vvParentPath);
// 打印任意两点之间的最短路径
/*for (size_t i = 0; i < strlen(str); ++i)
{
g.PrintShortPath(str[i], vvDist[i], vvParentPath[i]);
cout << endl;
}*/
}这里的打印函数这样实现
cpp
//打印权值和路径矩阵观察数据
for (size_t i = 0; i < n; ++i)
{
for (size_t j = 0; j < n; ++j)
{
if (vvDist[i][j] == MAX_W)
{
printf("%3c", '*');
}
else
{
printf("%3d", vvDist[i][j]);
}
}
printf("\n");
}
printf("\n");
for (size_t i = 0; i < n; ++i)
{
for (size_t j = 0; j < n; ++j)
{
printf("%3d", vvpPath[i][j]);
}
printf("\n");
}
printf("=================================\n");并且要放到k循环中
cpp
void Floyd_Warshall(vector<vector<W>>& vvDist, vector<vector<int>>& vvpPath)
{
size_t n = _vertexs.size();
vvDist.resize(n);
vvpPath.resize(n);
//初始化权值和父路径矩阵
for (size_t i = 0; i < n; ++i)
{
vvDist[i].resize(n, MAX_W);
vvpPath[i].resize(n, -1);
}
//直接相连的边更新
for (size_t i = 0; i < n; ++i)
{
for (size_t j = 0; j < n; ++j)
{
if (_matrix[i][j] != MAX_W)
{
vvDist[i][j] = _matrix[i][j];
vvpPath[i][j] = i;//因为直接相连，所以j的父节点是i
}
if (i == j) vvDist[i][j] = 0;//只是自己规定的，也可以不加这个，这样对角线位置就是_matrix[i][j]的值
}
}
//更新最短路径
//i -> {其它顶点} -> j，k作为ij的中间点，可能是ij之间任意一个点
for (size_t k = 0; k < n; ++k)
{
for (size_t i = 0; i < n; ++i)
{
for (size_t j = 0; j < n; ++j)
{
//按照公式更新
if (vvDist[i][k] != MAX_W && vvDist[k][j] != MAX_W
&& vvDist[i][k] + vvDist[k][j] < vvDist[i][j])//首先得是i到k，k到j之间有路径
{
vvDist[i][j] = vvDist[i][k] + vvDist[k][j];
//ij之间经过k，要更新j的上一个邻接顶点，也就是上一个顶点
//如果kj直接相连，那j上一个点就是k，vvpPath[k][j]存的就是k
//如果kj没有直接相连，kj之间还有点，vvpPath[k][j]存的就是这个点
vvpPath[i][j] = vvpPath[k][j];
}
}
}
//打印权值和路径矩阵观察数据
for (size_t i = 0; i < n; ++i)
{
for (size_t j = 0; j < n; ++j)
{
if (vvDist[i][j] == MAX_W)
{
printf("%3c", '*');
}
else
{
printf("%3d", vvDist[i][j]);
}
}
printf("\n");
}
printf("\n");
for (size_t i = 0; i < n; ++i)
{
for (size_t j = 0; j < n; ++j)
{
printf("%3d", vvpPath[i][j]);
}
printf("\n");
}
printf("=================================\n");
}
}打印是从第一次更新后开始打印的，和上面的图对照起来要从第二行开始。不过图中显示的是整数，我们打印的下标。整体的实现方法是没有问题的。最后打印出来的两个表就是dist和pPath表，看最后的就能知道每两个点之间最短路径通过哪个点。
也可以加上最短路径的打印函数
cpp
//......
g.Floyd_Warshall(vvDist, vvParentPath);
// 打印任意两点之间的最短路径
for (size_t i = 0; i < strlen(str); ++i)
{
g.PrintShortPath(str[i], vvDist[i], vvParentPath[i]);
cout << endl;
}
void PrintShortPath(const V& src, const vector<W>& dist, const vector<int>& pPath)
{
size_t srci = GetVertexIndex(src);
size_t n = _vertexs.size();
for (size_t i = 0; i < n; ++i)
{
if (i != srci)
{
//找出i顶点的路径
vector<int> path;
size_t parent = i;
while (parent != srci)
{
path.push_back(parent);
parent = pPath[parent];//变成当前节点的父节点
}
path.push_back(srci);
reverse(path.begin(), path.end());
for (auto e : path)
{
cout << _vertexs[e] << " -> ";
}
cout << "权值和: " << dist[i] << endl;
}
}
}最后的代码里改了些printf和cout的打印，主要集中在Print函数。
结束。