96. 不同的二叉搜索树

给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。

示例 1：

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输入：n = 3
输出：5

示例 2：

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输入：n = 1
输出：1

提示：

1 <= n <= 19

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class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        //dp[i]:由i个节点组成的二叉搜索树有dp[i]种
        //推导：n=3;
        //节点为 1,2,3。 二叉搜索树，左子树小于根节点，根节点小于右子树。三种情况
        //1、头节点为1，有两种情况 1。dp[1] = 左边0节点数种类 * 右边2节点 树种类
        //2、头节点为2，只有一种情况 dp[2] = 左边1节点种类 * 右边1节点种类
        //3、头节点为3，有两种，dp[3] = 左边2节点 * 右边0节点
        //所以：dp[i] = dp[j-1] * dp[i-j]; 左边节点个数 * 右边节点个数。左边一种情况，对应右边 n 个节点种类
        
        //初始化；dp[0] = 1;空二叉搜索树也算一个
        int dp[20] = {0}; //因为需要需要 n个情况累加，所以得赋值
        dp[0] = 1;
        //需要枚举 以每一个小于 n的节点作为头节点的情况
        //要求n=4，需要得出右边为3个节点时的种类，即dp[3];
//当3为头结点的时候，其左子树有两个节点，看这两个节点的布局，是不是和n为2的时候两棵树的布局也是一样的啊！
//当2为头结点的时候，其左右子树都只有一个节点，布局是不是和n为1的时候只有一棵树的布局也是一样的啊！
//发现到这里，其实我们就找到了重叠子问题了，其实也就是发现可以通过dp[1] 和 dp[2] 来推导出来dp[3]的某种方式。
        for(int i = 1;i <= n;i++){
            for(int j = 1;j <= i;j++){
                dp[i] += dp[j-1] * dp[i-j];
            }
        }
        return dp[n];
    }
};