使用Pytorch从零开始构建Normalizing Flow

归一化流 (Normalizing Flow) （Rezende & Mohamed，2015）学习可逆映射 f : X → Z f: X \rightarrow Z f:X→Z, 在这里X是我们的数据分布，Z是选定的潜在分布。

归一化流是生成模型家族的一部分，其中包括变分自动编码器 (VAE) (Kingma & Welling, 2013)和生成对抗网络 (GAN) (Goodfellow 等人, 2014)。一旦我们学会了映射 f f f，我们通过采样生成数据 z ～ p Z z～p_Z z～pZ, 然后应用逆变换, f − 1 ( z ) = X G e n f^{-1}(z)=X_{Gen} f−1(z)=XGen 。

在本博客中，为了更好地理解归一化流，我们将介绍算法的理论并在 PyTorch 中实现流模型。但首先，让我们来看看归一化流的优点和缺点。

注意：如果您对生成模型之间的比较不感兴趣，您可以跳至"归一化流的工作原理"。

为什么要归一化流

有了 VAE 和 GAN 所显示的惊人结果，为什么要使用归一化流？我们列出了以下优点。(注：大部分优点来自 GLOW 论文（Kingma & Dhariwal，2018））

• NF 优化数据的精确对数似然， l o g ( p X ） log(p_X） log(pX）
  • VAE 优化下限 (ELBO)
  • GAN 学会欺骗鉴别器网络
• NF 推断精确的潜变量值z，这对于下游任务很有用。
  • VAE 推断潜变量值的分布
  • GAN 没有潜在分布
• 具有节省内存的潜力，NF 梯度计算按其深度恒定缩放。
  • VAE 和 GAN 的梯度计算都与其深度线性缩放
• NF 只需要一个编码器即可学习。
  • VAE 需要编码器和解码器网络
  • GAN 需要生成网络和判别网络

但请记住妈妈所说的话："天下没有免费的午餐"。

归一化流的一些缺点如下：

• 可逆性和高效雅可比计算的要求限制了模型架构。
  • 稍后会详细介绍......
• 与其他生成模型相比，NF 的资源/研究较少。
  • 写这个博客的原因！
• NF 生成结果仍然落后于 VAE 和 GAN。

现在让我们深入了解一些理论！

归一化流如何工作

在本节中，我们简要回顾一下归一化流的核心。

变量的概率分布变化

考虑一个随机变量 X ∈ R d X \in \mathbb{R}^d X∈Rd (我们的数据分布）和可逆变换 f : R d ↦ R d f: \mathbb{R}^d \mapsto \mathbb{R}^d f:Rd↦Rd。

那么有一个随机变量 Z ∈ R d Z \in \mathbb{R}^d Z∈Rd 是从 X X X 通过 f f f 映射而来。

进一步的，
P ( X = x ) = P ( f ( X ) = f ( x ) ) = P ( Z = z ) (0) P(X = x) = P(f(X) = f(x)) = P(Z = z)\tag{0} P(X=x)=P(f(X)=f(x))=P(Z=z)(0)

现在考虑一些X上的某个区间 β \beta β，那么存在Z上一定的区间 β ′ \beta^{\prime} β′ 使得
P ( X ∈ β ) = P ( Z ∈ β ′ ) (1) P(X \in \beta) = P(Z \in \beta^{\prime})\tag{1} P(X∈β)=P(Z∈β′)(1)
∫ β p X d x = ∫ β ′ p Z d z (2) \int_{\beta} p_X dx = \int_{\beta^{\prime}} p_Z dz\tag{2} ∫βpXdx=∫β′pZdz(2)

为了简单起见，我们考虑单个区域。
d x ⋅ p X ( x ) = d z ⋅ p Z ( z ) (3) dx \cdot p_X(x) = dz \cdot p_Z(z) \tag{3} dx⋅pX(x)=dz⋅pZ(z)(3)
p X ( x ) = ∣ d z d x ∣ ⋅ p Z ( z ) (4) p_X(x) = \mid\dfrac{dz}{dx}\mid \cdot p_Z(z) \tag{4} pX(x)=∣dxdz∣⋅pZ(z)(4)

注意：我们应用绝对值来保持相等，因为根据概率公理 p X p_X pX和 p Z p_Z pZ永远都是正的。
p X ( x ) = ∣ d f ( x ) d x ∣ ⋅ p Z ( f ( x ) ) (5) p_X(x) = \mid\dfrac{df(x)}{dx}\mid \cdot p_Z(f(x)) \tag{5} pX(x)=∣dxdf(x)∣⋅pZ(f(x))(5)
p X ( x ) = ∣ d e t ( d f d x ) ∣ ⋅ p Z ( f ( x ) ) (6) p_X(x) = \mid det(\dfrac{df}{dx}) \mid \cdot p_Z(f(x)) \tag{6} pX(x)=∣det(dxdf)∣⋅pZ(f(x))(6)

注意：我们使用行列式来推广到多元情况( d > 1 d>1 d>1)
log ⁡ ( p X ( x ) ) = log ⁡ ( ∣ d e t ( d f d x ) ∣ ) + log ⁡ ( p Z ( f ( x ) ) ) (7) \log(p_X(x)) = \log(\mid det(\dfrac{df}{dx}) \mid) + \log(p_Z(f(x))) \tag{7} log(pX(x))=log(∣det(dxdf)∣)+log(pZ(f(x)))(7)

为我们的随机变量建模X，我们需要最大化等式（7）的右侧。

分解方程式：

• log ⁡ ( ∣ d e t ( d f d x ) ∣ ) \log(\mid det(\dfrac{df}{dx}) \mid) log(∣det(dxdf)∣) 是拉伸/变化 f f f的量
  适用于概率分布 p X p_X pX
  • 此项是雅可比矩阵的对数行列式 d f d x \dfrac{df}{dx} dxdf。我们将雅可比矩阵的行列式称为雅可比行列式。
• log ⁡ ( p Z ( f ( x ) ) ) \log(p_Z(f(x))) log(pZ(f(x))) 限制 f f f 为将 x x x转换到 p Z p_Z pZ.

由于对Z没有任何限制，我们可以选择 p Z p_Z pZ, 通常，我们选择 p Z p_Z pZ为高斯分布。

单一功能并不能令我满意。我渴望更多。

顺序应用多个函数

我将向您展示如何顺序应用多个函数。

令 z n z_n zn是顺序应用n个函数到 x ∼ p X x \sim p_X x∼pX的结果。
z n = f n ∘ ⋯ ∘ f 1 ( x ) (8) z_n = f_n \circ \dots \circ f_1(x) \tag{8} zn=fn∘⋯∘f1(x)(8)
f = f n ∘ ⋯ ∘ f 1 (9) f = f_n \circ \dots \circ f_1 \tag{9} f=fn∘⋯∘f1(9)

利用链式法则，我们可以用方程（8）修改方程（7）得到方程（10）, 如下。
log ⁡ ( p X ( x ) ) = log ⁡ ( ∣ d e t ( d f d x ) ∣ ) + log ⁡ ( p Z ( f ( x ) ) ) (7) \log(p_X(x)) = \log(\mid det(\dfrac{df}{dx}) \mid) + \log(p_Z(f(x))) \tag{7} log(pX(x))=log(∣det(dxdf)∣)+log(pZ(f(x)))(7)
log ⁡ ( p X ( x ) ) = log ⁡ ( ∏ i = 1 n ∣ d e t ( d z i d z i − 1 ) ∣ ) + log ⁡ ( p Z ( f ( x ) ) ) (10) \log(p_X(x)) = \log(\prod_{i=1}^{n} \mid det(\dfrac{dz_i}{dz_{i-1}}) \mid) + \log(p_Z(f(x)))\tag{10} log(pX(x))=log(i=1∏n∣det(dzi−1dzi)∣)+log(pZ(f(x)))(10)

其中，为了简洁， x ≜ z 0 x \triangleq z_0 x≜z0
log ⁡ ( p X ( x ) ) = ∑ i = 1 n log ⁡ ( ∣ d e t ( d z i d z i − 1 ) ∣ ) + log ⁡ ( p Z ( f ( x ) ) ) (11) \log(p_X(x)) = \sum_{i=1}^{n} \log(\mid det(\dfrac{dz_i}{dz_{i-1}}) \mid) + \log(p_Z(f(x))) \tag{11} log(pX(x))=i=1∑nlog(∣det(dzi−1dzi)∣)+log(pZ(f(x)))(11)

我们希望雅可比项易于计算，因为我们需要计算它n次。

为了有效计算雅可比行列式，函数 f i f_i fi(对应 z i z_i zi)被选择为具有下三角雅可比矩阵或上三角雅可比矩阵。由于三角矩阵的行列式是其对角线的乘积，因此很容易计算。

现在您已经了解了归一化流的一般理论，让我们来浏览一些 PyTorch 代码。

归一化流家族

在这篇文章中，我们将重点关注RealNVP（Dinh 等人，2016）。

尽管还有许多其他流函数，例如 NICE (Dinh et al., 2014)和 GLOW (Kingma & Dhariwal, 2018)。对于想要了解更多信息的同学，可以参考前面的博文。

RealNVP Flows

我们考虑单个 R-NVP 函数 f : R d → R d f: \mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}^d f:Rd→Rd, 其中输入 x ∈ R d \mathbf{x} \in \mathbb{R}^d x∈Rd, 输出 z ∈ R d \mathbf{z} \in \mathbb{R}^d z∈Rd。

快速回顾一下，为了优化我们的功能 f f f 以建模我们的数据分布 p X p_X pX, 我们想知道前向传递 f f f，以及雅可比行列式 ∣ d e t ( d f d x ) ∣ \mid det(\dfrac{df}{dx}) \mid ∣det(dxdf)∣

然后我们想知道函数的反函数 f − 1 f^{-1} f−1, 所以我们可以转换采样的潜在值 z ∼ p Z z \sim p_Z z∼pZ 到我们的数据分布 p X p_X pX,生成新样本！

前向传递

f ( x ) = z (12) f(\mathbf{x}) = \mathbf{z}\tag{12} f(x)=z(12)

前向传递是复制值同时拉伸和移动其他值的组合。首先我们选择一些任意值 k (满足 0 < k < d 0<k<d 0<k<d) 分割我们的输入。

RealNVPs 前向传播如下:
z 1 : k = x 1 : k (13) \mathbf{z}{1:k} = \mathbf{x}{1:k} \tag{13} z1:k=x1:k(13)
z k + 1 : d = x k + 1 : d ⊙ exp ⁡ ( σ ( x 1 : k ) ) + μ ( x 1 : k ) (14) \mathbf{z}{k+1:d} = \mathbf{x}{k+1:d} \odot \exp(\sigma(\mathbf{x}{1:k})) + \mu(\mathbf{x}{1:k})\tag{14} zk+1:d=xk+1:d⊙exp(σ(x1:k))+μ(x1:k)(14)

这里 σ , μ : R k → R d − k \sigma, \mu: \mathbb{R}^k \rightarrow \mathbb{R}^{d-k} σ,μ:Rk→Rd−k是任意函数。因此，我们会选择σ和μ两者都作为深度神经网络。下面是一个简单实现的 PyTorch 代码。

def forward(self, x):
    x1, x2 = x[:, :self.k], x[:, self.k:] 

    sig = self.sig_net(x1)
    mu = self.mu_net(x1)

    z1 = x1
    z2 = x2 * torch.exp(sig) + mu
    z = torch.cat([z1, z2], dim=-1)
    
    # log(p_Z(f(x)))
    log_pz = self.p_Z.log_prob(z)
    
    #...
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对数雅可比行列式

该函数的雅可比行列式 d f d x \dfrac{df}{d\mathbf{x}} dxdf:

I d 0 d z k + 1 : d d x 1 : k diag ( exp ⁡ \[ σ ( x 1 : k ) \] ) \] (15) \\begin{bmatrix}I_d \& 0 \\\\ \\frac{d z_{k+1:d}}{d \\mathbf{x}_{1:k}} \& \\text{diag}(\\exp\[\\sigma(\\mathbf{x}_{1:k})\]) \\end{bmatrix} \\tag{15} \[Iddx1:kdzk+1:d0diag(exp\[σ(x1:k)\])\](15) 雅可比矩阵的对数行列式将是: log ⁡ ( det ⁡ ( d f d x ) ) = log ⁡ ( ∏ i = 1 d − k ∣ exp ⁡ \[ σ i ( x 1 : k ) \] ∣ ) (16) \\log(\\det(\\dfrac{df}{d\\mathbf{x}})) = \\log(\\prod_{i=1}\^{d-k} \\mid\\exp\[\\sigma_i(\\mathbf{x}_{1:k})\]\\mid) \\tag{16} log(det(dxdf))=log(i=1∏d−k∣exp\[σi(x1:k)\]∣)(16) log ⁡ ( ∣ det ⁡ ( d f d x ) ∣ ) = ∑ i = 1 d − k log ⁡ ( exp ⁡ \[ σ i ( x 1 : k ) \] ) (17) \\log(\\mid\\det(\\dfrac{df}{d\\mathbf{x}})\\mid) = \\sum_{i=1}\^{d-k} \\log(\\exp\[\\sigma_i(\\mathbf{x}_{1:k})\]) \\tag{17} log(∣det(dxdf)∣)=i=1∑d−klog(exp\[σi(x1:k)\])(17) log ⁡ ( ∣ det ⁡ ( d f d x ) ∣ ) = ∑ i = 1 d − k σ i ( x 1 : k ) (18) \\log(\\mid\\det(\\dfrac{df}{d\\mathbf{x}})\\mid) = \\sum_{i=1}\^{d-k} \\sigma_i(\\mathbf{x}_{1:k}) \\tag{18} log(∣det(dxdf)∣)=i=1∑d−kσi(x1:k)(18) ```python # single R-NVP calculation def forward(x): #... log_jacob = sig.sum(-1) #... return z, log_pz, log_jacob # multiple sequential R-NVP calculation def forward(self, x): log_jacobs = [] z = x for rvnp in self.rvnps: z, log_pz, log_j = rvnp(z) log_jacobs.append(log_j) return z, log_pz, sum(log_jacobs) ``` #### 反向 f − 1 ( z ) = x (19) f\^{-1}(\\mathbf{z}) = \\mathbf{x}\\tag{19} f−1(z)=x(19) 与其他流程相比，RealNVP 的优势之一是易于反转 F \\mathbf{F} F进入 F − 1 \\mathbf{F}\^{-1} F−1，我们使用等式 (14) 的前向传递将其表述如下: x 1 : k = z 1 : k (20) \\mathbf{x}_{1:k} = \\mathbf{z}_{1:k} \\tag{20} x1:k=z1:k(20) x k + 1 : d = ( z k + 1 : d − μ ( x 1 : k ) ) ⊙ exp ⁡ ( − σ ( x 1 : k ) ) (21) \\mathbf{x}_{k+1:d} = (\\mathbf{z}_{k+1:d} - \\mu(\\mathbf{x}_{1:k})) \\odot \\exp(-\\sigma(\\mathbf{x}_{1:k})) \\tag{21} xk+1:d=(zk+1:d−μ(x1:k))⊙exp(−σ(x1:k))(21) ⇔ x k + 1 : d = ( z k + 1 : d − μ ( z 1 : k ) ) ⊙ exp ⁡ ( − σ ( z 1 : k ) ) (22) \\Leftrightarrow \\mathbf{x}_{k+1:d} = (\\mathbf{z}_{k+1:d} - \\mu(\\mathbf{z}_{1:k})) \\odot \\exp(-\\sigma(\\mathbf{z}_{1:k})) \\tag{22} ⇔xk+1:d=(zk+1:d−μ(z1:k))⊙exp(−σ(z1:k))(22) ```python def inverse(self, z): z1, z2 = z[:, :self.k], z[:, self.k:] sig = self.sig_net(z1) mu = self.mu_net(z1) x1 = z1 x2 = (z2 - mu) * torch.exp(-sig) x = torch.cat([x1, x2], dim=-1) return x ``` #### 小结 瞧，R-NVP 的配方完成了！ 总而言之，我们现在知道如何计算 F ( X ) F(\\mathbf{X}) F(X), log ⁡ ( ∣ det ⁡ ( d f d x ) ∣ ) \\log(\\mid\\det(\\dfrac{df}{d\\mathbf{x}})\\mid) log(∣det(dxdf)∣) 以及 f − 1 ( z ) f\^{-1}(\\mathbf{z}) f−1(z)。 下面是[Github中完整的 jupyter 笔记本](https://github.com/gebob19/introduction_to_normalizing_flows)，其中包含用于模型优化和数据生成的 PyTorch 代码。 注意：在笔记本中，多层 R-NVP 在正向/反向传递之前翻转输入，以获得更具表现力的模型。 #### 优化模型 log ⁡ ( p X ( x ) ) = log ⁡ ( ∣ d e t ( d f d x ) ∣ ) + log ⁡ ( p Z ( f ( x ) ) ) log ⁡ ( p X ( x ) ) = ∑ i = 1 n log ⁡ ( ∣ d e t ( d z i d z i − 1 ) ∣ ) + log ⁡ ( p Z ( f ( x ) ) ) \\log(p_X(x)) = \\log(\\mid det(\\dfrac{df}{dx}) \\mid) + \\log(p_Z(f(x))) \\\\ \\log(p_X(x)) = \\sum_{i=1}\^{n} \\log(\\mid det(\\dfrac{dz_i}{dz_{i-1}}) \\mid) + \\log(p_Z(f(x))) log(pX(x))=log(∣det(dxdf)∣)+log(pZ(f(x)))log(pX(x))=i=1∑nlog(∣det(dzi−1dzi)∣)+log(pZ(f(x))) ```python for _ in range(epochs): optim.zero_grad() # forward pass X = get_batch(data) z, log_pz, log_jacob = model(X) # maximize p_X(x) == minimize -p_X(x) loss = -(log_jacob + log_pz).mean() losses.append(loss) # backpropigate loss loss.backward() optim.step() ``` #### 从模型生成数据 z ∼ p Z x g e n = f − 1 ( z ) z \\sim p_Z \\\\ x_{gen} = f\^{-1}(z) z∼pZxgen=f−1(z) ```python # p_Z - gaussian mu, cov = torch.zeros(2), torch.eye(2) p_Z = MultivariateNormal(mu, cov) # sample 3000 points (z ~ p_Z) z = p_Z.rsample(sample_shape=(3000,)) # invert f^-1(z) = x x_gen = model.inverse(z) ``` ### 结论 总之，我们学习了如何使用可逆函数将数据分布建模为选定的潜在分布 f f f。我们使用变量变化公式发现，为了对数据进行建模，我们必须最大化 f f f的雅可比行列式，同时也约束 f f f到我们的潜在分布。然后我们将这个概念扩展到顺序应用多个函数 f n ∘ ⋯ ∘ f 0 f_n\\circ \\cdots \\circ f_0 fn∘⋯∘f0。最后，我们了解了RealNVP流程的理论和实现。