备战蓝桥杯---图论基础理论

图的存储：

1.邻接矩阵：

我们用map $i$ $j$ 表示i--->j的边权

2.用vector数组（在搜索专题的游戏一题中应用过）

3.用邻接表：

下面是用链表实现的基本功能的代码：

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct node{
	int dian,zhi;
	struct node* next;
};
void insert(int x,int y,int z){
	node *p=new node;
	p->dian=y;
	p->zhi=z;
	p->next=head[x];
	head[x]=p;
}

4.用伪邻接表（链式前向星）（注意第一个next=-1，开始直接memset head=-1即可)

对于（1，3，30,-1）表示1的点指向3，边权为30,下一条边.

我们把这个存在edge $1$ 里，并令head $1$ =1;

(3,6,10，-1),我们存在edge $2$ 里，并令head $3$ =2;

(1,2,10，head $1$ )，我们存在edge【3】里，并让head $1$ =3;

下面是实现的代码：

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct node{
	int dian,zhi;
	int next;
};
void insert(int x,int y,int z){
	edge[++m].dian=y;
	edge[m].zhi=z;
	edge[m].next=head[x];
	head[x]=m;
}

欧拉图（前提是联通）

如果图的一个路径包括每个边恰好一次，则为欧拉路径。

欧拉路径+回路=欧拉回路。

具有欧拉回路的图为欧拉图，具有欧拉路径但无欧拉回路的图为半欧拉图

那么如何判断是否为欧拉图呢？

对于无向图，等价于该图所有顶点的度数为偶数（一进一出）+联通。

对于有向图，等价于该图所有顶点的入度==出度+联通。

拓扑排序

即按照一定的规则安排活动的先后次序（可能有多解）。

现在给一张图，a--》b表示要完成b必须先完成a，那我们如何排序呢？

1.先找没有前驱的点作为开始。

2.把它连着的边给删除，产生更多没有前驱的点作为下一步，入度-1。

3.删不动则无法完成。

具体实现中，我们不能总是去跑入度为0的点。

于是，我们用一个队列。在删后发现入度为0的点就放入队列中即可。

下面是实现的代码：

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,cnt;
struct node{
	int dian;
	int next;
}edge[1000000];
int head[1010],inc[1010];
queue<int> q;
void insert(int x,int y){
	edge[++cnt].dian=y;
	edge[cnt].next=head[x];
	head[x]=cnt;
}
void tuopu(){
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(inc[i]==0) q.push(i);
	}
	int tot=0;
	while(!q.empty()){
		int x=q.front();
		q.pop();
		cout<<x<<endl;
		tot++;
		for(int i=head[x];i!=-1;i=edge[i].next){
			inc[edge[i].dian]--;
			if(inc[edge[i].dian]==0){
				q.push(edge[i].dian);
			}
		}
	}
	if(tot!=n) cout<<-1;
}
int main(){
	cin>>n>>m;
	memset(head,-1,sizeof(head));
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int x,y;
		cin>>x>>y;
		insert(x,y);
		inc[y]++;
	}
	tuopu();
}

拓扑排序的应用：

1.判断一个有向图是否有环，无环的图所有点都可以拓扑排序。

2.AOE网：

对于第一个，我们只用在拓扑排序上维护时间的max即可。

对于第二个，我们可以计算一下每一个活动的最早开始时间与最晚开始时间，因此我们相当于求最早开始时间等于最晚开始时间的点。

那么，我们如何求最晚开始时间呢？

我们只要从结尾反方向跑一回即可。

下面是AC代码：

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,cnt;
struct node{
	int dian;
	int next;
	int zhi;
}edge[1000000];
int head[1010],inc[1010],shijian[1010];
queue<int> q;
void insert(int x,int y,int z){
	edge[++cnt].dian=y;
	edge[cnt].next=head[x];
	edge[cnt].zhi=z;
	head[x]=cnt;
}
void tuopu(){
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(inc[i]==0){
			 q.push(i);
			 shijian[i]=0;
		}
	}
	while(!q.empty()){
		int x=q.front();
		q.pop();
		for(int i=head[x];i!=-1;i=edge[i].next){
			inc[edge[i].dian]--;
			shijian[edge[i].dian]=max(shijian[edge[i].dian],shijian[x]+edge[i].zhi);
			if(inc[edge[i].dian]==0){
				q.push(edge[i].dian);
			}
		}
	}
}
int main(){
	cin>>n>>m;
	memset(head,-1,sizeof(head));
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int x,y,z;
		cin>>x>>y>>z;
		insert(x,y,z);
		inc[y]++;
	}
	tuopu();
	cout<<shijian[n];
}