【C++从0到王者】第四十六站：图的深度优先与广度优先

青色_忘川2024-03-02 1:04

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一、图的遍历

对于图而言，我们的遍历一般是遍历顶点，而不是边，因为边的遍历是比较简单的，就是邻接矩阵或者邻接表里面的内容。而对于遍历顶点就稍微有点麻烦了。

给定一个图G和其中任意一个顶点v0，从v0出发，沿着图中各边访问图中的所有顶点，且每个顶点仅被遍历一次。"遍历"即对结点进行某种操作的意思。

树以前前是怎么遍历的，此处可以直接用来遍历图吗？为什么？

树以前的遍历有深度优先（先序、中序、后序）和广度优先遍历（层序遍历）两种。

图也是类似的。

二、广度优先遍历

1.思想

下面是广度优先遍历的一个比较形象的例子

对于下面的图而言，也是类似的，先去找A,然后去遍历A的周围的三个结点，然后遍历这三个结点的周围结点，一层一层往外遍历，最终遍历完所有的结点，需要注意的是不要重复遍历了！

2.算法实现

我们这里用邻接矩阵来实现我们的代码。如下代码所示。

cpp 复制代码 
namespace matrix
{
	//V代表顶点， W是weight代表权值，MAX_W代表权值的最大值，Direction代表是有向图还是无向图,flase表示无向
	template<class V, class W, W Max_W = INT_MAX, bool Direction = false>
	class Graph
	{
	public:
		//图的创建
		//1. IO输入 不方便测试
		//2. 图结构关系写到文件，读取文件
		//3. 手动添加边
		Graph(const V* a, size_t n)
		{
			_vertexs.reserve(n);
			for (size_t i = 0; i < n; i++)
			{
				_vertexs.push_back(a[i]);
				_indexMap[a[i]] = i;
			}
			_matrix.resize(n);
			for (size_t i = 0; i < _matrix.size(); i++)
			{
				_matrix[i].resize(n, Max_W);
			}
		}
		size_t GetVertexIndex(const V& v)
		{
			//return _indexMap[v];
			auto it = _indexMap.find(v);
			if (it != _indexMap.end())
			{
				return it->second;
			}
			else
			{
				//assert(false)
				throw invalid_argument("顶点不存在");
				return -1;
			}
		}
		void AddEdge(const V& src, const V& dst, const W& w)
		{
			size_t srci = GetVertexIndex(src);
			size_t dsti = GetVertexIndex(dst);

			_matrix[srci][dsti] = w;
			if (Direction == false)
			{
				_matrix[dsti][srci] = w;
			}
		}
		void Print()
		{
			for (size_t i = 0; i < _vertexs.size(); i++)
			{
				cout << "[" << i << "]" << "->" << _vertexs[i] << endl;
			}
			cout << endl;

			cout << "   ";
			for (int i = 0; i < _vertexs.size(); i++)
			{
				//cout << _vertexs[i] << " ";
				printf("%-3d ", i);
			}
			cout << endl;
			for (size_t i = 0; i < _matrix.size(); i++)
			{
				//cout << _vertexs[i] << " ";
				printf("%d ", i);
				for (size_t j = 0; j < _matrix[i].size(); j++)
				{
					if (_matrix[i][j] == INT_MAX)
					{
						cout << " * " << " ";
					}
					else
					{
						printf("%-3d ", _matrix[i][j]);
						//cout << _matrix[i][j] << " ";
					}
				}
				cout << endl;
			}
		}

		void BFS(const V& src)
		{
			int srci = GetVertexIndex(src);
			queue<int> q; //广度遍历的队列
			vector<bool> visited(_vertexs.size(), false); //标记数组
			q.push(srci); //起点入队
			visited[srci] = true; //已经被遍历过了
			while (!q.empty())
			{
				int front = q.front();
				q.pop();
				cout << front << ":" << _vertexs[front] << endl;
				//把front顶点的邻接顶点入队列
				for (size_t i = 0; i < _matrix[front].size(); i++)
				{
					if (_matrix[front][i] != Max_W)
					{
						if (visited[i] == false)
						{
							q.push(i);
							visited[i] = true;
						}
					}
				}
			}
		} 
	private:
		vector<V> _vertexs; //顶点集合
		map<V, int> _indexMap; //顶点对应的下标关系
		vector<vector<W>> _matrix; //临界矩阵
	};

在上面的代码当中，这个图的如下所示

在BFS的时候，我们使用一个队列和一个标记数组来解决。

我们先将第一个起点入队，并且进行标记已经被遍历了，然后像二叉树的层序遍历一样，一层一层去寻找它的周围结点。由于我们用的是邻接矩阵，那么我们就可以以出队列的这个结点为起点，遍历邻接矩阵的对应行，找到满足的进行入队列，然后依次进行标记。从而最终可以遍历整个图

最终结果为

3.六度好友

如下面的题目就是一个简单的广度优先遍历

这道题与二叉树中求出第几层的元素是十分类似的。就是层序遍历，不过要打印出第六层的结果

cpp 复制代码 
void BFSLevel(const V& src)
{
    int srci = GetVertexIndex(src);
    queue<int> q; //广度遍历的队列
    vector<bool> visited(_vertexs.size(), false); //标记数组
    q.push(srci); //起点入队
    visited[srci] = true; //已经被遍历过了
    int levelSize = 1;
    while (!q.empty())
    {
        for (int i = 0; i < levelSize; i++)
        {
            int front = q.front();
            q.pop();
            cout << front << ":" << _vertexs[front] << " ";
            //把front顶点的邻接顶点入队列
            for (size_t i = 0; i < _matrix[front].size(); i++)
            {
                if (_matrix[front][i] != Max_W)
                {
                    if (visited[i] == false)
                    {
                        q.push(i);
                        visited[i] = true;
                    }
                }
            }
        }
        cout << endl;
        levelSize = q.size();
    }
}
void TestGraphBDFS()
{
    string a[] = { "张三", "李四", "王五", "赵六", "周七" };
    Graph<string, int> g1(a, sizeof(a) / sizeof(string));
    g1.AddEdge("张三", "李四", 100);
    g1.AddEdge("张三", "王五", 200);
    g1.AddEdge("王五", "赵六", 30);
    g1.AddEdge("王五", "周七", 30);
    g1.Print();
    g1.BFS("张三");
    cout << endl;
    g1.BFSLevel("张三");
}

这里我们用一个循环来记录每层的个数，每打印够一层就换行。如上代码所示

运行结果为

三、深度优先遍历

1.思想

如上是深度优先的一个形象的案例，下面是深度优先在一个图中的实际场景

我们可以看到，他就像二叉树的先序遍历一样，一直走到最深层，然后退回去。这里需要注意的就是要进行标记已经遍历过的结点

2.代码实现

如下是深度优先的代码实现

cpp 复制代码 
namespace matrix
{
	//V代表顶点， W是weight代表权值，MAX_W代表权值的最大值，Direction代表是有向图还是无向图,flase表示无向
	template<class V, class W, W Max_W = INT_MAX, bool Direction = false>
	class Graph
	{
	public:
		//图的创建
		//1. IO输入 不方便测试
		//2. 图结构关系写到文件，读取文件
		//3. 手动添加边
		Graph(const V* a, size_t n)
		{
			_vertexs.reserve(n);
			for (size_t i = 0; i < n; i++)
			{
				_vertexs.push_back(a[i]);
				_indexMap[a[i]] = i;
			}
			_matrix.resize(n);
			for (size_t i = 0; i < _matrix.size(); i++)
			{
				_matrix[i].resize(n, Max_W);
			}
		}
		size_t GetVertexIndex(const V& v)
		{
			//return _indexMap[v];
			auto it = _indexMap.find(v);
			if (it != _indexMap.end())
			{
				return it->second;
			}
			else
			{
				//assert(false)
				throw invalid_argument("顶点不存在");
				return -1;
			}
		}
		void AddEdge(const V& src, const V& dst, const W& w)
		{
			size_t srci = GetVertexIndex(src);
			size_t dsti = GetVertexIndex(dst);

			_matrix[srci][dsti] = w;
			if (Direction == false)
			{
				_matrix[dsti][srci] = w;
			}
		}
		void Print()
		{
			for (size_t i = 0; i < _vertexs.size(); i++)
			{
				cout << "[" << i << "]" << "->" << _vertexs[i] << endl;
			}
			cout << endl;

			cout << "   ";
			for (int i = 0; i < _vertexs.size(); i++)
			{
				//cout << _vertexs[i] << " ";
				printf("%-3d ", i);
			}
			cout << endl;
			for (size_t i = 0; i < _matrix.size(); i++)
			{
				//cout << _vertexs[i] << " ";
				printf("%d ", i);
				for (size_t j = 0; j < _matrix[i].size(); j++)
				{
					if (_matrix[i][j] == INT_MAX)
					{
						cout << " * " << " ";
					}
					else
					{
						printf("%-3d ", _matrix[i][j]);
						//cout << _matrix[i][j] << " ";
					}
				}
				cout << endl;
			}
		}

		void BFS(const V& src)
		{
			int srci = GetVertexIndex(src);
			queue<int> q; //广度遍历的队列
			vector<bool> visited(_vertexs.size(), false); //标记数组
			q.push(srci); //起点入队
			visited[srci] = true; //已经被遍历过了
			while (!q.empty())
			{
				int front = q.front();
				q.pop();
				cout << front << ":" << _vertexs[front] << endl;
				//把front顶点的邻接顶点入队列
				for (size_t i = 0; i < _matrix[front].size(); i++)
				{
					if (_matrix[front][i] != Max_W)
					{
						if (visited[i] == false)
						{
							q.push(i);
							visited[i] = true;
						}
					}
				}
			}
		} 

		void BFSLevel(const V& src)
		{
			int srci = GetVertexIndex(src);
			queue<int> q; //广度遍历的队列
			vector<bool> visited(_vertexs.size(), false); //标记数组
			q.push(srci); //起点入队
			visited[srci] = true; //已经被遍历过了
			int levelSize = 1;
			while (!q.empty())
			{
				for (int i = 0; i < levelSize; i++)
				{
					int front = q.front();
					q.pop();
					cout << front << ":" << _vertexs[front] << " ";
					//把front顶点的邻接顶点入队列
					for (size_t i = 0; i < _matrix[front].size(); i++)
					{
						if (_matrix[front][i] != Max_W)
						{
							if (visited[i] == false)
							{
								q.push(i);
								visited[i] = true;
							}
						}
					}
				}
				cout << endl;
				levelSize = q.size();
			}
		}
		void _DFS(size_t srci, vector<bool>& visited)
		{
			cout << srci << ":" << _vertexs[srci] << endl;
			visited[srci] = true;
			for (int i = 0; i < _matrix[srci].size(); i++)
			{
				if (_matrix[srci][i] != Max_W && visited[i] == false)
				{
					_DFS(i, visited);
				}
			}
		}
		void DFS(const V& src)
		{
			int srci = GetVertexIndex(src);
			vector<bool> visited(_vertexs.size(), false);
			_DFS(srci, visited);
		}

	private:
		vector<V> _vertexs; //顶点集合
		map<V, int> _indexMap; //顶点对应的下标关系
		vector<vector<W>> _matrix; //临界矩阵
	};


	void TestGraph()
	{
		Graph<char, int, INT_MAX, true> g("0123", 4);
		g.AddEdge('0', '1', 1);
		g.AddEdge('0', '3', 4);
		g.AddEdge('1', '3', 2);
		g.AddEdge('1', '2', 9);
		g.AddEdge('2', '3', 8);
		g.AddEdge('2', '1', 5);
		g.AddEdge('2', '0', 3);
		g.AddEdge('3', '2', 6);
		g.Print();
	}
	void TestGraphBDFS()
	{
		string a[] = { "张三", "李四", "王五", "赵六", "周七" };
		Graph<string, int> g1(a, sizeof(a) / sizeof(string));
		g1.AddEdge("张三", "李四", 100);
		g1.AddEdge("张三", "王五", 200);
		g1.AddEdge("王五", "赵六", 30);
		g1.AddEdge("王五", "周七", 30);
		g1.Print();
		g1.BFS("张三");
		cout << endl;
		g1.BFSLevel("张三");
		cout << endl;
		g1.DFS("张三");
	}

}

像先序遍历一样，这里也是需要一个子函数比较好的，因为我们需要使用递归，让子函数去进行递归是最好的

运行结果如下所示

四、其他问题

关于深度优先和广度优先，上面的清空自然是很理想的情况。并且由于起点不同，深度优先和广度优先的结果是不同的。但是有时候，也会出现下面的问题。

比如图不连通的问题。也就是图存在孤立的结点。那么这样的话，以某个点为起点就没有遍历完成

这里我们可以有个解决方案是从visited数组中寻找没有遍历的结点，在进行一次深度优先或者广度优先。也就是要在原来的代码上在套一层。

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