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一、图的遍历
对于图而言,我们的遍历一般是遍历顶点,而不是边,因为边的遍历是比较简单的,就是邻接矩阵或者邻接表里面的内容。而对于遍历顶点就稍微有点麻烦了。
给定一个图G和其中任意一个顶点v0,从v0出发,沿着图中各边访问图中的所有顶点,且每个顶点仅被遍历一次。"遍历"即对结点进行某种操作的意思。
树以前前是怎么遍历的,此处可以直接用来遍历图吗?为什么?
树以前的遍历有深度优先(先序、中序、后序)和广度优先遍历(层序遍历)两种。
图也是类似的。
二、广度优先遍历
1.思想
下面是广度优先遍历的一个比较形象的例子
对于下面的图而言,也是类似的,先去找A,然后去遍历A的周围的三个结点,然后遍历这三个结点的周围结点,一层一层往外遍历,最终遍历完所有的结点,需要注意的是不要重复遍历了!
2.算法实现
我们这里用邻接矩阵来实现我们的代码。如下代码所示。
cpp
namespace matrix
{
//V代表顶点, W是weight代表权值,MAX_W代表权值的最大值,Direction代表是有向图还是无向图,flase表示无向
template<class V, class W, W Max_W = INT_MAX, bool Direction = false>
class Graph
{
public:
//图的创建
//1. IO输入 不方便测试
//2. 图结构关系写到文件,读取文件
//3. 手动添加边
Graph(const V* a, size_t n)
{
_vertexs.reserve(n);
for (size_t i = 0; i < n; i++)
{
_vertexs.push_back(a[i]);
_indexMap[a[i]] = i;
}
_matrix.resize(n);
for (size_t i = 0; i < _matrix.size(); i++)
{
_matrix[i].resize(n, Max_W);
}
}
size_t GetVertexIndex(const V& v)
{
//return _indexMap[v];
auto it = _indexMap.find(v);
if (it != _indexMap.end())
{
return it->second;
}
else
{
//assert(false)
throw invalid_argument("顶点不存在");
return -1;
}
}
void AddEdge(const V& src, const V& dst, const W& w)
{
size_t srci = GetVertexIndex(src);
size_t dsti = GetVertexIndex(dst);
_matrix[srci][dsti] = w;
if (Direction == false)
{
_matrix[dsti][srci] = w;
}
}
void Print()
{
for (size_t i = 0; i < _vertexs.size(); i++)
{
cout << "[" << i << "]" << "->" << _vertexs[i] << endl;
}
cout << endl;
cout << " ";
for (int i = 0; i < _vertexs.size(); i++)
{
//cout << _vertexs[i] << " ";
printf("%-3d ", i);
}
cout << endl;
for (size_t i = 0; i < _matrix.size(); i++)
{
//cout << _vertexs[i] << " ";
printf("%d ", i);
for (size_t j = 0; j < _matrix[i].size(); j++)
{
if (_matrix[i][j] == INT_MAX)
{
cout << " * " << " ";
}
else
{
printf("%-3d ", _matrix[i][j]);
//cout << _matrix[i][j] << " ";
}
}
cout << endl;
}
}
void BFS(const V& src)
{
int srci = GetVertexIndex(src);
queue<int> q; //广度遍历的队列
vector<bool> visited(_vertexs.size(), false); //标记数组
q.push(srci); //起点入队
visited[srci] = true; //已经被遍历过了
while (!q.empty())
{
int front = q.front();
q.pop();
cout << front << ":" << _vertexs[front] << endl;
//把front顶点的邻接顶点入队列
for (size_t i = 0; i < _matrix[front].size(); i++)
{
if (_matrix[front][i] != Max_W)
{
if (visited[i] == false)
{
q.push(i);
visited[i] = true;
}
}
}
}
}
private:
vector<V> _vertexs; //顶点集合
map<V, int> _indexMap; //顶点对应的下标关系
vector<vector<W>> _matrix; //临界矩阵
};
在上面的代码当中,这个图的如下所示
在BFS的时候,我们使用一个队列和一个标记数组来解决。
我们先将第一个起点入队,并且进行标记已经被遍历了,然后像二叉树的层序遍历一样,一层一层去寻找它的周围结点。由于我们用的是邻接矩阵,那么我们就可以以出队列的这个结点为起点,遍历邻接矩阵的对应行,找到满足的进行入队列,然后依次进行标记。从而最终可以遍历整个图
最终结果为
3.六度好友
如下面的题目就是一个简单的广度优先遍历
这道题与二叉树中求出第几层的元素是十分类似的。就是层序遍历,不过要打印出第六层的结果
cpp
void BFSLevel(const V& src)
{
int srci = GetVertexIndex(src);
queue<int> q; //广度遍历的队列
vector<bool> visited(_vertexs.size(), false); //标记数组
q.push(srci); //起点入队
visited[srci] = true; //已经被遍历过了
int levelSize = 1;
while (!q.empty())
{
for (int i = 0; i < levelSize; i++)
{
int front = q.front();
q.pop();
cout << front << ":" << _vertexs[front] << " ";
//把front顶点的邻接顶点入队列
for (size_t i = 0; i < _matrix[front].size(); i++)
{
if (_matrix[front][i] != Max_W)
{
if (visited[i] == false)
{
q.push(i);
visited[i] = true;
}
}
}
}
cout << endl;
levelSize = q.size();
}
}
void TestGraphBDFS()
{
string a[] = { "张三", "李四", "王五", "赵六", "周七" };
Graph<string, int> g1(a, sizeof(a) / sizeof(string));
g1.AddEdge("张三", "李四", 100);
g1.AddEdge("张三", "王五", 200);
g1.AddEdge("王五", "赵六", 30);
g1.AddEdge("王五", "周七", 30);
g1.Print();
g1.BFS("张三");
cout << endl;
g1.BFSLevel("张三");
}
这里我们用一个循环来记录每层的个数,每打印够一层就换行。如上代码所示
运行结果为
三、深度优先遍历
1.思想
如上是深度优先的一个形象的案例,下面是深度优先在一个图中的实际场景
我们可以看到,他就像二叉树的先序遍历一样,一直走到最深层,然后退回去。这里需要注意的就是要进行标记已经遍历过的结点
2.代码实现
如下是深度优先的代码实现
cpp
namespace matrix
{
//V代表顶点, W是weight代表权值,MAX_W代表权值的最大值,Direction代表是有向图还是无向图,flase表示无向
template<class V, class W, W Max_W = INT_MAX, bool Direction = false>
class Graph
{
public:
//图的创建
//1. IO输入 不方便测试
//2. 图结构关系写到文件,读取文件
//3. 手动添加边
Graph(const V* a, size_t n)
{
_vertexs.reserve(n);
for (size_t i = 0; i < n; i++)
{
_vertexs.push_back(a[i]);
_indexMap[a[i]] = i;
}
_matrix.resize(n);
for (size_t i = 0; i < _matrix.size(); i++)
{
_matrix[i].resize(n, Max_W);
}
}
size_t GetVertexIndex(const V& v)
{
//return _indexMap[v];
auto it = _indexMap.find(v);
if (it != _indexMap.end())
{
return it->second;
}
else
{
//assert(false)
throw invalid_argument("顶点不存在");
return -1;
}
}
void AddEdge(const V& src, const V& dst, const W& w)
{
size_t srci = GetVertexIndex(src);
size_t dsti = GetVertexIndex(dst);
_matrix[srci][dsti] = w;
if (Direction == false)
{
_matrix[dsti][srci] = w;
}
}
void Print()
{
for (size_t i = 0; i < _vertexs.size(); i++)
{
cout << "[" << i << "]" << "->" << _vertexs[i] << endl;
}
cout << endl;
cout << " ";
for (int i = 0; i < _vertexs.size(); i++)
{
//cout << _vertexs[i] << " ";
printf("%-3d ", i);
}
cout << endl;
for (size_t i = 0; i < _matrix.size(); i++)
{
//cout << _vertexs[i] << " ";
printf("%d ", i);
for (size_t j = 0; j < _matrix[i].size(); j++)
{
if (_matrix[i][j] == INT_MAX)
{
cout << " * " << " ";
}
else
{
printf("%-3d ", _matrix[i][j]);
//cout << _matrix[i][j] << " ";
}
}
cout << endl;
}
}
void BFS(const V& src)
{
int srci = GetVertexIndex(src);
queue<int> q; //广度遍历的队列
vector<bool> visited(_vertexs.size(), false); //标记数组
q.push(srci); //起点入队
visited[srci] = true; //已经被遍历过了
while (!q.empty())
{
int front = q.front();
q.pop();
cout << front << ":" << _vertexs[front] << endl;
//把front顶点的邻接顶点入队列
for (size_t i = 0; i < _matrix[front].size(); i++)
{
if (_matrix[front][i] != Max_W)
{
if (visited[i] == false)
{
q.push(i);
visited[i] = true;
}
}
}
}
}
void BFSLevel(const V& src)
{
int srci = GetVertexIndex(src);
queue<int> q; //广度遍历的队列
vector<bool> visited(_vertexs.size(), false); //标记数组
q.push(srci); //起点入队
visited[srci] = true; //已经被遍历过了
int levelSize = 1;
while (!q.empty())
{
for (int i = 0; i < levelSize; i++)
{
int front = q.front();
q.pop();
cout << front << ":" << _vertexs[front] << " ";
//把front顶点的邻接顶点入队列
for (size_t i = 0; i < _matrix[front].size(); i++)
{
if (_matrix[front][i] != Max_W)
{
if (visited[i] == false)
{
q.push(i);
visited[i] = true;
}
}
}
}
cout << endl;
levelSize = q.size();
}
}
void _DFS(size_t srci, vector<bool>& visited)
{
cout << srci << ":" << _vertexs[srci] << endl;
visited[srci] = true;
for (int i = 0; i < _matrix[srci].size(); i++)
{
if (_matrix[srci][i] != Max_W && visited[i] == false)
{
_DFS(i, visited);
}
}
}
void DFS(const V& src)
{
int srci = GetVertexIndex(src);
vector<bool> visited(_vertexs.size(), false);
_DFS(srci, visited);
}
private:
vector<V> _vertexs; //顶点集合
map<V, int> _indexMap; //顶点对应的下标关系
vector<vector<W>> _matrix; //临界矩阵
};
void TestGraph()
{
Graph<char, int, INT_MAX, true> g("0123", 4);
g.AddEdge('0', '1', 1);
g.AddEdge('0', '3', 4);
g.AddEdge('1', '3', 2);
g.AddEdge('1', '2', 9);
g.AddEdge('2', '3', 8);
g.AddEdge('2', '1', 5);
g.AddEdge('2', '0', 3);
g.AddEdge('3', '2', 6);
g.Print();
}
void TestGraphBDFS()
{
string a[] = { "张三", "李四", "王五", "赵六", "周七" };
Graph<string, int> g1(a, sizeof(a) / sizeof(string));
g1.AddEdge("张三", "李四", 100);
g1.AddEdge("张三", "王五", 200);
g1.AddEdge("王五", "赵六", 30);
g1.AddEdge("王五", "周七", 30);
g1.Print();
g1.BFS("张三");
cout << endl;
g1.BFSLevel("张三");
cout << endl;
g1.DFS("张三");
}
}
像先序遍历一样,这里也是需要一个子函数比较好的,因为我们需要使用递归,让子函数去进行递归是最好的
运行结果如下所示
四、其他问题
关于深度优先和广度优先,上面的清空自然是很理想的情况。并且由于起点不同,深度优先和广度优先的结果是不同的。但是有时候,也会出现下面的问题。
比如图不连通的问题。也就是图存在孤立的结点。那么这样的话,以某个点为起点就没有遍历完成
这里我们可以有个解决方案是从visited数组中寻找没有遍历的结点,在进行一次深度优先或者广度优先。也就是要在原来的代码上在套一层。