一直忙着金工实习+蓝桥杯，好久没有看图论了，今天就小试几题享受下被虐的快感。
1.最短路+拓扑
首先来几个结论：
1.最短路图没有环（可以用反证法证明）
2.dis[u]+edge[u,v]=dis[v]，那么u,v端点的边一定在最短路图上。
因此，我们就可以先枚举起始点跑SPFA，然后把最短路找出来，假如一个边的端点为u,v,那么经过它的为cnt1[u]*cnt2[v]，cnt1为正着最短路图上过u的边，cnt2为反着（注意到v结束也是一种，所以结尾后+1）。
因此，我们求两边拓扑排序即可，下面是AC代码（这里正反图用奇偶存储来区别）：
cpp
#include<bits/stdc++.h>
#define mod 1000000007
using namespace std;
const int N=1502;
const int M=100010;
bool vis[N];
int dis[N],in1[N],in2[N],cnt1[N],cnt2[N];
int n,m,u,v,w,head[N],is[M],cnt=1;
int ans[M];
struct node{
int dian,next,zhi;
}edge[M];
void add(int u,int v,int w){//i&1为反图
edge[++cnt].dian=v;
edge[cnt].zhi=w;
edge[cnt].next=head[u];
head[u]=cnt;
edge[++cnt].dian=u;
edge[cnt].zhi=w;
edge[cnt].next=head[v];
head[v]=cnt;
}
void spfa(int s){
memset(vis,0,sizeof(vis));
memset(dis,0x7f7f7f7f,sizeof(dis));
queue<int> q;
vis[s]=1;
q.push(s);
dis[s]=0;
while(!q.empty()){
int ck=q.front();
q.pop();
vis[ck]=0;
for(int i=head[ck];i!=-1;i=edge[i].next){
if(i&1) continue;
if(dis[edge[i].dian]>dis[ck]+edge[i].zhi){
dis[edge[i].dian]=dis[ck]+edge[i].zhi;
if(!vis[edge[i].dian]){
vis[edge[i].dian]=1;
q.push(edge[i].dian);
}
}
}
}
}
void new1(){
memset(is,0,sizeof(is));
memset(in1,0,sizeof(in1));
memset(in2,0,sizeof(in2));
for(int u=1;u<=n;u++){
for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next){
if(i&1) continue;
if(dis[u]+edge[i].zhi==dis[edge[i].dian]){
is[i]=1;
is[i^1]=1;
in1[edge[i].dian]++;
in2[u]++;
}
}
}
}
void topo(int s){
memset(cnt1,0,sizeof(cnt1));
memset(cnt2,0,sizeof(cnt2));
queue<int> q;
q.push(s);
cnt1[s]=1;
while(!q.empty()){
int u=q.front();
q.pop();
for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next){
if(!is[i]||(i&1)) continue;
int v=edge[i].dian;
in1[v]--;
cnt1[v]=(cnt1[v]+cnt1[u])%mod;
if(!in1[v]) q.push(v);
}
}
for(int i=1;i<=n;i++){
if(!in2[i]){
cnt2[i]=1;
q.push(i);
}
}
while(!q.empty()){
int u=q.front();
q.pop();
for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next){
if(!is[i]||!(i&1)) continue;
int v=edge[i].dian;
in2[v]--;
cnt2[v]=(cnt2[v]+cnt2[u])%mod;
if(!in2[v]){
q.push(v);
cnt2[v]++;//自己
}
}
}
}
void cal(){
for(int u=1;u<=n;u++){
for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next){
if((i&1)||!is[i]) continue;
int v=edge[i].dian;
ans[i>>1]=(ans[i>>1]+cnt1[u]*cnt2[v]%mod)%mod;
}
}
}
void solve(){
for(int i=1;i<=n;i++){
spfa(i);
new1();
topo(i);
cal();
}
for(int i=1;i<=m;i++) printf("%d\n",ans[i]);
}
int main(){
cin>>n>>m;
memset(head,-1,sizeof(head));
for(int i=1;i<=m;i++){
scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
add(u,v,w);
}
solve();
return 0;
}2.最短路+DP
首先跑个最短路，然后我们令f[i][j]表示走到i不超过d+j的条数。
易得状态转移方程：f[x][k]=
(f[y][dis[x]+k-dis[y]-len2[x][y])%p;
至于顺序我们直接记忆化搜素即可。
这里有个比较麻烦的细节：
如何判断0环？
1.不是一有0环就-1，当你的0环不在最短路+k涉及的路径上它起不了作用，那么这如何判？
注意到此时dis[x]+k-dis[y]-len2[x][y]为负值，我们判一下这种情况即可。
2.当一个二维位置即同一个点，同一个小于距离出现时，说明0环，判-1.
因此我们还要用v[n][55]来记录有没有访问过（注意dfs完后归0操作）
3.注意到0环涉及起点1的情况，这也是为什么起点设在n+1源点而不是1的原因。
下面是AC代码：
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100000;
int t,n,m,k,p,a,b,c,flag;
vector<int> edge[N+1],len[N+1];
vector<int> edge1[N+1],len2[N+1];
int dis[N+1],vis[N+1];
int f[N+1][55];
bool v[N+1][55];
struct ty{
int x,dis;
bool operator< (const ty &a) const{
return dis>a.dis;
}
};
priority_queue<ty> q;
void dij(int s){
memset(dis,0x7f,sizeof(dis));
memset(vis,0,sizeof(vis));
dis[s]=0;
q.push({s,0});
while(!q.empty()){
ty tmp=q.top();
q.pop();
if(vis[tmp.x]) continue;
vis[tmp.x]=1;
for(int i=0;i<edge[tmp.x].size();i++){
int y=edge[tmp.x][i];
if(dis[y]>dis[tmp.x]+len[tmp.x][i]){
dis[y]=dis[tmp.x]+len[tmp.x][i];
q.push({y,dis[y]});
}
}
}
}
int dfs(int x,int k){
if(f[x][k]!=-1) return f[x][k];
f[x][k]=0;
v[x][k]=1;
for(int i=0;i<edge1[x].size();i++){
int y=edge1[x][i];
int t=dis[x]+k-dis[y]-len2[x][i];
if(t<0) continue;
if(v[y][t]) flag=1;
if(flag) return 0;
f[x][k]=(f[x][k]+dfs(y,t))%p;
}
v[x][k]=0;
return f[x][k];
}
int main(){
cin>>t;
while(t--){
scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&k,&p);
for(int i=1;i<=n+1;i++){
edge[i].clear();
len[i].clear();
edge1[i].clear();
len2[i].clear();
}
for(int i=1;i<=m;i++){
scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
edge[a].push_back(b);
len[a].push_back(c);
edge1[b].push_back(a);
len2[b].push_back(c);
}
edge[n+1].push_back(1);
len[n+1].push_back(0);
edge1[1].push_back(n+1);
len2[1].push_back(0);
dij(n+1);
memset(f,-1,sizeof(f));
memset(v,0,sizeof(v));
f[n+1][0]=1;
int ans=0;
flag=0;
for(int i=0;i<=k;i++){
ans=(ans+dfs(n,i))%p;
}
if(flag) printf("-1\n");
else printf("%d\n",ans);
}
}