LeetCode-64. 最小路径和【数组 动态规划 矩阵】
题目描述：
给定一个包含非负整数的 m x n 网格 grid ，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。
说明：每次只能向下或者向右移动一步。
示例 1：
输入：grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]
输出：7
解释：因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。
示例 2：
输入：grid = [[1,2,3],[4,5,6]]
输出：12
提示：
m == grid.length
n == grid[i].length
1 <= m, n <= 200
0 <= grid[i][j] <= 200
此题解法与LeetCode-62. 不同路径【数学 动态规划 组合数学】非常相似！
解题思路一：动态规划五部曲。定推初遍举
-
确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j] ：表示从左上角出发到 (i,j) 位置的最小路径和。
-
确定递推公式
想要求dp[i][j]，只能有两个方向来推导出来，即dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1]。
此时在回顾一下 dp[i - 1][j] 表示啥，是从(0, 0)的位置到(i - 1, j)的最小路径和，dp[i][j - 1]同理。
那么很自然，dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]，因为dp[i][j]只有这两个方向过来。
- dp数组的初始化
如何初始化呢，首先dp[0][0] = grid[0][0]，从(0, 0)的位置到(i, 0)的路径就是相加即可，那么dp[0][j]也同理。
python
dp[0][0] = grid[0][0]
for i in range(1, m):
dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0]
for j in range(1, n):
dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j]- 确定遍历顺序
这里要看一下递推公式dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]，dp[i][j]都是从其上方和左方推导而来，那么从左到右一层一层遍历就可以了。
这样就可以保证推导dp[i][j]的时候，dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1]一定是有数值的。
- 举例推导dp数组
如图所示：
python
class Solution:
def minPathSum(self, grid: List[List[int]]) -> int:
m, n = len(grid), len(grid[0])
dp = [[0] * n for _ in range(m)]
dp[0][0] = grid[0][0]
for i in range(1, m):
dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0]
for j in range(1, n):
dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j]
for i in range(1, m):
for j in range(1, n):
dp[i][j] = min(grid[i][j] + dp[i-1][j], grid[i][j] + dp[i][j-1])
return dp[-1][-1]时间复杂度：O(nm)
空间复杂度：O(nm)
解题思路二：动态规划优化空间，直接改grid
python
class Solution:
def minPathSum(self, grid: [[int]]) -> int:
for i in range(len(grid)):
for j in range(len(grid[0])):
if i == j == 0: continue
elif i == 0: grid[i][j] = grid[i][j - 1] + grid[i][j]
elif j == 0: grid[i][j] = grid[i - 1][j] + grid[i][j]
else: grid[i][j] = min(grid[i - 1][j], grid[i][j - 1]) + grid[i][j]
return grid[-1][-1]时间复杂度：O(nm)
空间复杂度：O(1)
解题思路三：dfs
python
class Solution:
def minPathSum(self, grid: List[List[int]]) -> int:
m, n = len(grid), len(grid[0])
@cache
def dfs(m,n):
if m==0 and n ==0:
return grid[m][n]
if m==0:
return dfs(m,n-1)+grid[m][n]
if n==0:
return dfs(m-1,n)+grid[m][n]
return min(dfs(m-1,n),dfs(m,n-1))+grid[m][n]
return dfs(m-1,n-1)时间复杂度：O(nm)
空间复杂度：O(nm)