LeetCode-64. 最小路径和【数组 动态规划 矩阵】

LeetCode-64. 最小路径和【数组 动态规划 矩阵】

• 题目描述：
• 解题思路一：动态规划五部曲。定推初遍举
• 解题思路二：动态规划优化空间，直接改grid
• 解题思路三：dfs

题目描述：

给定一个包含非负整数的 m x n 网格 grid ，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

说明：每次只能向下或者向右移动一步。

示例 1：

输入：grid = \[1,3,1,1,5,1,4,2,1]

输出：7

解释：因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。

示例 2：

输入：grid = \[1,2,3,4,5,6]

输出：12

提示：

m == grid.length

n == gridi.length

1 <= m, n <= 200

0 <= gridij <= 200

此题解法与LeetCode-62. 不同路径【数学 动态规划 组合数学】非常相似！

解题思路一：动态规划五部曲。定推初遍举

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

   dpij ：表示从左上角出发到 (i,j) 位置的最小路径和。

2. 确定递推公式

   想要求dpij，只能有两个方向来推导出来，即dpi - 1j 和 dpij - 1。

此时在回顾一下 dpi - 1j 表示啥，是从(0, 0)的位置到(i - 1, j)的最小路径和，dpij - 1同理。

那么很自然，dpij = dpi - 1j + dpij - 1，因为dpij只有这两个方向过来。

3. dp数组的初始化
   如何初始化呢，首先dp00 = grid00，从(0, 0)的位置到(i, 0)的路径就是相加即可，那么dp0j也同理。

dp[0][0] = grid[0][0]
for i in range(1, m):
    dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0]
for j in range(1, n):
    dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j]

4. 确定遍历顺序
   这里要看一下递推公式dpij = dpi - 1j + dpij - 1，dpij都是从其上方和左方推导而来，那么从左到右一层一层遍历就可以了。

这样就可以保证推导dpij的时候，dpi - 1j 和 dpij - 1一定是有数值的。

5. 举例推导dp数组
   如图所示：
   

class Solution:
    def minPathSum(self, grid: List[List[int]]) -> int:
        m, n = len(grid), len(grid[0])
        dp = [[0] * n for _ in range(m)]
        dp[0][0] = grid[0][0]
        for i in range(1, m):
            dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0]
        for j in range(1, n):
            dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j]
        for i in range(1, m):
            for j in range(1, n):
                dp[i][j] = min(grid[i][j] + dp[i-1][j], grid[i][j] + dp[i][j-1])
        return dp[-1][-1]

时间复杂度：O(nm)

空间复杂度：O(nm)

解题思路二：动态规划优化空间，直接改grid

class Solution:
    def minPathSum(self, grid: [[int]]) -> int:
        for i in range(len(grid)):
            for j in range(len(grid[0])):
                if i == j == 0: continue
                elif i == 0:  grid[i][j] = grid[i][j - 1] + grid[i][j]
                elif j == 0:  grid[i][j] = grid[i - 1][j] + grid[i][j]
                else: grid[i][j] = min(grid[i - 1][j], grid[i][j - 1]) + grid[i][j]
        return grid[-1][-1]

时间复杂度：O(nm)

空间复杂度：O(1)

解题思路三：dfs

class Solution:
    def minPathSum(self, grid: List[List[int]]) -> int:
        m, n = len(grid), len(grid[0])
        @cache
        def dfs(m,n):
            if m==0 and n ==0:
                return grid[m][n]
            if m==0:
                return dfs(m,n-1)+grid[m][n]
            if n==0:
                return dfs(m-1,n)+grid[m][n]
            return min(dfs(m-1,n),dfs(m,n-1))+grid[m][n]
        return dfs(m-1,n-1)

时间复杂度：O(nm)

空间复杂度：O(nm)