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单源最短路
图论知识汇总
LeetCode100276. 最短路径中的边
给你一个 n 个节点的无向带权图,节点编号为 0 到 n - 1 。图中总共有 m 条边,用二维数组 edges 表示,其中 edges[i] = [ai, bi, wi] 表示节点 ai 和 bi 之间有一条边权为 wi 的边。
对于节点 0 为出发点,节点 n - 1 为结束点的所有最短路,你需要返回一个长度为 m 的 boolean 数组 answer ,如果 edges[i] 至少 在其中一条最短路上,那么 answer[i] 为 true ,否则 answer[i] 为 false 。
请你返回数组 answer 。
注意,图可能不连通。
示例 1:
输入:n = 6, edges = [[0,1,4],[0,2,1],[1,3,2],[1,4,3],[1,5,1],[2,3,1],[3,5,3],[4,5,2]]
输出:[true,true,true,false,true,true,true,false]
解释:
以下为节点 0 出发到达节点 5 的 所有 最短路:
路径 0 -> 1 -> 5 :边权和为 4 + 1 = 5 。
路径 0 -> 2 -> 3 -> 5 :边权和为 1 + 1 + 3 = 5 。
路径 0 -> 2 -> 3 -> 1 -> 5 :边权和为 1 + 1 + 2 + 1 = 5 。
示例 2:
输入:n = 4, edges = [[2,0,1],[0,1,1],[0,3,4],[3,2,2]]
输出:[true,false,false,true]
解释:
只有一条从节点 0 出发到达节点 3 的最短路 0 -> 2 -> 3 ,边权和为 1 + 2 = 3 。
提示:
2 <= n <= 5 * 10^4^
m == edges.length
1 <= m <= min(5 * 10^4^, n * (n - 1) / 2)
0 <= ai, bi < n
ai != bi
1 <= wi <= 10^5^
图中没有重边。
单源最短路
准备修改 堆优化迪氏定理。优化过程中,发现直接使用 迪氏定理就可以了。浪费了20分钟。如果边{n1,n2,w} 是最短路径的边,则一定是以下情况之一:
0 → n 1 → n 2 → ( n − 1 ) 0 \rightarrow n1 \rightarrow n2 \rightarrow (n-1) 0→n1→n2→(n−1)
0 → n 2 → n 1 → ( n − 1 ) 0 \rightarrow n2 \rightarrow n1 \rightarrow (n-1) 0→n2→n1→(n−1)
计算这两条路径的最短路,就可以了。
提前计算好:0到各点的最短路径,(n-1)到各点的最短路。
时间复杂度: O(mlogm)+O(m) m是边数。
代码
cpp
class CNeiBo
{
public:
static vector<vector<int>> Two(int n, vector<vector<int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0)
{
vector<vector<int>> vNeiBo(n);
for (const auto& v : edges)
{
vNeiBo[v[0] - iBase].emplace_back(v[1] - iBase);
if (!bDirect)
{
vNeiBo[v[1] - iBase].emplace_back(v[0] - iBase);
}
}
return vNeiBo;
}
static vector<vector<std::pair<int, int>>> Three(int n, vector<vector<int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0)
{
vector<vector<std::pair<int, int>>> vNeiBo(n);
for (const auto& v : edges)
{
vNeiBo[v[0] - iBase].emplace_back(v[1] - iBase, v[2]);
if (!bDirect)
{
vNeiBo[v[1] - iBase].emplace_back(v[0] - iBase, v[2]);
}
}
return vNeiBo;
}
static vector<vector<int>> Grid(int rCount, int cCount, std::function<bool(int, int)> funVilidCur, std::function<bool(int, int)> funVilidNext)
{
vector<vector<int>> vNeiBo(rCount * cCount);
auto Move = [&](int preR, int preC, int r, int c)
{
if ((r < 0) || (r >= rCount))
{
return;
}
if ((c < 0) || (c >= cCount))
{
return;
}
if (funVilidCur(preR, preC) && funVilidNext(r, c))
{
vNeiBo[cCount * preR + preC].emplace_back(r * cCount + c);
}
};
for (int r = 0; r < rCount; r++)
{
for (int c = 0; c < cCount; c++)
{
Move(r, c, r + 1, c);
Move(r, c, r - 1, c);
Move(r, c, r, c + 1);
Move(r, c, r, c - 1);
}
}
return vNeiBo;
}
static vector<vector<int>> Mat(vector<vector<int>>& neiBoMat)
{
vector<vector<int>> neiBo(neiBoMat.size());
for (int i = 0; i < neiBoMat.size(); i++)
{
for (int j = i + 1; j < neiBoMat.size(); j++)
{
if (neiBoMat[i][j])
{
neiBo[i].emplace_back(j);
neiBo[j].emplace_back(i);
}
}
}
return neiBo;
}
};
typedef pair<long long, int> PAIRLLI;
class CHeapDis
{
public:
CHeapDis(int n,long long llEmpty = LLONG_MAX/10):m_llEmpty(llEmpty)
{
m_vDis.assign(n, m_llEmpty);
}
void Cal(int start, const vector<vector<pair<int, int>>>& vNeiB)
{
std::priority_queue<PAIRLLI, vector<PAIRLLI>, greater<PAIRLLI>> minHeap;
minHeap.emplace(0, start);
while (minHeap.size())
{
const long long llDist = minHeap.top().first;
const int iCur = minHeap.top().second;
minHeap.pop();
if (m_llEmpty != m_vDis[iCur])
{
continue;
}
m_vDis[iCur] = llDist;
for (const auto& it : vNeiB[iCur])
{
minHeap.emplace(llDist + it.second, it.first);
}
}
}
vector<long long> m_vDis;
const long long m_llEmpty;
};
class Solution {
public:
vector<bool> findAnswer(int n, vector<vector<int>>& edges) {
auto neiBo = CNeiBo::Three(n, edges, false);
CHeapDis dis1(n),dis2(n);
dis1.Cal(0, neiBo);
dis2.Cal(n - 1, neiBo);
const long long llMinDis = dis1.m_vDis[n - 1];
vector<bool> ret;
for (const auto& v : edges) {
bool b1 = ( llMinDis ==(v[2] + dis1.m_vDis[v[0]] + dis2.m_vDis[v[1]]));
bool b2 = (llMinDis == (v[2] + dis2.m_vDis[v[0]] + dis1.m_vDis[v[1]]));
ret.emplace_back(b1 || b2);
}
return ret;
}
};
扩展阅读
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测试环境
操作系统:win7 开发环境: VS2019 C++17
或者 操作系统:win10 开发环境: VS2022 C++17
如无特殊说明,本算法用**C++**实现。