文章目录
- 一、说明
- 二、抽样分布
- [三 均值抽样分布](#三 均值抽样分布)
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- [3.1 有限母体无放回抽样](#3.1 有限母体无放回抽样)
- [3.2 有限母体有放回抽样](#3.2 有限母体有放回抽样)
- [3.3 无限母体](#3.3 无限母体)
- 四、比例抽样分布
- 五、和差抽样分布
一、说明
上文中叙述母体和抽样的设计；以及抽样分布的概念，本篇将这种关系定量化，专门针对抽样的指标参数和母体参数的对应关系，这是我们以后做检验的基础。
二、抽样分布
考虑从给定的母体中抽取容量为N的所有可能样本（抽样时无论放回和不放回）。对于每一个样本，我们可以计算出某个统计量（如均值、标准差）的值，不同样本得到的统计量（均值或标准差）不同，用这种方法得到的统计量分布称为抽样分布。
抽样分布有多种，我们这里重点介绍几个典型抽样分布.
- 均值抽样分布。
- 比例抽样分布。
- 和（差）抽样分布。
三 均值抽样分布
均值抽样是最常见的抽样。我们知道抽样的目的是从若干个局部，推演出全局的过程。推而广之，从个别是不是属于一个全局的概率。这其实有一个先验前提，母体基本情况是确定的。因此，预先知道母体的基本信息有：
- 有限母体
- 无限母体
从抽样方式上，又分为： - 无放回抽样
- 有放回抽样
下面我们将分别叙述。
3.1 有限母体无放回抽样
假定一个有限母体，容量为 N p N_p Np.母体均值和方差为： μ , σ \mu,\sigma μ,σ。抽样的容量为N，均值方差记号为 μ x ˉ , σ x ˉ \mu_{\bar{x}},\sigma_{\bar{x}} μxˉ,σxˉ,那么，抽样的均值和方差与母体的均值和方差存在下列关系：
以上关系我们给出一个实例说明：
给出一个母体 { 2 , 3 , 6 , 8 , 11 } \{2,3,6,8,11\} {2,3,6,8,11},从母体中有放回地抽样，抽样的容量是2；
如何获取母体的均值和方差 ？
μ = 2 + 3 + 6 + 8 + 11 5 = 6 σ 2 = ( 2 − 6 ) 2 + ( 3 − 6 ) 2 + ( 6 − 6 ) 2 + ( 8 − 6 ) 2 + ( 11 − 6 ) 2 5 = 10.8 \mu = \frac{2+3+6+8+11}{5}=6 \\ \sigma^2 = \frac{(2-6)^2+(3-6)^2+(6-6)^2+(8-6)^2+(11-6)^2}{5}=10.8 μ=52+3+6+8+11=6σ2=5(2−6)2+(3−6)2+(6−6)2+(8−6)2+(11−6)2=10.8
σ = 3.29 \sigma=3.29 σ=3.29
如何获取抽样的均值和方差 ？
从总体中抽取容量为2的样本，而且是无放回的，这说明什么？
- 当抽出一个数以后，不放回再抽取第二个，说明两个数不能一样。
- 当抽取出（a，b）和（b，a）属于同一个抽样。
这样的抽样共有 C 5 2 C^2_5 C52种，分别是：
| Column 1 | Column 2 | 均值 |
|---|---|---|
| 2 | 3 | 2.5 |
| 2. | 6 | 4 |
| 2 | 8 | 5 |
| 2 | 11 | 6.5 |
| 3. | 6 | 4.5 |
| 3 | 8 | 5.5 |
| 3 | 11 | 7 |
| 6 | 8 | 7 |
| 6 | 11 | 8.5 |
| 8 | 11 | 9.5 |
样本均值为：
μ x ˉ = 2.5 + 4 + 5 + 6.5 + 4.5 + 5.5 + 7 + 7 + 8.5 + 9.5 10 = 6 \mu_{\bar{x}}=\frac{2.5+4+5+6.5+4.5+5.5+7+7+8.5+9.5}{10}=6 μxˉ=102.5+4+5+6.5+4.5+5.5+7+7+8.5+9.5=6
样本方差：
因此，符合我们给出的（1）式。
3.2 有限母体有放回抽样
有限母体和抽样中，母体均值和抽样的关系。
μ x ˉ = μ σ x ˉ = σ N \mu_{\bar{x}}=\mu \; \; \; \; \; \; \sigma_{\bar{x}}=\frac{\sigma}{\sqrt{N}} μxˉ=μσxˉ=N σ (2)
3.3 无限母体
对于无限的母体，它和有限母体的有放回抽样是一样的，
无限的母体的抽样中，母体均值和抽样的关系。
μ x ˉ = μ σ x ˉ = σ N \mu_{\bar{x}}=\mu \; \; \; \; \; \; \sigma_{\bar{x}}=\frac{\sigma}{\sqrt{N}} μxˉ=μσxˉ=N σ (3)
好了，我们以上对均值的抽样做出完整解释。下面请看比例抽样是个什么概念。
四、比例抽样分布
关键词： sampling distribution of proportions
有一类事物，总是能归结到某事物发生或不发生的概率。这是一个二分法问题，比如，进入某商店的客人中，购买商品的顾客比例。这种问题可以归结到抛硬币问题，或者二项式分布问题。
总体设定：将总体看成是0-1分布，均值和方差为：
μ = p ; σ 2 = p ( 1 − p ) \mu=p; \; \; \sigma^2=p(1-p) μ=p;σ2=p(1−p)
那么，抽样的均值和方差分别是：
μ p = p ; σ p = p ( 1 − p ) N \mu_p=p; \; \; \sigma_p=\sqrt{ \frac{p(1-p)}{N}} μp=p;σp=Np(1−p) (3)
这个结论和有限，有放回抽样的结果一样的。
五、和差抽样分布
和差抽样分布，是针对；对两个母体分别抽样，然后估算两组抽样中指标数（如均值）和、差的统计运算。
假如对于两个母体 Ω 1 \Omega_1 Ω1和 Ω 2 \Omega_2 Ω2
从 Ω 1 \Omega_1 Ω1中对统计量 S 1 S_1 S1进行抽样，容量 N 1 N_1 N1。计算出统计量的估计分布是 μ S 1 \mu_{S_1} μS1和 σ S 1 \sigma_{S_1} σS1
从 Ω 2 \Omega_2 Ω2中对统计量 S 2 S_2 S2进行抽样，容量 N 2 N_2 N2。计算出统计量的估计分布是 μ S 2 \mu_{S_2} μS2和 σ S 2 \sigma_{S_2} σS2
那么， S 1 − S 2 S_1-S_2 S1−S2 的分布是：
如果S1和S2表示两个样本的均值，那么，两者差的估计是：
同样，对于母体 Ω 1 \Omega_1 Ω1和 Ω 2 \Omega_2 Ω2是二项式分布 ( p 1 , q 1 ) (p_1,q_1) (p1,q1)和 ( p 2 , q 2 ) (p_2,q_2) (p2,q2)，S1和S2相当于成功比例P1和P2，那么，差的估计是：
注意以上S1和S2的抽样是相互独立的。至此，我们将统计量差的估计交待清楚了，对于两者的和，只要将均值估计改成加法，如下：
