矩阵
定义一个 n × m n\times m n×m 的矩阵如下：
a 1 , 1 ⋯ a 1 , m ⋮ ⋱ ⋮ a n , 1 ⋯ a n , m \] \\begin{bmatrix}a_{1,1}\&\\cdots\&a_{1,m}\\\\\\vdots\&\\ddots\&\\vdots\\\\a_{n,1}\&\\cdots\&a_{n,m}\\end{bmatrix} a1,1⋮an,1⋯⋱⋯a1,m⋮an,m #### 单位矩阵 单位矩阵 A = \[ 1 ⋱ 1 \] A=\\begin{bmatrix}1\&\&\\\\\&\\ddots\&\\\\\&\&1\\end{bmatrix} A= 1⋱1 。 ### 矩阵乘法 一般来说，矩阵乘法需要左侧矩阵的列数要等于右侧矩阵的行数。 设两个矩阵分别为 a × b a\\times b a×b 的 A A A 和 b × c b\\times c b×c 的 B B B 那么设 A × B = C A\\times B=C A×B=C，则 C C C 为 a × c a\\times c a×c 的。 对于 i ∈ \[ 1 , a \] i\\in\[1,a\] i∈\[1,a\]， j ∈ \[ 1 , c \] j\\in\[1,c\] j∈\[1,c\]， C i , j = ∑ k ∈ \[ 1 , b \] A i , k ⋅ B k , j C_{i,j}=\\sum\\limits_{k\\in\[1,b\]}A_{i,k}\\cdot B_{k,j} Ci,j=k∈\[1,b\]∑Ai,k⋅Bk,j #### 一些性质 矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律，读者不妨自证。 ### 代码 就是矩阵结构体的板子 ```cpp struct mtrx{ int n,m,a[N][N]; void init(){n=0;m=0;memset(a,0,sizeof(a));} void init_one(int x){init();n=m=x;for (int i=1;i<=x;i++) a[i][i]=1;} } mtrx operator*(mtrx a,mtrx b){ mtrx c;c.init(); c.n=a.n;c.m=b.m; for (int i=1;i<=c.n;i++) for (int k=1;k<=a.m;k++) for (int j=1;j<=c.m;j++) c.a[i][j]+=a.a[i][k]*b.a[k][j]; return c; } ```