【数学】矩阵与矩阵乘法

矩阵

定义一个 n × m n\times m n×m 的矩阵如下：
[ a 1 , 1 ⋯ a 1 , m ⋮ ⋱ ⋮ a n , 1 ⋯ a n , m ] \begin{bmatrix}a_{1,1}&\cdots&a_{1,m}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n,1}&\cdots&a_{n,m}\end{bmatrix} a1,1⋮an,1⋯⋱⋯a1,m⋮an,m

单位矩阵

单位矩阵 A = [ 1 ⋱ 1 ] A=\begin{bmatrix}1&&\\&\ddots&\\&&1\end{bmatrix} A= 1⋱1 。

矩阵乘法

一般来说，矩阵乘法需要左侧矩阵的列数要等于右侧矩阵的行数。

设两个矩阵分别为 a × b a\times b a×b 的 A A A 和 b × c b\times c b×c 的 B B B

那么设 A × B = C A\times B=C A×B=C，则 C C C 为 a × c a\times c a×c 的。

对于 i ∈ [ 1 , a ] i\in[1,a] i∈[1,a]， j ∈ [ 1 , c ] j\in[1,c] j∈[1,c]， C i , j = ∑ k ∈ [ 1 , b ] A i , k ⋅ B k , j C_{i,j}=\sum\limits_{k\in[1,b]}A_{i,k}\cdot B_{k,j} Ci,j=k∈[1,b]∑Ai,k⋅Bk,j

一些性质

矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律，读者不妨自证。

代码

就是矩阵结构体的板子

struct mtrx{
	int n,m,a[N][N];
	void init(){n=0;m=0;memset(a,0,sizeof(a));}
	void init_one(int x){init();n=m=x;for (int i=1;i<=x;i++) a[i][i]=1;}
}
mtrx operator*(mtrx a,mtrx b){
	mtrx c;c.init();
	c.n=a.n;c.m=b.m;
	for (int i=1;i<=c.n;i++) for (int k=1;k<=a.m;k++) for (int j=1;j<=c.m;j++)
		c.a[i][j]+=a.a[i][k]*b.a[k][j];
	return c;
}