文章目录
- 定积分定义求极限问题的描述
- 解决方法
- [真题实践(持续更新中，未完结）](#真题实践(持续更新中，未完结）)
定积分定义求极限问题的描述
在定积分定义求极限中，我们可能存在的问题
- 被积函数不会找
- 积分区间不会定（只会[0,1]的）
- 根本不知道"补系数"
- 只会f（i/n)的情况
定积分定义，简单来说就是底*高，无穷累加。
从0到n，均分变为1/n就是底，f(i/n)就是它对应的高，由于均分后已经很微小了，所以这个高只要保证在这样的一个小区间上即可。最后再累加。
上述就是定积分定义的最简单理解
∫ 0 1 f ( x ) d x = lim n → ∞ ∑ i = 1 n f ( i n ) 1 n \int \limits_{0}^{1}f\left(x\right)dx = \lim \limits_{n\rightarrow ∞}\sum \limits_{i = 1}^{n}f\left(\frac{i}{n}\right)\frac{1}{n} 0∫1f(x)dx=n→∞limi=1∑nf(ni)n1
现在待解决的问题就是如何根据后面的无穷项的数列极限，写成前面的定积分的形式。
解决方法
给出方法论：
- 找被积函数在于找变化的部分，将变化的部分写成x
- 确定积分区间，积分区间的确定，就看变化量的极限，它的第一项的极限就是下限，第n项的极限就是它的上限
- 确定底，也就是1/n需不需要补系数，用积分区间/实际项数。比如积分区间是0到1，但是根据规律发现只有偶数，那么它实际项数就是n/2，用（1-0）/（n/2），最后得到2/n，如果原先的系数是1/n，则需要将它的系数改为2/n，并在前面补系数2
补充两点：
1️⃣删去有限项不改变数列极限
2️⃣变化的部分，当然是越简单越好
没看懂很正常，真题实践会逐步掌握
真题实践(持续更新中，未完结）
真题实践部分由浅入深
- lim n → ∞ 1 n ( s i n 1 n + s i n 2 n + s i n 3 n + . . . s i n n n ) 1.\lim \limits_{n\rightarrow ∞}\frac{1}{n}\left(sin\frac{1}{n} + sin\frac{2}{n} + sin\frac{3}{n} + ...sin\frac{n}{n}\right) 1.n→∞limn1(sinn1+sinn2+sinn3+...sinnn)
解析：
观察可知本题中的变化量是sin里面的数，并且前面给出1/n，大胆使用定积分定义。
1.括号里面的改成sinx，确定了被积函数。
2.积分区间，1/n就是就是0，n/n就是1
在这里非常值得注意的点是，积分区间的确定是根据变化部分确定的，这里可不是sin0和sin1，而是0和1
3.补系数，区间1，一共n项，就是1/n，不需要补系数
答案如下：
∫ 0 1 sin x d x \int \limits_{0}^{1}\sin xdx 0∫1sinxdx
- lim n → ∞ ( 1 n + 1 + 1 n + 2 + 1 n + 3 + . . . 1 n + n ) 2.\lim \limits_{n\rightarrow ∞}\left(\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \frac{1}{n + 3} + ...\frac{1}{n + n}\right) 2.n→∞lim(n+11+n+21+n+31+...n+n1)
解析：
观察不难发现是分母1，2，3发生变化。我们首先要整理这个式子，让这个式子除了发生变化的量，其他均是常数，故分母同除n，提出一个1/n
lim n → ∞ 1 n ( 1 1 + 1 n + 1 1 + 2 n + 1 1 + 3 n + . . . 1 1 + n n ) \lim \limits_{n\rightarrow ∞}\frac{1}{n}\left(\frac{1}{1 + \frac{1}{n}} + \frac{1}{1 + \frac{2}{n}} + \frac{1}{1 + \frac{3}{n}} + ...\frac{1}{1 + \frac{n}{n}}\right) n→∞limn1(1+n11+1+n21+1+n31+...1+nn1)
1.确定被积函数，把1/n写成x，故被积函数就是1/（1+x）
2.确定区间，1/n是0，n/n是1，积分区间0到1
3.确定系数，区间是1，一共n项，系数1/n，不用补系数
答案如下：
∫ 0 1 1 1 + x d x \int \limits_{0}^{1}\frac{1}{1 + x}dx 0∫11+x1dx
在本题中如果把n改成2n，那么积分区间就变为了0-2
- lim n → ∞ ( 1 n + 1 + 1 n + 2 + 1 n + 4 + 1 n + 6 + . . . 1 n + 2 n ) 3.\lim \limits_{n\rightarrow ∞}\left(\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \frac{1}{n + 4} + \frac{1}{n + 6} + ...\frac{1}{n + 2n}\right) 3.n→∞lim(n+11+n+21+n+41+n+61+...n+2n1)
解析：观察题目不难发现变化的部分跟上面的题还是一样的，区别在于是从1，2，4，6，8这么变化，是偶数项。还是先整理出一个1/n
lim n → ∞ 1 n ( 1 1 + 1 n + 1 1 + 2 n + 1 1 + 4 n + 1 1 + 6 n + . . . 1 1 + 2 n n ) \lim \limits_{n\rightarrow ∞}\frac{1}{n}\left(\frac{1}{1 + \frac{1}{n}} + \frac{1}{1 + \frac{2}{n}} + \frac{1}{1 + \frac{4}{n}} + \frac{1}{1 + \frac{6}{n}} + ...\frac{1}{1 + \frac{2n}{n}}\right) n→∞limn1(1+n11+1+n21+1+n41+1+n61+...1+n2n1)
- 确定被积函数，还是1/(1+x)
- 删去第一项，其余全是偶数。（数列极限删除有限项，不影响整体）
- 确定积分区间，2/n是0，2n/n是2，积分区间0-2
- 补系数，区间是2，项数一共2n项，但是只取偶数项就是n项，故系数应为2/n，系数本来是是1/n，需要补系数
答案如下：
1 2 ∫ 0 2 1 1 + x d x \frac{1}{2}\int \limits_{0}^{2}\frac{1}{1 + x}dx 210∫21+x1dx
- lim n → ∞ ( n n 2 + 1 2 + n n n + 2 2 + n n 2 + 4 2 + n n 2 + 6 2 + . . . n n 2 + ( 4 n ) 2 ) 4.\lim \limits_{n\rightarrow ∞}\left(\frac{n}{n^{2} + 1^{2}} + \frac{n}{n^{n} + 2^{2}} + \frac{n}{n^{2} + 4^{2}} + \frac{n}{n^{2} + 6^{2}} + ...\frac{n}{n^{2} + \left(4n)^{2}\right.}\right) 4.n→∞lim(n2+12n+nn+22n+n2+42n+n2+62n+...n2+(4n)2n)
解析：还是先上下同除n，然后再提出来一个1/n
lim n → ∞ 1 n ( 1 1 + ( 1 n ) 2 + 1 1 + ( 2 n ) 2 + 1 1 + ( 4 n ) 2 + 1 1 + ( 6 n ) 2 + . . . 1 1 + ( 4 n n ) 2 ) \lim \limits_{n\rightarrow ∞}\frac{1}{n}\left(\frac{1}{1 + \left(\frac{1}{n}\right)^{2}} + \frac{1}{1 + \left(\frac{2}{n}\right)^{2}} + \frac{1}{1 + \left(\frac{4}{n}\right)^{2}} + \frac{1}{1 + \left(\frac{6}{n}\right)^{2}} + ...\frac{1}{1 + \left(\frac{4n}{n}\right)^{2}}\right) n→∞limn1(1+(n1)21+1+(n2)21+1+(n4)21+1+(n6)21+...1+(n4n)21)