【机器学习】用Jupyter Notebook实现并探索单变量线性回归的代价函数以及遇到的一些问题

引言

在机器学习中,代价函数(Cost Function)是一个用于衡量模型预测值与实际值之间差异的函数。在监督学习中,代价函数是评估模型性能的关键工具,它可以帮助我们了解模型在训练数据上的表现,并通过优化过程来改善模型

文章目录

  • 引言
  • [二、实现用Jupyter Notebook并探索单变量线性回归的代价函数](#二、实现用Jupyter Notebook并探索单变量线性回归的代价函数)
    • [2.1 工具](#2.1 工具)
    • [2.2 问题陈述](#2.2 问题陈述)
    • [2.3 计算成本](#2.3 计算成本)
    • [2.4 代价函数直观](#2.4 代价函数直观)
    • [2.5 代价函数可视化 - 3D](#2.5 代价函数可视化 - 3D)
    • [2.6 更大的数据集](#2.6 更大的数据集)
    • [2.7 凸成本表面](#2.7 凸成本表面)
    • [2.8 总结](#2.8 总结)
  • 三、遇到的问题
    • [3.1 没有`ipympl`第三方库](#3.1 没有ipympl第三方库)
      • [3.1.1 问题](#3.1.1 问题)
      • [3.1.2 解决方法](#3.1.2 解决方法)
    • [3.2 运行matplotlib代码没有显示图片](#3.2 运行matplotlib代码没有显示图片)
      • [3.2.1 问题](#3.2.1 问题)
      • [3.2.2 解决方法](#3.2.2 解决方法)

二、实现用Jupyter Notebook并探索单变量线性回归的代价函数

2.1 工具

在这个实验室中使用:

  • NumPy,一个流行的科学计算库
  • Matplotlib,一个流行的数据绘图库
  • 本地目录中的 lab_utils_uni.py 文件中的本地绘图例程
python 复制代码
import numpy as np
%matplotlib widget
import matplotlib.pyplot as plt
from lab_utils_uni import plt_intuition, plt_stationary, plt_update_onclick, soup_bowl
plt.style.use('./deeplearning.mplstyle')

2.2 问题陈述

希望有一个模型,可以根据房屋的大小预测房价。

使用的两个数据点:一个1000平方英尺的房子以30万美元的价格售出,一个2000平方英尺的房子以50万美元的价格售出。

尺寸 (1000 sqft) 价格 (10万美元)
1.0 300
2.0 500
  • x_train = np.array([1.0, 2.0]) # (尺寸,以1000平方英尺为单位)
  • y_train = np.array([300.0, 500.0]) # (价格,以1000美元为单位)

2.3 计算成本

在这里,成本是衡量模型在预测房屋目标价格方面表现如何的度量,对于房屋数据,"价格"一词被使用

单变量成本方程是:

其中 𝑓𝑤,𝑏(𝑥(𝑖))=𝑤𝑥(𝑖)+𝑏(2)

  • 𝑓𝑤,𝑏(𝑥(𝑖))是使用参数 𝑤,𝑏 对示例 𝑖 的预测
  • (𝑓𝑤,𝑏(𝑥(𝑖))−𝑦(𝑖))2是目标值和预测值之间的平方差
  • 这些差异被加总,然后除以 2m 来产生成本 𝐽(𝑤,𝑏)

注意,求和范围通常是从1到m,而代码将从0到m-1

下面的代码通过遍历每个示例来计算成本。在每个循环中: f w b f_wb fwb,一个预测被计算

目标值和预测值之间的差异被计算并平方,这被加到总成本中

python 复制代码
def compute_cost(x, y, w, b): 
    """
    计算线性回归的代价函数。
    
    参数:
      x (ndarray (m,)): 数据,m个示例
      y (ndarray (m,)): 目标值
      w,b (标量)    : 模型参数
    
    返回:
        total_cost (float): 使用w,b作为线性回归参数来拟合x和y中的数据点的成本
               to fit the data points in x and y
    """
    # 训练示例的数量
    m = x.shape[0] 
    
    cost_sum = 0 
    for i in range(m): 
        f_wb = w * x[i] + b   
        cost = (f_wb - y[i]) ** 2  
        cost_sum = cost_sum + cost  
    total_cost = (1 / (2 * m)) * cost_sum  
    return total_cost

2.4 代价函数直观

目标是找到一个模型 𝑓𝑤,𝑏(𝑥)=𝑤𝑥+𝑏,其中参数 𝑤,𝑏 可以准确预测房屋的价值。代价是衡量模型在训练数据上的准确性的度量。

上述的成本方程显示,如果 𝑤 和 𝑏 可以选择,使得预测 𝑓𝑤,𝑏(𝑥)与目标数据 y y y 匹配,那么 ( f w , b ( x ( i ) ) − y ( i ) ) 2 (f_{w,b}(x^{(i)}) - y^{(i)})^2 (fw,b(x(i))−y(i))2 项将变为零,成本最小化

在之前的实验室中,你确定 b = 100 b = 100 b=100 提供了最优解,所以让我们将 b b b 设置为 100,并专注于 w w w

下面,使用滑块控制来选择最小化成本的 $ w $ 值。更新图形可能需要几秒钟,如下图所示:

python 复制代码
plt_intuition(x_train, y_train)

该图包含几个值得注意的点

  • 成本在 $ w = 200 $ 时最小化,这与之前的结果相匹配
  • 由于成本方程中目标值和预测值之间的差异被平方,当 $ w $ 太大或太小时,成本会迅速增加
  • 使用通过最小化成本选择的 $ w $ 和 $ b $ 值,可以得到一条完美符合数据的直线

2.5 代价函数可视化 - 3D

可以通过在 3D 中绘制或在使用等高线图来查看成本如何随着 w w w 和 b b b 的变化而变化

2.6 更大的数据集

查看包含更多数据点的场景是有益的。这个数据集包括不在同一直线上的数据点。这对成本方程意味着什么?我们能找到 $ w $ 和 $ b $,使成本为 0?

python 复制代码
x_train = np.array([1.0, 1.7, 2.0, 2.5, 3.0, 3.2])
y_train = np.array([250, 300, 480,  430,   630, 730,])

在等高线图中,点击一个点来选择 w w w 和 b b b 以达到最低成本。使用等高线来指导你的选择。注意,更新图形可能需要几秒钟。

python 复制代码
plt.close('all') 
fig, ax, dyn_items = plt_stationary(x_train, y_train)
updater = plt_update_onclick(fig, ax, x_train, y_train, dyn_items)

在上方,请注意左侧图中的虚线。这些代表了训练集中每个示例对成本的贡献。在这种情况下,大约 w = 209 w = 209 w=209 和 b = 2.4 b = 2.4 b=2.4 提供低成本。请注意,由于我们的训练示例不在同一直线上,最低成本不为零

2.7 凸成本表面

成本函数将损失平方的事实确保了"误差表面"像汤碗一样是凸的。它总是通过在所有维度上跟随梯度来达到最小值。在之前的图中,由于 $ w $ 和 $ b $ 的维度不同,这不容易识别。在展示的下一个图中, w w w 和 b b b 是对称的:

python 复制代码
soup_bowl()

2.8 总结

  • 成本方程提供了衡量你的预测与训练数据匹配程度的度量
  • 最小化成本可以提供 w w w 和 b b b 的最优值

三、遇到的问题

3.1 没有ipympl第三方库

3.1.1 问题

报错:

ModuleNotFoundError: No module named 'ipympl'

3.1.2 解决方法

添加一个单元格,安装对应算法包,因为我是conda启动,所以用conda的安装命令,安装完即可

3.2 运行matplotlib代码没有显示图片

3.2.1 问题

报错:

[Open Browser Console for more detailed log - Double click to close this message]

Failed to load model class 'MPLCanvasModel' from module 'jupyter-matplotlib'

Error: Script error for "jupyter-matplotlib"

http://requirejs.org/docs/errors.html#scripterror

at makeError (http://localhost:8888/static/components/requirejs/require.js?v=d37b48bb2137faa0ab98157e240c084dd5b1b5e74911723aa1d1f04c928c2a03dedf922d049e4815f7e5a369faa2e6b6a1000aae958b7953b5cc60411154f593:168:17)

at HTMLScriptElement.onScriptError (http://localhost:8888/static/components/requirejs/require.js?v=d37b48bb2137faa0ab98157e240c084dd5b1b5e74911723aa1d1f04c928c2a03dedf922d049e4815f7e5a369faa2e6b6a1000aae958b7953b5cc60411154f593:1735:36)

3.2.2 解决方法

清空浏览器缓存,关闭Jupyter Notebook,并重新打开即可

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