1.不同路径
代码：
cpp
class Solution {
public:
int uniquePaths(int m, int n) {
vector<vector<int>> dp(m,vector<int>(n,0));
for(int i = 0; i < m; i++){
dp[i][0] = 1;
}
for(int j = 0; j < n; j++){
dp[0][j] = 1;
}
for(int i = 1; i < m; i++){
for(int j = 1; j < n; j++){
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
}
}
return dp[m - 1][n - 1];
}
};note：涉及到方法数，一般就是用加法。这里说只能往右或者往下走，因此就将左方和上方的方法数加起来就是所求。
dp数组的含义：到达（i，j）下标的方法数为dp[i][j]
递推公式：dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]
dp数组的初始化：因为需要上方和左方的元素来推导，所以我们要初始化第一行和第一列。由于dp数组的含义是方法数，那么这些初始化的值就都是1，因为只有一种方法------沿直线走。
遍历顺序：由于需要从挨着第一行第一列的元素开始推导，且一个元素的值依赖于它正下方的值和左方的值，因此要用正序遍历
2.不同路径2
代码：
cpp
class Solution {
public:
int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) {
int m = obstacleGrid.size();
int n = obstacleGrid[0].size();
if(obstacleGrid[0][0] == 1 || obstacleGrid[m - 1][n - 1] == 1){
return 0;
}
vector<vector<int>> dp(m,vector<int>(n,0));
for(int i = 0; i < m && obstacleGrid[i][0] == 0; i++){
dp[i][0] = 1;
}
for(int j = 0; j < n && obstacleGrid[0][j] == 0; j++){
dp[0][j] = 1;
}
for(int i = 1; i < m; i++){
for(int j = 1; j < n; j++){
if(obstacleGrid[i][j] == 1) continue;
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
}
}
return dp[m - 1][n - 1];
}
};note：这题要注意初始化的时候，如果有障碍，即使跳出循环，障碍以及其以后的元素的方法数都为0，以及在进行递推的时候，当出现障碍的时候，进行continue，跳过本次推导。
3.整数拆分
代码：
cpp
class Solution {
public:
int integerBreak(int n) {
vector<int> dp(n + 1);
dp[0] = 0;
dp[1] = 0;
dp[2] = 1;
for(int i = 3; i <= n; i++){
for(int j = 1; j <= i / 2; j++){
dp[i] = max(dp[i],max(j * dp[i - j],j * (i - j)));
}
}
return dp[n];
}
};note：这里的核心思想是尽量把n拆成几个近似相等的数相乘。
dp数组的含义：和为i的几个元素的最大乘积为dp[i]
递推公式：i可以拆成两个数或者三个以及三个以上的数------dp[i] = max(dp[i],max(j * (i - j), j * dp( i - j))) 其中的dp[i]也参与了求最大值的过程中，是因为我们要把循环里的历史数也要加入其中找出最大值。
dp数组的初始化：dp[0] = 0 dp[1] = 0，是因为这两个本来就没法拆。没什么意义，为了不影响最大值的求得，直接初始化为0. dp[2] = 1，这个是按照定义来的。
遍历顺序：后面的元素依赖于前面元素的值------从左往右遍历
4.不同的二叉搜索树
代码：
cpp
class Solution {
public:
int numTrees(int n) {
vector<int> dp(n + 1,0);
dp[0] = 1;
for(int i = 1; i <= n; i++){
for(int j = 1; j <= i; j++){
dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
}
}
return dp[n];
}
};note：
dp数组的含义：有i个节点构成的二叉搜索树有dp[i]种
递推公式：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j] 其实就是左右子树的种类乘积的累加。注意左右子树结点数之和为i -1 因为要留一个结点作为根结点。
dp数组的初始化：由于题上说节点数大于等于1，所以初始化dp[0]即可 dp[0] = 1，空结点也算一种，而且不会影响后面的推导
遍历顺序：后面的元素依赖于前面元素的值------从左往右遍历