文章目录
- 基变换与坐标变换
-
- 基础
- 基变换与坐标变换定义
- 基变换和坐标变换的区别与联系
- 求解基变换和坐标变换的公式
- 基变换在解决线性方程组、矩阵对角化、特征值问题中扮演着重要的角色
-
- [1. 解决线性方程组](#1. 解决线性方程组)
- [2. 矩阵对角化](#2. 矩阵对角化)
- [3. 特征值问题](#3. 特征值问题)
- 4。基变换在解决线性方程组的应用
- 5.基变换在矩阵对角化的应用
- 6.基变换在特征值问题的应用
- 参考文献
基变换与坐标变换
基础
- 在 V n 在V^n 在Vn中，任意n个线性无关的向量都可取作它的基或坐标系，但对不同基或坐标系，同一个向量的坐标一般是不同的。
- 设 x 1 , x 2 , . . . , x n 是 v n 的旧基， y 1 , y 2 , . . . , y n 是其新基，则由基的定义可得。 设x_1,x_2,...,x_n是v^n的旧基，y_1,y_2,...,y_n是其新基，则由基的定义可得 。 设x1,x2,...,xn是vn的旧基，y1,y2,...,yn是其新基，则由基的定义可得。
{ y 1 = c 11 x 1 + c 21 x 2 + . . . + c n 1 x n y 2 = c 22 x 1 + c 22 x 2 + . . . + c n 2 x n . . . y n = c n 1 x 1 + c n 2 x 2 + . . . + c n n x n 或 ( y 1 , y 2 , . . . , y n ) = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) C ，此式称为基变换公式 其中矩阵 C = [ c 11 c 12 . . . c n 1 c 21 c 22 . . . c n 2 . . . c n 1 c n 2 . . . c n n ] 称为旧基到新基的过渡矩阵， 过渡矩阵是非奇异矩阵。 \begin{cases} y_1=c_{11}x_1+c_{21}x_2+...+c_{n1}x_n \\ y_2=c_{22}x_1+c_{22}x_2+...+c_{n2}x_n \\ ...\\ y_n=c_{n1}x_1+c_{n2}x_2+...+c_{nn}x_n \end{cases} \\或(y_1,y_2,...,y_n)=(x_1,x_2,...,x_n)C，此式称为基变换公式 \\其中矩阵 \\C= \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & ... & c_{n1} \\ c_{21 }& c_{22} & ... & c_{n2}\\ ...\\ c_{n1 }& c_{n2} & ... & c_{nn}\\ \end{bmatrix}称为旧基到新基的过渡矩阵， \\过渡矩阵是非奇异矩阵。 ⎩ ⎨ ⎧y1=c11x1+c21x2+...+cn1xny2=c22x1+c22x2+...+cn2xn...yn=cn1x1+cn2x2+...+cnnxn或(y1,y2,...,yn)=(x1,x2,...,xn)C，此式称为基变换公式其中矩阵C= c11c21...cn1c12c22cn2.........cn1cn2cnn 称为旧基到新基的过渡矩阵，过渡矩阵是非奇异矩阵。 - 设 x ∈ V n 在上面所述旧新两基上的坐标依次是 ( ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ n ) T 与 ( η 1 , η 2 , . . . , η n ) T ，即有： 设x \in V^n 在上面所述旧新两基上的坐标依次是(\xi_1,\xi_2,...,\xi_n)^T与(\eta_1,\eta_2,...,\eta_n)^T，即有： 设x∈Vn在上面所述旧新两基上的坐标依次是(ξ1,ξ2,...,ξn)T与(η1,η2,...,ηn)T，即有：
x = ξ 1 x 1 + ξ 2 x 2 + . . . + ξ n x n = η 1 y 1 + η 2 y 2 + . . . + η n y n = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) [ ξ 1 ξ 2 . . . ξ n ] = ( y 1 , y 2 , . . . , y n ) [ η 1 η 2 . . . η n ] = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) C [ η 1 η 2 . . . η n ] ( y 1 , y 2 , . . . , y n ) [ η 1 η 2 . . . η n ] = [ ξ 1 ξ 2 . . . ξ n ] = C [ η 1 η 2 . . . η n ] [ η 1 η 2 . . . η n ] = C − 1 [ ξ 1 ξ 2 . . . ξ n ] x=\xi_1x_1+\xi_2x_2+...+\xi_nx_n=\eta_1y_1+\eta_2y_2+...+\eta_ny_n \\=(x_1,x_2,...,x_n)\begin{bmatrix} \xi_1 \\ \xi_2 \\ ...\\ \xi_n \end{bmatrix} \\=(y_1,y_2,...,y_n)\begin{bmatrix} \eta_1 \\ \eta_2 \\ ...\\ \eta_n \end{bmatrix} \\=(x_1,x_2,...,x_n)C\begin{bmatrix} \eta_1 \\ \eta_2 \\ ...\\ \eta_n \end{bmatrix} \\(y_1,y_2,...,y_n)\begin{bmatrix} \eta_1 \\ \eta_2 \\ ...\\ \eta_n \end{bmatrix}= \\\begin{bmatrix} \xi_1 \\ \xi_2 \\ ...\\ \xi_n \end{bmatrix}=C\begin{bmatrix} \eta_1 \\ \eta_2 \\ ...\\ \eta_n \end{bmatrix} \\\begin{bmatrix} \eta_1 \\ \eta_2 \\ ...\\ \eta_n \end{bmatrix}=C^{-1}\begin{bmatrix} \xi_1 \\ \xi_2 \\ ...\\ \xi_n \end{bmatrix} x=ξ1x1+ξ2x2+...+ξnxn=η1y1+η2y2+...+ηnyn=(x1,x2,...,xn) ξ1ξ2...ξn =(y1,y2,...,yn) η1η2...ηn =(x1,x2,...,xn)C η1η2...ηn (y1,y2,...,yn) η1η2...ηn = ξ1ξ2...ξn =C η1η2...ηn η1η2...ηn =C−1 ξ1ξ2...ξn
基变换与坐标变换定义
是线性代数中的两个重要概念，它们在多个领域都有广泛的应用，如数学、物理、工程等。以下是对这两个概念的详细解释：
一、基变换
定义：基变换是指在同一个向量空间内，由一组基向量变换为另一组基向量的过程。这里的"基"是指能够张成（或生成）该向量空间的一组线性无关的向量。
性质：
- 可逆性：由于基变换是在同一个向量空间内进行的，因此变换是可逆的。即，如果有一组基向量M可以变换为另一组基向量N，那么N也可以变换回M。
- 过渡矩阵：基变换通常通过过渡矩阵来实现。设M和N是同一向量空间V的两组基，那么存在一个唯一的矩阵P（过渡矩阵），使得M乘以P等于N。即，M×P=N。
- 原点不变：在基变换过程中，原点（或称为零向量）的位置是不变的。这是因为基变换只是改变了向量空间中的坐标表示方式，而没有改变向量空间本身。
应用：基变换在解决线性方程组、矩阵对角化、特征值问题等方面都有重要应用。
二、坐标变换
定义：坐标变换是指空间中的一个点在不同坐标系（或基）下的坐标值之间的变换关系。
性质：
- 相对性：同一个点在不同坐标系下的坐标值一般是不同的。这是因为不同的坐标系（或基）对空间的划分方式不同。
- 过渡矩阵的逆 ：在坐标变换中，通常需要使用过渡矩阵的逆来求解新坐标系下的坐标值。设点p在坐标系α下的坐标为x，在坐标系β下的坐标为y，且从α到β的过渡矩阵为A，则有 y = A − 1 × x y=A^{-1}×x y=A−1×x。
- 坐标原点不变：与基变换类似，坐标变换过程中坐标原点（或称为零点）的位置也是不变的。
应用：坐标变换在地图制作、地理信息系统、计算机图形学、机器人学等领域都有广泛应用。例如，在地图制作中，经常需要将地图从一种投影方式转换为另一种投影方式；在计算机图形学中，经常需要将图形从一个坐标系变换到另一个坐标系以实现图形的旋转、缩放等操作。
总结
基变换与坐标变换是线性代数中的两个重要概念，它们之间有着密切的联系。基变换是改变向量空间的坐标表示方式，而坐标变换则是描述同一个点在不同坐标系下的坐标值之间的变换关系。在实际应用中，这两个概念经常一起使用来解决各种问题。
基变换和坐标变换的区别与联系
是线性代数中的两个重要概念，它们之间既有联系又有区别。以下是对这两个概念之间区别的详细解释：
定义与性质
基变换：
定义 ：在同一个向量空间内，由一组基向量变换为另一组基向量的过程。这里的"基"是指能够张成（或生成）该向量空间的一组线性无关的向量。 +
性质：基变换是可逆的，即变换后的基向量组可以变换回原基向量组。基变换通常通过过渡矩阵来实现，该矩阵描述了两组基向量之间的线性关系。
坐标变换：
- 定义 ：空间中的一个点在不同坐标系（或基）下的坐标值之间的变换关系。 +
性质：坐标变换依赖于坐标系的选择，同一个点在不同坐标系下的坐标值一般是不同的。坐标变换通常需要使用过渡矩阵的逆来求解新坐标系下的坐标值。关键点对比
- 操作对象：
- 基变换 ：操作的对象是向量空间中的基向量组，即改变空间的坐标表示框架。 *
坐标变换：操作的对象是空间中的点或向量，即计算这些点在不同坐标系下的坐标值。
- 结果影响：
- 基变换 ：改变的是向量空间的坐标表示方式，不改变空间中点的实际位置或向量的实际方向和大小。 *
坐标变换：直接给出空间中的点或向量在不同坐标系下的坐标值，反映了点的位置或向量的方向和大小在不同坐标系下的表示方式。
- 过渡矩阵的作用：
- 基变换 ：过渡矩阵描述了两组基向量之间的线性关系，用于实现基向量组之间的变换。 *
坐标变换：过渡矩阵的逆用于计算点或向量在新坐标系下的坐标值，反映了坐标系之间的变换关系。应用场景
- 基变换：在解决线性方程组、矩阵对角化、特征值问题等方面有重要应用。通过基变换，可以将复杂的线性问题转化为更简单的形式来求解。
- 坐标变换：在地图制作、地理信息系统、计算机图形学、机器人学等领域有广泛应用。通过坐标变换，可以实现图形的旋转、缩放、平移等操作，或者将地图从一种投影方式转换为另一种投影方式。
综上所述，基变换和坐标变换在定义、性质、操作对象、结果影响和应用场景等方面都存在明显的区别。基变换关注于向量空间的坐标表示方式的改变，而坐标变换则关注于空间中点或向量在不同坐标系下的坐标值之间的变换关系。
求解基变换和坐标变换的公式
通常涉及到线性代数中的矩阵运算。以下是详细的步骤和解释：
基变换
基变换是指在一个向量空间中，由一组基向量变换到另一组基向量的过程。假设有两个基向量组 B = { b 1 , b 2 , ... , b n } B = \{\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \ldots, \mathbf{b}_n\} B={b1,b2,...,bn} 和 C = { c 1 , c 2 , ... , c n } C = \{\mathbf{c}_1, \mathbf{c}_2, \ldots, \mathbf{c}_n\} C={c1,c2,...,cn}，它们都是同一个 n n n-维向量空间的基。
求解基变换的公式：
找出过渡矩阵 ：设过渡矩阵为 P P P，使得 C = B P C = BP C=BP。即， C C C 中的每个基向量都是 B B B 中基向量的线性组合，这些线性组合的系数构成了矩阵 P P P 的列。
具体地，如果 c j = p 1 j b 1 + p 2 j b 2 + ⋯ + p n j b n ( j = 1 , 2 , ... , n ) \mathbf{c}j = p{1j}\mathbf{b}1 + p{2j}\mathbf{b}2 + \cdots + p{nj}\mathbf{b}n \quad (j = 1, 2, \ldots, n) cj=p1jb1+p2jb2+⋯+pnjbn(j=1,2,...,n) 则 P = ( p 11 p 12 ⋯ p 1 n p 21 p 22 ⋯ p 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ p n 1 p n 2 ⋯ p n n ) P = \begin{pmatrix} p{11} & p_{12} & \cdots & p_{1n} \\ p_{21} & p_{22} & \cdots & p_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ p_{n1} & p_{n2} & \cdots & p_{nn} \end{pmatrix} P= p11p21⋮pn1p12p22⋮pn2⋯⋯⋱⋯p1np2n⋮pnn
应用过渡矩阵 ：一旦得到了过渡矩阵 P P P，就可以用它来进行基变换。如果有一个向量 v \mathbf{v} v 在基 B B B 下的坐标为 x \mathbf{x} x（即 v = x 1 b 1 + x 2 b 2 + ⋯ + x n b n \mathbf{v} = x_1\mathbf{b}_1 + x_2\mathbf{b}_2 + \cdots + x_n\mathbf{b}_n v=x1b1+x2b2+⋯+xnbn），则 v \mathbf{v} v 在基 C C C 下的坐标 y \mathbf{y} y
可以通过 y = P − 1 x \mathbf{y} = P^{-1}\mathbf{x} y=P−1x 来计算（假设 P P P 是可逆的）。
坐标变换
坐标变换是指同一个点或向量在不同坐标系下的坐标值之间的变换。这通常是通过过渡矩阵的逆来实现的。
求解坐标变换的公式：
已知条件 ：假设有两个坐标系 α \alpha α 和 β \beta β，它们有相同的原点但坐标轴方向不同。设从坐标系 α \alpha α 到坐标系 β \beta β 的过渡矩阵为 A A A（注意这里的 A A A
实际上是基变换中过渡矩阵的逆，因为坐标变换通常是从"旧"坐标系变换到"新"坐标系，而基变换的过渡矩阵是从"新"基变换到"旧"基）。
应用过渡矩阵的逆 ：如果点 P P P 在坐标系 α \alpha α 下的坐标为 x \mathbf{x} x，则 P P P 在坐标系 β \beta β 下的坐标 y \mathbf{y} y 可以通过 y = A − 1 x \mathbf{y} = A^{-1}\mathbf{x} y=A−1x 来计算。
注意
- 在实际应用中，过渡矩阵 A A A（或 P P P）可能是直接给出的，也可能是通过其他方式（如解线性方程组）求得的。
- 如果过渡矩阵不是方阵或不可逆，则可能需要进行额外的处理或考虑其他方法。
- 在计算机图形学和机器人学等领域中，坐标变换通常涉及到平移、旋转和缩放等多种变换的复合，这些变换可以通过矩阵乘法来实现。
基变换在解决线性方程组、矩阵对角化、特征值问题中扮演着重要的角色
以下是这些应用的具体解释：
1. 解决线性方程组
在解决线性方程组时，基变换可以用于简化方程组的系数矩阵，使其更容易求解。具体来说，如果线性方程组的系数矩阵 A A A
可以通过基变换转化为一个更简单的形式（如行阶梯形矩阵或单位矩阵），那么求解过程将大大简化。
然而，更常见的是，在求解过程中，我们可能会使用基变换来找到方程组的解空间的一个更好的表示。例如，通过找到方程组解空间的一组基（即基础解系），我们可以将任意解表示为这些基的线性组合。这实际上是通过基变换将解空间从原始坐标系变换到了一个由基础解系张成的新坐标系。
2. 矩阵对角化
矩阵对角化是线性代数中的一个重要概念，它允许我们将一个矩阵表示为对角矩阵的形式，这通常可以简化矩阵的运算和性质分析。在矩阵对角化的过程中，基变换起着关键作用。
具体来说，如果矩阵 A A A 可以对角化，那么存在一个可逆矩阵 P P P（由 A A A 的特征向量构成）和一个对角矩阵 D D D，使得 A = P D P − 1 A = PDP^{-1} A=PDP−1。这里的 P P P 实际上是一个过渡矩阵，它实现了从原始基（即标准坐标系的基向量）到由 A A A
的特征向量构成的新基的变换。通过这个基变换，我们可以将 A A A 变换为一个对角矩阵 D D D，其对角线上的元素是 A A A 的特征值。
3. 特征值问题
特征值问题是线性代数中的一个核心问题，它涉及到求解矩阵的特征值和特征向量。在解决特征值问题时，基变换同样发挥着重要作用。
首先，求解特征值问题通常涉及到求解特征多项式 det ( A − λ I ) = 0 \det(A - \lambda I) = 0 det(A−λI)=0，其中 A A A
是给定的矩阵， λ \lambda λ 是特征值， I I I
是单位矩阵。然而，在某些情况下，直接求解这个多项式可能很困难。此时，我们可以通过基变换（如相似变换）将 A A A
变换为一个更易于处理的形式，从而简化求解过程。
其次，一旦我们找到了矩阵 A A A 的特征值，我们就需要找到对应的特征向量。这通常涉及到解线性方程组 ( A − λ I ) x = 0 (A - \lambda I)\mathbf{x} = \mathbf{0} (A−λI)x=0。在这个过程中，基变换同样可以帮助我们找到更简洁、更直观的解。具体来说，如果我们已经通过基变换将 A A A
变换为了一个对角矩阵或接近对角矩阵的形式，那么求解特征向量将变得非常简单。
综上所述，基变换在解决线性方程组、矩阵对角化、特征值问题中都具有重要的应用价值。通过基变换，我们可以将复杂的问题转化为更简单、更直观的形式，从而更容易地找到解决方案。
4。基变换在解决线性方程组的应用
例子 ： 考虑线性方程组 { 2 x + y − z = 8 − 3 x − y + 2 z = − 11 − 2 x + y + 2 z = − 3 \begin{cases} 2x + y - z = 8 \\ -3x - y + 2z = -11 \\ -2x + y + 2z = -3 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧2x+y−z=8−3x−y+2z=−11−2x+y+2z=−3
首先，我们可以将方程组的系数矩阵 A A A 写出： A = ( 2 1 − 1 − 3 − 1 2 − 2 1 2 ) A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ -3 & -1 & 2 \\ -2 & 1 & 2 \end{pmatrix} A= 2−3−21−11−122
虽然在这个例子中我们不会直接进行基变换来简化矩阵（因为通常我们会使用行变换如高斯消元法），但我们可以想象如果系数矩阵在某些基下变得更容易处理，那么求解过程将会简化。不过，更常见的是，在找到方程组的解空间后，我们可能会通过基变换来找到解的一个更直观的表示。
然而，为了说明基变换的思想，我们可以考虑将解向量从标准基（即坐标系的自然基）变换到由方程组的特解和通解构成的基。这通常是在解出特解和通解之后进行的，而不是在求解过程中直接进行基变换。
5.基变换在矩阵对角化的应用
例题 ： 给定矩阵 A = ( 2 1 1 2 ) A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} A=(2112) 求一个可逆矩阵 P P P 和一个对角矩阵 D D D，使得 A = P D P − 1 A = PDP^{-1} A=PDP−1。
解 ： 首先，我们需要找到矩阵 A A A 的特征值和对应的特征向量。
特征多项式 f ( λ ) = det ( A − λ I ) = ( 2 − λ ) ( 2 − λ ) − 1 = λ 2 − 4 λ + 3 f(\lambda) = \det(A - \lambda I) = (2-\lambda)(2-\lambda) - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3 f(λ)=det(A−λI)=(2−λ)(2−λ)−1=λ2−4λ+3。
解得特征值 λ 1 = 1 , λ 2 = 3 \lambda_1 = 1, \lambda_2 = 3 λ1=1,λ2=3。
对于 λ 1 = 1 \lambda_1 = 1 λ1=1，解方程组 ( A − I ) x = 0 (A - I)\mathbf{x} = \mathbf{0} (A−I)x=0，得到特征向量
v 1 = ( 1 1 ) \mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} v1=(11)。对于 λ 2 = 3 \lambda_2 = 3 λ2=3，解方程组 ( A − 3 I ) x = 0 (A - 3I)\mathbf{x} = \mathbf{0} (A−3I)x=0，得到特征向量
v 2 = ( 1 − 1 ) \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} v2=(1−1)。令 P = ( 1 1 1 − 1 ) P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} P=(111−1)，则 P P P 是可逆的，且 D = P − 1 A P = ( 1 2 1 2 1 2 − 1 2 ) ( 2 1 1 2 ) ( 1 1 1 − 1 ) = ( 1 0 0 3 ) D = P^{-1}AP = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} D=P−1AP=(212121−21)(2112)(111−1)=(1003)
这里，基变换是通过将原始坐标系（由标准基向量构成）变换为由 A A A 的特征向量构成的新坐标系来实现的。
6.基变换在特征值问题的应用
实际上，在解决特征值问题时，我们已经在隐式地使用了基变换。当我们找到矩阵 A A A
的特征值和特征向量时，我们实际上是在寻找一个基（由特征向量构成），使得在这个新基下，矩阵 A A A
的表示变得非常简单（即对角矩阵）。这个过程本身就是一种基变换。
因此，在上面的矩阵对角化例题中，我们已经展示了基变换在特征值问题中的应用。通过找到矩阵的特征向量，并将它们作为新坐标系的基，我们可以将矩阵变换为一个对角矩阵，从而更容易地分析矩阵的性质。
参考文献
1.文心一言
2.《矩阵论》
3.ChatGPT