分治算法的介绍与原理解析

文章目录

1.分治算法
- [1.1 如何判断分治问题](#1.1 如何判断分治问题)
- [1.2 为什么通过分治可以提升效率](#1.2 为什么通过分治可以提升效率)
- - [1.2.1 操作数量的优化](#1.2.1 操作数量的优化)
  - [1.2.2 并行计算优化](#1.2.2 并行计算优化)
- [1.3 分治常见应用](#1.3 分治常见应用)

1.分治算法

分治（divide and conquer），全称是分而治之，是一种非常重要且非常常见的算法。分治通常基于递归实现，主要包括"分"和"治"两个阶段。

分（划分阶段）：递归地将原问题分解为两个或多个子问题，直到到达最小子问题时结束。
治（合并阶段）：从已知解地最小子问题开始，从底到顶地将问题地解进行合并，从而构建出原问题地解。
其实在排序阶段我们就已经使用过分治算法了，当我们在处理归并排序时，就用到了归并排序。
同样也是分成了"分"和"治"：
分：递归地将原数组划分为两个子数组（子问题），直到子数组只剩一个元素（最小子问题）
治：从底到顶地将有序子数组进行合并，从而得到有序地原数组

1.1 如何判断分治问题

一个问题是否合适使用分治解决，可以参考以下几点：

问题可以分解：原问题可以分解为规模更小、类似地子问题，以及能够以相同方式递归地进行划分。
子问题是相互独立的：子问题间没有重叠，互相没有关联，独立存在。
子问题的解可以合并：原问题的解通过合并子问题的解得到。
如此一来，归并排序显然是满足上面的3个条件的。
问题可以分解：递归地将数组（原问题）划分为两个子数组（子问题）。
子问题相互独立：每个子数组都是可以独立地进行排序
子问题地解可以合并：两个有序子树可以合并为一个有序数组。

c 复制代码

void _MergeSort(int* a, int* tmp, int begin, int end)
{
	//确定递归出口
	if (begin >= end)
		return;
	int mid = (begin + end) / 2;//划分数组，将数组一分为二
	//以下为分解逻辑
	_MergeSort(a, tmp, begin, mid);
	_MergeSort(a, tmp, mid + 1, end);
	//以下为合并逻辑
	int begin1 = begin,end1 = mid;
	int begin2 = mid + 1, end2 = end;
	int index = begin;
	while (begin1 <= end1 && begin2 <= end2)
	{
		if (a[begin1] < a[begin2])
			tmp[index++] = a[begin1++];
		else
			tmp[index++] = a[begin2++];
	}
	//处理剩余元素
	while (begin1 <= end1)
		tmp[index++] = a[begin1++];
	while (begin2 <= end2)
		tmp[index++] = a[begin2++];
	//将临时数组存放的数据重新复制到原数组
	memcpy(a + begin, tmp + begin, sizeof(int) * (end - begin + 1));

}

void MergeSort(int* a, int n)
{
	int* tmp = (int*)malloc(sizeof(int) * n);//临时数组，存放合并时的数据
	if (tmp == NULL)
	{
		perror("malloc");
		exit(-1);
	}
	//归并排序的核心逻辑，再封装一个函数来实现
	_MergeSort(a, tmp, 0, n - 1);
}

1.2 为什么通过分治可以提升效率

分治不仅可以有效地解决，算法问题，往往还可以提升算法效率。在排序算法中，快速排序、归并排序、堆排序相比较于选择排序、冒泡排序、插入排序更快，就是因为它们应用了分治的策略。
提问：为什么分治可以提升算法效率，它的底层逻辑是什么？为什么将大问题分解为多个子问题、解决子问题、将子问题的解合并为原问题的解、这几步的效率为什么就比直接解决原问题的效率更高？
回答：

1.2.1 操作数量的优化

以"冒泡排序"为例，其处理一个长度为n的数组需要O(N^2)的时间。假设我们按照下图来操作，将数组从中点分为两个子数组，则划分需要O(N)时间，排序每个子数组需要O((N/2)^2)时间，合并两个子数组需要O(N)的时间，总体时间复杂度为：

O(n+(n/2)^2+n) = O((n^2)/2+2*n)

接下来，我们计算以下不等式，其左边和右边分别为划分前和划分后的操作总数：

N^2 > (N^2)/2+2N
N^2-(N^2)/2-2N > 0
N(N-4) > 0

这意味着当N>4时，划分后的操作数量更少，排序效率应该更高 ，不过要注意的是这里划分后的时间复杂度仍然平阶O(N^2)，只是复杂度中的常数项变小了。

进一步想，如果我们把子数组不断地再从中间划分为两个子数组 ，直到子数组只剩下一个元素时停下划分呢？这种思想就是"归并排序",时间复杂度为O(NlogN).

再去思考，如果我们再多设置几个划分点 ，将原数组平均划分为k个子数组呢？这种情况与"桶排序"非常类似非常适合排序海量数据，理论时间复杂度为O(N+K)

1.2.2 并行计算优化

我们知道，分治生成地子问题相互独立地，因此通常可以并向解决。也就是说，分治不仅可以降低算法时间复杂度，还有利于操作系统地并行优化。

并行优化再多核或多处理器的环境中尤其有效，因为系统可以同时处理多个子问题，更加充分利用计算机资源，从而显著减少总体的运行时间。

1.3 分治常见应用

寻找最近点对：该算法首先将点集分成两部分，然后分别找出两部分中最近的点对，最后找出跨越两部分的最近点对。
大整数乘法：例如Karastsuba算法，它将大整数乘法分解为几个较小的整数的乘法和加法。
矩阵乘法：例如Strassen算法，它将大矩阵分解为多个小矩阵的乘法和加法。
汉诺塔问题：汉诺塔问题可以通过递归解决，这是典型的分治策略应用。
求解逆序对 ：再一个序列中，如果前面的数字大于后面的数字，那么这连个数字构成一个逆序对。求解逆序对问题可以利用分治的思想，借助归并排序求解。
在另一方面，分治在算法和数据结构的设计中应用非常广泛。
二分查找：二分查找是将有序实在从中点索引处分为两部分，然后根据目标值与中间元素比较结果，决定排除哪一半的区间，并在剩余区间执行相同的二分操作。
归并排序：递归地将原数组划分为两个子数组，直到子数组只剩一个元素，从底到顶地将有序子数组进行合并，从而得到有序地原数组
快速排序：快速排序是选取一个基准值，然后把数字分为两个子数组，一个数组的元素比基准值小，另一个子数组比基准值大，再对这两部分较小相同的划分操作，直到子数组只剩下一个元素。
桶排序：推排序的基本思想是将数据分散到多个桶，然后最每个桶内的元素进行排序，最后将各个桶的元素以此取出，从而得到一个有序数组。
树：例如二叉搜索树，AVL树，红黑树，B树，B+树等，它们的查找、插入、删除等操作都可以视为分治策略的应用
堆：堆是一种特殊的完全二叉树，其各种操作，如插入、删除和堆化，实际上都隐含了分治的思想。
哈希表：虽然哈希表并不直接应用到分治，但某些哈希冲突解决方案间接地使用了分治策略，例如，链式地址中地长链表会被转化为红黑树，以提高查询效率。