🍨🍨🍨这一章，我们来重点看一些常见的图论题型，包括图的理论基础、图的存储、并查集、最小生成树问题、最短路径问题、拓扑排序等内容。希望能帮助大家更好地掌握计算机考研机试中所涉及到的图论问题。fighting！( •̀ ω •́ )✧
目录
[🧊🧊🧊7.1 理论基础](#🧊🧊🧊7.1 理论基础)
[三、同构（Isomorphism ）](#三、同构（Isomorphism ）)
[四、有向/无向图（Directed Graph/ Undirected Graph）](#四、有向/无向图（Directed Graph/ Undirected Graph）)
[六、路径/最短路径（path/shortest path）](#六、路径/最短路径（path/shortest path）)
[八、连通图/连通分量（connected graph/connected component）](#八、连通图/连通分量（connected graph/connected component）)
[🧊🧊🧊7.2 图的存储](#🧊🧊🧊7.2 图的存储)
[🧊🧊🧊6.3 并查集](#🧊🧊🧊6.3 并查集)
[🥥例题：DreamJudge 1319](#🥥例题：DreamJudge 1319)
🧊🧊🧊7.1 理论基础
对于大部分图论问题，直接套算法模板即可。
一、顶点（vertex）
上图中黑色的带数字的点就是顶点，表示某个事物或对象。由于图的术语没有标准化，因此，称顶点为点、节点、结点、端点等都是可以的。叫什么无所谓，理解是什么才是关键。
二、边（edge）
上图中顶点之间蓝色的线条就是边，表示事物与事物之间的关系。需要注意的是边表示的是顶点之间的逻辑关系，粗细长短都无所谓的。包括上面的顶点也一样，表示逻辑事物或对象，画的时候大小形状都无所谓。
三、同构（Isomorphism ）
先看看下面 2 张图：
这两个图直观看起来好像不太一样，但从图的角度出发，这 2 个图是一样的，即它们是同构的。前面提到顶点和边指的是事物和事物的逻辑关系，不管顶点的位置在哪，边的粗细长短如何，只要不改变顶点代表的事物本身，不改变顶点之间的逻辑关系，那么就代表这些图拥有相同的信息，是同一个图。同构的图区别仅在于画法不同。
四、有向/无向图（Directed Graph/ Undirected Graph）
最基本的图通常被定义为"无向图"，与之对应的则被称为"有向图"。两者唯一的区别在于，有向图中的边是有方向性的。下图即是一个有向图，边的方向分别是：(1->2), (1-> 3), (3-> 1), (1->5), (2->3), (3->4), (3->5), (4->5), (1->6), (4->6)。要注意，图中的边(1->3)和(3->1)是不同的。有向图和无向图的许多原理和算法是相通的。
这个图有点问题，那个长方形块是箭头。
五、权重（weight）
边的权重（或者称为权值、开销、长度等），也是一个非常核心的概念，即每条边都有与之对应的值。例如当顶点代表某些物理地点时，两个顶点间边的权重可以设置为路网中的开车距离。
下图中顶点为 4 个城市:Beijing, Shanghai, Wuhan, Guangzhou，边的权重设置为 2 城市之间的开车距离。有时候为了应对特殊情况，边的权重可以是零或者负数，注意，"图"是用来记录关联的东西，并不是真正的地图。
六、路径/最短路径（path/shortest path）
在图上任取两顶点，分别作为起点（start vertex）和终点（end vertex），我们可以规划许多条由起点到终点的路线。不会来来回回绕圈子、不会重复经过同一个点和同一条边的路线，就是一条"路径"。两点之间存在路径，则称这 2 个顶点是连通的（connected）。
还是上图的例子，北京->上海->广州，是一条路径，北京->武汉->广州，是另一条路径，北京--->武汉->上海->广州，也是一条路径。而北京->武汉->广州这条路径最短，称为最短路径。
路径也有权重。路径经过的每一条边，沿路加权重，权重总和就是路径的权重（通常只加边的权重，而不考虑顶点的权重）。在路网中，路径的权重，可以想象成路径的总长度。在有向图中，路径还必须跟随边的方向。
值得注意的是，一条路径包含了顶点和边，因此路径本身也构成了图结构，只不过是一种特殊的图结构。
七、环（loop）
环，也成为环路，是一个与路径相似的概念。在路径的终点添加一条指向起点的边，就构成一条环路。通俗点说就是绕圈。
上图中，北京->上海->武汉->广州->北京，就是一个环路。北京->武汉->上海->北京，也是一个环路。与路径一样，有向图中的环路也必须跟随边的方向。环本身也是一种特殊的图结构。
八、连通图/连通分量（connected graph/connected component）
如果在图 G 中，任意 2 个顶点之间都存在路径，那么称 G 为连通图（注意是任意 2 顶点）。上面那张城市之间的图，每个城市之间都有路径，因此是连通图。而下面这张图中，顶点 8 和顶点 2 之间就不存在路径，因此下图不是一个连通图，当然该图中还有很多顶点之间不存在路径。
上图虽然不是一个连通图，但它有多个连通子图：0,1,2 顶点构成一个连通子图，0,1,2,3,4 顶点构成的子图是连通图，6,7,8,9 顶点构成的子图也是连通图，当然还有很多子图。我们把一个图的最大连通子图称为它的连通分量。0,1,2,3,4 顶点构成的子图就是该图的最大连通子图，也就 是连通分量。连通分量有如下特点：
1）是子图；
2）子图是连通的；
3）子图含有最大顶点数。
注意："最大连通子图"指的是无法再扩展了，不能包含更多顶点和边的子图。0,1,2,3,4 顶点构成的子图已经无法再扩展了。
显然，对于连通图来说，它的最大连通子图就是其本身，连通分量也是其本身。
九、有向图/无向图的度数
对于无向图，每个顶点的度数就是它连接边的数量
对于有向图，入度就是有向图的某个顶点作为终点的次数和；出度就是，有向图的某个顶点作为起点的次数和。
🧊🧊🧊7.2 图的存储
图有两种存储方式，邻接矩阵和邻接表。
邻接矩阵
图的邻接矩阵存储方式是用两个数组来表示图。一个一维数组存储图中顶点信息，一个二维数组（邻接矩阵）存储图中的边或弧的信息。
设图 G 有 n 个顶点，则邻接矩阵是一个 n*n 的方阵，定义为：
看一个实例，下边左图就是一个无向图：
从上面可以看出，无向图的边数组是一个对称矩阵。所谓对称矩阵就是 n 阶矩阵的元满足aij = aji。即从矩阵的左上角到右下角的主对角线为轴，右上角的元和左下角相对应的元全都是相等的。从这个矩阵中，很容易知道图中的信息。
（1）要判断任意两顶点是否有边无边就很容易了；
（2）要知道某个顶点的度，其实就是这个顶点 vi 在邻接矩阵中第 i 行或（第 i 列）的元素之
和；
（3）求顶点 vi 的所有邻接点就是将矩阵中第 i 行元素扫描一遍，arc[i][j]为 1 就是邻接点；
而有向图讲究入度和出度，顶点 vi 的入度为 1，正好是第 i 列各数之和。顶点 vi 的出度为 2，即第 i 行的各数之和。
邻接表
邻接矩阵是不错的一种图存储结构，但是，对于边数相对顶点较少的图，这种结构存在对存储空间的极大浪费。因此，找到一种数组与链表相结合的存储方法称为邻接表。
邻接表的处理方法是这样的：
（1）图中顶点用一个一维数组存储，当然，顶点也可以用单链表来存储，不过，数组可以较
容易的读取顶点的信息，更加方便。
（2）图中每个顶点 vi 的所有邻接点构成一个线性表，由于邻接点的个数不定，所以，用单链
表存储，无向图称为顶点 vi 的边表，有向图则称为顶点 vi 作为弧尾的出边表。
例如，下图就是一个无向图的邻接表的结构。
从图中可以看出，顶点表的各个结点由 data 和 firstedge 两个域表示，data 是数据域，存储顶点的信息，firstedge 是指针域，指向边表的第一个结点，即此顶点的第一个邻接点。边表结点由 adjvex 和 next 两个域组成。adjvex 是邻接点域，存储某顶点的邻接点在顶点表中的下标，next 则存储指向边表中下一个结点的指针。
对于带权值的网图，可以在边表结点定义中再增加一个 weight 的数据域，存储权值信息即可。如下图所示。
两者区别
对于一个具有 n 个顶点 e 条边的无向图，它的邻接表表示有 n 个顶点表结点 2e 个边表结点
对于一个具有 n 个顶点 e 条边的有向图，它的邻接表表示有 n 个顶点表结点 e 个边表结点
如果图中边的数目远远小于 n 2称作稀疏图，这时用邻接表表示比用邻接矩阵表示节省空间; 如果图中边的数目接近于 n 2 ,对于无向图接近于 n*(n-1)称作稠密图,考虑到邻接表中要附加链域，采用邻接矩阵表示法为宜。
🧊🧊🧊6.3 并查集
并查集是解决集合类问题的，比如朋友关系，比如道路连通关系等等。
并查集本质是利用树形结构来加快区分集合的算法，这么一看，用 map 来区分也是可以的。但是并查集在树形结构的特点上加入了路径压缩的思想，使得算法效率远高于 map。
🥥例题：DreamJudge 1319
用并查集模板即可：
cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1005;
int fa[maxn];
//并查集模板
int find(int x) {
if (x == fa[x]) return x;
fa[x] = find(fa[x]); //路径压缩
return fa[x];
}
int main(){
int N , M;
while(scanf("%d",&N) != EOF){
if (N == 0) break;
scanf("%d",&M);
for (int i = 1; i <= N; i++) fa[i] = i;
int sum = 0;
for (int i = 0; i < M; i++) {
int x, y;
scanf("%d%d", &x, &y);
int fx = find(x);
int fy = find(y);
if (fx != fy) {
fa[fx] = fy;
sum++;
}
}
printf("%d\n", N - sum - 1);
}
return 0;
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