「数组」离散化 / Luogu B3694（C++）

概述

Luogu B3694：

给定一个长度为 n 的数列 aa。定义 rank(i) 表示数列 a 中比 ai 小的不同数字个数再加一。

对 1≤i≤n，现在请你求出所有的 rank(i)。

输出格式

对每组数据，输出一行 n 个整数，用空格隔开，依次示 rank(1)到 rank(n)。

我们来讲一个十分常用的小算法：离散化。

离散化并不单独作为一个算法出现，而是常作为一个预处理步骤。

所谓离散化，就是使用数组元素的相对排名替代原始数组元素。

例如，

cpp 复制代码

     i  0 1 2 3 4
nums[i] 9 7 4 0 1000
         ↓
nums[i] 4 3 2 1 5

这样我们在保证元素的相对关系的前提下，使得元素的分散程度减小了。

换句话说，如果元素分布范围很大，或者元素是浮点数以及其他类型，在不关注元素的绝对性质时，用离散化处理会使得我们关注的范围更加紧凑。

离散化在许多只关注元素相对性质的算法里有广泛的应用。

思路

一共有三个数组：原始数组，排序后的原数组，离散化数组。

先复制一份原始数组，对其进行排序，这样（元素下标-数组头指针）就得到了元素在原数组的排名。

原始数组遍历，对于第i个元素，它在排序后数组中处于pos位置，则离散化数组 $i$ =pos。

需要注意的是：在考虑重复元素的只占排名时，我们要对排序后数组进行去重。

算法过程

使用C++STL算法库：

sort()排序数组。

unqiue()对排序后数组去重。

lower_bound()利用二分查找找到排序后数组中元素的位置。

排序数组b，

cpp 复制代码

sort(b,b+n);

排序后对数组去重，得到排序后去重数组b $i$ ，

cpp 复制代码

int* end=unique(b,b+n);

unqiue会将数组中的重复元素转移至数组末位，返回去重后数组无重复区的后一个位置。

二分查找得到a $i$ 在b中的位置，减去b得到相对排名，

cpp 复制代码

for(int i=0;i<n;i++)
        cout<<lower_bound(b,end,a[i])-b+1<<' ';

对于本题，直接输出离散结果即可，另外，题目要求的排序从1开始。

对于二分查找lower_bound的内部实现：「数组」二分查找模版|二段性分析|恢复二段性 / LeetCode 35|33|81（C++）

对于数组去重unqiue的内部实现：

复杂度

时间复杂度：O(nlogn)

空间复杂度：O(n)

Code

cpp 复制代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
void solve(){
    int n;cin>>n;
    int a[n],b[n];
    for(int i=0;i<n;i++){
        cin>>a[i];
        b[i]=a[i];
    }
    sort(b,b+n);
    int* end=unique(b,b+n);
    for(int i=0;i<n;i++)
        cout<<lower_bound(b,end,a[i])-b+1<<' ';
    cout<<endl;
}
int main(){
    int t;cin>>t;
    while(t--)solve();
}