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图论part09
dijkstra（堆优化版）精讲
图的存储
首先是 图的存储。
关于图的存储 主流有两种方式： 邻接矩阵和邻接表
邻接矩阵
邻接矩阵 使用 二维数组来表示图结构。 邻接矩阵是从节点的角度来表示图，有多少节点就申请多大的二维数组。
例如： grid[2][5] = 6，表示 节点 2 链接 节点5 为有向图，节点2 指向 节点5，边的权值为6 （套在题意里，可能是距离为6 或者 消耗为6 等等）
如果想表示无向图，即：grid[2][5] = 6，grid[5][2] = 6，表示节点2 与 节点5 相互连通，权值为6。
如图：
在一个 n （节点数）为8 的图中，就需要申请 8 * 8 这么大的空间，有一条双向边，即：grid[2][5] = 6，grid[5][2] = 6
这种表达方式（邻接矩阵） 在 边少，节点多的情况下，会导致申请过大的二维数组，造成空间浪费。
而且在寻找节点链接情况的时候，需要遍历整个矩阵，即 n * n 的时间复杂度，同样造成时间浪费。
邻接矩阵的优点：
- 表达方式简单，易于理解
- 检查任意两个顶点间是否存在边的操作非常快
- 适合稠密图，在边数接近顶点数平方的图中，邻接矩阵是一种空间效率较高的表示方法。
缺点：
- 遇到稀疏图，会导致申请过大的二维数组造成空间浪费 且遍历 边 的时候需要遍历整个n * n矩阵，造成时间浪费
邻接表
邻接表 使用 数组 + 链表的方式来表示。 邻接表是从边的数量来表示图，有多少边 才会申请对应大小的链表。
邻接表的构造如图：
这里表达的图是：
- 节点1 指向 节点3 和 节点5
- 节点2 指向 节点4、节点3、节点5
- 节点3 指向 节点4，节点4指向节点1。
有多少边 邻接表才会申请多少个对应的链表节点。
从图中可以直观看出 使用 数组 + 链表 来表达 边的链接情况 。
邻接表的优点：
- 对于稀疏图的存储，只需要存储边，空间利用率高
- 遍历节点链接情况相对容易
缺点：
-
检查任意两个节点间是否存在边，效率相对低，需要 O(V)时间，V表示某节点链接其他节点的数量。
-
实现相对复杂，不易理解
Dijkstra算法（朴素版）的重点：
- 使用两层
for循环遍历所有节点，寻找最近的未访问节点。 - 更新
minDist数组来记录源点到每个节点的最短距离。 - 需要维护一个
visited数组来标记节点是否已被访问。
Dijkstra算法（堆优化版）的重点：
- 使用邻接表来表示图，其中每个节点的邻接链表包含指向的节点和边的权重。
- 利用优先队列（小顶堆）自动排序边的权值，每次从堆顶取出权值最小的边。
- 更新操作与朴素版类似，但使用邻接表来遍历节点的邻接节点，并将新的边加入优先队列。
堆优化dijkstra完整代码如下：
cpp
#include <iostream>
#include <vector>
#include <list>
#include <queue>
#include <climits>
using namespace std;
// 小顶堆
class mycomparison {
public:
bool operator()(const pair<int, int>& lhs, const pair<int, int>& rhs) {
return lhs.second > rhs.second;
}
};
// 定义一个结构体来表示带权重的边
struct Edge {
int to; // 邻接顶点
int val; // 边的权重
Edge(int t, int w): to(t), val(w) {} // 构造函数
};
int main() {
int n, m, p1, p2, val;
cin >> n >> m;
vector<list<Edge>> grid(n + 1);
for(int i = 0; i < m; i++){
cin >> p1 >> p2 >> val;
// p1 指向 p2，权值为 val
grid[p1].push_back(Edge(p2, val));
}
int start = 1; // 起点
int end = n; // 终点
// 存储从源点到每个节点的最短距离
std::vector<int> minDist(n + 1, INT_MAX);
// 记录顶点是否被访问过
std::vector<bool> visited(n + 1, false);
// 优先队列中存放 pair<节点，源点到该节点的权值>
priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, mycomparison> pq;
// 初始化队列，源点到源点的距离为0，所以初始为0
pq.push(pair<int, int>(start, 0));
minDist[start] = 0; // 起始点到自身的距离为0
while (!pq.empty()) {
// 1. 第一步，选源点到哪个节点近且该节点未被访问过 （通过优先级队列来实现）
// <节点， 源点到该节点的距离>
pair<int, int> cur = pq.top(); pq.pop();
if (visited[cur.first]) continue;
// 2. 第二步，该最近节点被标记访问过
visited[cur.first] = true;
// 3. 第三步，更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组）
for (Edge edge : grid[cur.first]) { // 遍历 cur指向的节点，cur指向的节点为 edge
// cur指向的节点edge.to，这条边的权值为 edge.val
if (!visited[edge.to] && minDist[cur.first] + edge.val < minDist[edge.to]) { // 更新minDist
minDist[edge.to] = minDist[cur.first] + edge.val;
pq.push(pair<int, int>(edge.to, minDist[edge.to]));
}
}
}
if (minDist[end] == INT_MAX) cout << -1 << endl; // 不能到达终点
else cout << minDist[end] << endl; // 到达终点最短路径
}- 时间复杂度：O(ElogE) E 为边的数量
- 空间复杂度：O(N + E) N 为节点的数量
Bellman_ford 算法精讲
- 适用于存在负权边的图。
- 核心思想是对所有边进行"松弛操作"，迭代n-1次，每次尝试更新所有节点的最短路径。
- "松弛操作"是指如果通过某个中间节点可以找到一条更短的路径到达目标节点，则更新该路径。
- 算法可以检测图中是否存在负权环，因为如果经过多次迭代后路径还能被继续松弛，则说明存在负权环。
- 时间复杂度为O(nm)，其中n是节点数，m是边数。
模拟过程
用一个简单的例子来模拟Bellman-Ford算法的过程：
假设我们有以下四个节点的图，其中边的数字表示权重（费用），并且存在负数权重：
节点1 --(-1)--> 节点2 --(3)--> 节点3
| ^
| |
(2) (4)
| |
v v
节点4 <--(5)-- 节点3
我们要求从节点1到节点4的最短路径。
初始步骤：
- 为每个节点设置一个初始距离值，源节点（节点1）的距离设为0，其他所有节点的距离设为无穷大。
- 距离数组：
dist[1] = 0, dist[2] = ∞, dist[3] = ∞, dist[4] = ∞
第一次迭代：
- 考虑节点1的边：节点1到节点2的距离为-1，更新
dist[2] = -1。
第二次迭代：
- 考虑节点2的边：节点2到节点3的距离为3，加上节点2的距离-1，得到节点3的距离为2，更新
dist[3] = 2。 - 同时，节点2到节点4的距离为5，但因为
dist[2] + 5不等于dist[4]，所以不更新。
第三次迭代：
- 考虑节点3的边：节点3到节点4的距离为4，加上节点3的距离2，得到节点4的距离为6，不更新
dist[4]，因为此时dist[4]的值应该更小（之前没有设置）。
第四次迭代：
- 考虑节点1的边：节点1到节点4的距离为2，更新
dist[4] = 2。
后续迭代：
- 继续迭代，但不再有任何更新，因为所有可达节点的距离都已经被更新到最短。
最终结果：
dist[1] = 0, dist[2] = -1, dist[3] = 2, dist[4] = 2
在这个过程中，我们发现节点4的最短路径是2，通过路径节点1 -> 节点2 -> 节点3 -> 节点4。
如果在n次迭代之后仍然有更新，那么说明图中存在负权环，因为理论上最短路径应该在n-1次迭代后就已经确定。在这个例子中，我们没有遇到这种情况。
代码
理解上面讲解的内容，代码就更容易写了，本题代码如下：（详细注释）
cpp
#include <iostream>
#include <vector>
#include <list>
#include <climits>
using namespace std;
int main() {
int n, m, p1, p2, val;
cin >> n >> m;
vector<vector<int>> grid;
// 将所有边保存起来
for(int i = 0; i < m; i++){
cin >> p1 >> p2 >> val;
// p1 指向 p2，权值为 val
grid.push_back({p1, p2, val});
}
int start = 1; // 起点
int end = n; // 终点
vector<int> minDist(n + 1 , INT_MAX);
minDist[start] = 0;
for (int i = 1; i < n; i++) { // 对所有边 松弛 n-1 次
for (vector<int> &side : grid) { // 每一次松弛，都是对所有边进行松弛
int from = side[0]; // 边的出发点
int to = side[1]; // 边的到达点
int price = side[2]; // 边的权值
// 松弛操作
// minDist[from] != INT_MAX 防止从未计算过的节点出发
if (minDist[from] != INT_MAX && minDist[to] > minDist[from] + price) {
minDist[to] = minDist[from] + price;
}
}
}
if (minDist[end] == INT_MAX) cout << "unconnected" << endl; // 不能到达终点
else cout << minDist[end] << endl; // 到达终点最短路径
}- 时间复杂度： O(N * E) , N为节点数量，E为图中边的数量
- 空间复杂度： O(N) ，即 minDist 数组所开辟的空间
总结
Bellman-Ford算法的重点：
- 处理负权边：Bellman-Ford算法能够处理包含负权边的图，这与Dijkstra算法不同，后者只适用于非负权边的图。
- 迭代松弛：算法通过反复进行松弛操作来尝试更新每个节点的最短路径估计，通常需要进行n-1次迭代，其中n是节点的数量。如果在第n次迭代中仍然可以更新路径，这表明存在负权环。