leetcode 刷题day41动态规划Part10（300.最长递增子序列、674. 最长连续递增序列、718. 最长重复子数组）

300.最长递增子序列

思路：根据递归五部曲进行分析。

1、dp $i$ 的定义

dp $i$ 表示i之前包括i的以nums $i$ 结尾的最长递增子序列的长度。

2、递推公式

位置i的最长升序子序列等于j从0到i-1各个位置的最长升序子序列 + 1 的最大值。

if (nums $i$ > nums $j$ ) dp $i$ = max(dp $i$ , dp $j$ + 1);

3、dp $i$ 的初始化

每一个i，对应的dp $i$ （即最长递增子序列）起始大小至少都是1.

4、遍历顺序

dp $i$ 是有0到i-1各个位置的最长递增子序列推导而来，从前向后遍历。

j遍历0到i-1，前后遍历都可以，默认习惯从前向后遍历。

5、举例推导dp数组

代码如下：

java 复制代码

class Solution {
    public int lengthOfLIS(int[] nums) {
        int[] dp=new int[nums.length];
        int result=1;
        for(int i=0;i<nums.length;i++) dp[i]=1;
        for(int i=1;i<nums.length;i++){
            for(int j=0;j<i;j++){
                if(nums[i]>nums[j]) dp[i]=Math.max(dp[i],dp[j]+1);
            }
            if(dp[i]>result) result=dp[i];
        }
        return result;
    }
}

674. 最长连续递增序列

思路：这个题目跟上一题的区别就在连续，所以只需要更改递推公式即可。

位置i的最长连续升序子序列等于i-1最长连续升序子序列 + 1 的最大值。

if (nums $i$ > nums $i-1$ ) dp $i$ = dp $i-1$ + 1;

代码如下：

java 复制代码

class Solution {
    public int findLengthOfLCIS(int[] nums) {
        int[] dp=new int[nums.length];
        int result=1;
        for(int i=0;i<nums.length;i++) dp[i]=1;
        for(int i=1;i<nums.length;i++){
            if(nums[i]>nums[i-1]) dp[i]=dp[i-1]+1;
            if(dp[i]>result) result=dp[i];
        } 
        return result;
    }
}

其实也可以暴力求解，计算每一个位置开始的最长连续递增序列长度，记录最长的结果。

718. 最长重复子数组

思路：定义二维数组dp $i$ $j$ ，i,j分别遍历A、B两个数组。

1、确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp $i$ $j$ ：以下标i - 1为结尾的A，和以下标j - 1为结尾的B，最长重复子数组长度为dp $i$ $j$ 。遍历dp $i$ $j$ 的时候i 和 j从1开始。

2、确定递推公式

根据dp $i$ $j$ 的定义，dp $i$ $j$ 的状态只能由dp $i - 1$ $j - 1$ 推导出来。

即当A $i - 1$ 和B $j - 1$ 相等的时候，dp $i$ $j$ = dp $i - 1$ $j - 1$ + 1;

3、dp数组如何初始化

根据dp $i$ $j$ 的定义，dp $i$ $0$ 和dp $0$ $j$ 其实都是没有意义的。为了方便递归公式dp $i$ $j$ = dp $i - 1$ $j - 1$ + 1，dp $i$ $0$ 和dp $0$ $j$ 初始化为0。

举个例子A $0$ 如果和B $0$ 相同的话，dp $1$ $1$ = dp $0$ $0$ + 1，只有dp $0$ $0$ 初始为0，正好符合递推公式逐步累加起来。

4、确定遍历顺序

双层循环，都可以从前往后遍历。

5、举例推导dp数组

代码如下：

java 复制代码

class Solution {
    public int findLength(int[] nums1, int[] nums2) {
        int[][] dp=new int[nums1.length+1][nums2.length+1];
        int result=0;
        for(int i=1;i<=nums1.length;i++){
            for(int j=1;j<=nums2.length;j++){
                if(nums1[i-1]==nums2[j-1]) dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
                if(dp[i][j]>result) result=dp[i][j];
            }
        }
        return result;
    }
}

可以使用滚动数组将二维数组压缩为一维数组，这样内层循环需要从后往前遍历，以防覆盖。

java 复制代码

class Solution {
    public int findLength(int[] nums1, int[] nums2) {
        int[] dp=new int[nums2.length+1];
        int result=0;
        for(int i=1;i<=nums1.length;i++){
            for(int j=nums2.length;j>0;j--){
                if(nums1[i-1]==nums2[j-1]) dp[j]=dp[j-1]+1;
                else dp[j]=0;
                if(dp[j]>result) result=dp[j];
            }
        }
        return result;
    }
}