文章目录
- [一. 基本内容与重要理论](#一. 基本内容与重要理论)
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- [1. 基本内容](#1. 基本内容)
- [2. 主要定理](#2. 主要定理)
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- [2.1. 齐次方程组](#2.1. 齐次方程组)
- [2.2. 非齐次方程组](#2.2. 非齐次方程组)
- [2.3. 解的性质（非齐次与齐次解的关系）](#2.3. 解的性质（非齐次与齐次解的关系）)
- [2.4. 通解结构](#2.4. 通解结构)
- [二. 典型例题](#二. 典型例题)
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- [1. 齐次方程的解](#1. 齐次方程的解)
- [2. 非齐次方程组的解的结构](#2. 非齐次方程组的解的结构)
- [3. 有解判定、解的结构、性质](#3. 有解判定、解的结构、性质)
- [4. 两个方程的公共解、同解](#4. 两个方程的公共解、同解)
- [5. 方程组的应用](#5. 方程组的应用)
一. 基本内容与重要理论
1. 基本内容
方程组的初等变换
主变量与自由变量的定义
基础解系
基础解系不唯一。
2. 主要定理
2.1. 齐次方程组
齐次方程组
有解：
注意：n是未知数的个数
齐次基础解系
解向量由自由向量构成。
2.2. 非齐次方程组
解的情况讨论
2.3. 解的性质（非齐次与齐次解的关系）
2.4. 通解结构
基础解系+已知解。
二. 典型例题
1. 齐次方程的解
题型一：常规题型
- 化为最简式。
因为是阶梯形状的，所以一定能化为最简式，（主元所在列，除主元外都为0）。
- 求基础解析
得到行最简矩阵之后，基础解系怎么求：- 求通解：
2.将自由变量x3或x5中的一个取值为1，其余取值为0，代入得到特解向量。
这样就得到了方程组的基础解系。
利用行最简+
题型二：含有未知数的齐次方程组
行最简，a=不同值时，解的讨论。
得秩，得到自由变量，几个自由变量基础解系中就含有几个向量（n - R(A)）
得同解方程组，得解。
题型三：基础解系证明题
利用a1,a2,a3的线性相关性，证明相关性
由12（由解+线性无关数=>基础解系数量的范围）+非零秩>=1。
2. 非齐次方程组的解的结构
题型一：求非齐次的通解
- 行变换：得最简式，得秩，得基础解系数量
- 得同解方程组，特解自由变量都为0，齐次通解依次为0,1.
- 将x1=-x2带入通解，消除一个k。
基础解系求的不对？ 注意是求导出组的通解。
题型二：由未知数讨论解
- 行变换，
- 讨论未知数：系数矩阵与增广矩阵之间秩的关系。
- 求解：特解+系数矩阵的自由解。
两个未知数的讨论。
题型三：由已知特解求全部解
- 带入特解，消除掉一个未知参数。再进行行阶梯变换。讨论不同值下的秩关系，再求解。
- 条件带入通解。
题型四：用解的性质处理抽象方程组
- 由秩知道，解析结构：n-r(A)=1,a+kβ
- 求导出组通解，利用定义Ax=b
- 组成原式通解
题型五：通过矩阵运算构造出方程组再求解
构造方程组+求解
3. 有解判定、解的结构、性质
带入判断秩的关系。
只有方阵才能计算行列式，A不一定是方阵，也可能不存在。
增广矩阵的秩始终<=行向量。
A. 对于齐次线性方程组，系数矩阵的秩等于未知数的个数时，只有零解
D. 有可能无解：常数=0的矛盾情况。
4. 两个方程的公共解、同解
题型一：公共解
两个方程联合求：4行4列。求出基础解系
联合求：4行3列，导出组。
- 建立联合方程组，
- 设极大无关向量组，然后联合起来，易得可以线性表出联合矩阵的行向量，进而得秩的关系。
题型二：同解
- 因为通解，所以R(A) < 3，行列式=0，得a
- 求A基础解系，带入B，消一个未知数，
- 讨论剩余的未知数，观察系数矩阵
- 利用同解定义着手，左右假设
- 技巧：利用0，乘a的转置，得Aa=0
相关转置的结论：
5. 方程组的应用
题型一：可交换转为线性方程组
- 由可交换得方程组，解方程组通解，带入对应元素的矩阵。
题型二：由等式得方程组
由等式得出，对应位置参数的方程 + 然后解方程。
- 先求行列式（减参数，减低难度）：可以行、列变换（求线性表出不能列变换），通过行列式判断秩，也就是解。
