切比雪夫不等式：方差约束下的概率估计

背景

在概率分析中，切比雪夫不等式 是一个常用的工具，它通过引入随机变量的 方差信息 ，给出了偏离均值的概率界限。这一不等式是对 马尔科夫不等式 的自然扩展，结合了更丰富的分布信息。通过它，我们可以更精确地描述随机变量的偏差行为。

核心思想

切比雪夫不等式旨在刻画以下概率：
P ( ∣ X − μ ∣ ≥ t ) \mathbb{P}(|X - \mu| \geq t) P(∣X−μ∣≥t)

其中， μ = E [ X ] \mu = \mathbb{E}[X] μ=E[X] 是随机变量 X X X 的期望， t > 0 t > 0 t>0 是阈值。为了进行更紧密的估计，引入 X X X 的方差 σ 2 = E [ ( X − μ ) 2 ] \sigma^2 = \mathbb{E}[(X - \mu)^2] σ2=E[(X−μ)2]。

切比雪夫不等式表明：
P ( ∣ X − μ ∣ ≥ t ) ≤ σ 2 t 2 . \mathbb{P}(|X - \mu| \geq t) \leq \frac{\sigma^2}{t^2}. P(∣X−μ∣≥t)≤t2σ2.

这一结果的直观意义是：随机变量偏离均值的概率与方差成正比，与偏差阈值的平方成反比。当 t t t 增大时，偏离概率迅速下降。

从马尔科夫不等式的扩展到切比雪夫不等式

马尔科夫不等式扩展回顾

回顾马尔科夫不等式扩展：给定一个非负随机变量 X X X 和一个单调递增的非负函数 g g g，我们有：
P ( X ≥ t ) = P ( g ( X ) ≥ g ( t ) ) ≤ E [ g ( X ) ] g ( t ) , g ( t ) > 0. \mathbb{P}(X \geq t) = \mathbb{P}(g(X) \geq g(t)) \leq \frac{\mathbb{E}[g(X)]}{g(t)}, \quad g(t) > 0. P(X≥t)=P(g(X)≥g(t))≤g(t)E[g(X)],g(t)>0.

这一形式可以推广到许多场景，具体证明可以参考我的博客马尔科夫不等式扩展：非线性函数下的概率上界。

切比雪夫不等式的推导

在切比雪夫不等式中，我们让随机变量的偏差 Z = ∣ X − μ ∣ Z = |X - \mu| Z=∣X−μ∣，并选择 g ( x ) = x 2 g(x) = x^2 g(x)=x2。此时：
P ( ∣ X − μ ∣ ≥ t ) = P ( Z ≥ t ) = P ( g ( Z ) ≥ g ( t ) ) ≤ E [ g ( Z ) ] g ( t ) . \mathbb{P}(|X - \mu| \geq t) = \mathbb{P}(Z \geq t) = \mathbb{P}(g(Z) \geq g(t)) \leq \frac{\mathbb{E}[g(Z)]}{g(t)}. P(∣X−μ∣≥t)=P(Z≥t)=P(g(Z)≥g(t))≤g(t)E[g(Z)].

对于 g ( x ) = x 2 g(x) = x^2 g(x)=x2，我们有：
g ( Z ) = Z 2 = ( X − μ ) 2 , g ( t ) = t 2 . g(Z) = Z^2 = (X - \mu)^2, \quad g(t) = t^2. g(Z)=Z2=(X−μ)2,g(t)=t2.

因此：
P ( ∣ X − μ ∣ ≥ t ) ≤ E [ ( X − μ ) 2 ] t 2 . \mathbb{P}(|X - \mu| \geq t) \leq \frac{\mathbb{E}[(X - \mu)^2]}{t^2}. P(∣X−μ∣≥t)≤t2E[(X−μ)2].

注意到 E [ ( X − μ ) 2 ] \mathbb{E}[(X - \mu)^2] E[(X−μ)2] 就是 X X X 的方差 σ 2 \sigma^2 σ2，最终得到：
P ( ∣ X − μ ∣ ≥ t ) ≤ σ 2 t 2 . \mathbb{P}(|X - \mu| \geq t) \leq \frac{\sigma^2}{t^2}. P(∣X−μ∣≥t)≤t2σ2.

例子：投资收益的概率估算

假设你投资一个项目 X X X，它的年平均收益是 5 % 5\% 5%（即 E [ X ] = 0.05 \mathbb{E}[X] = 0.05 E[X]=0.05），年收益的方差为 Var ( X ) = σ 2 = 0.01 \text{Var}(X) = \sigma^2 = 0.01 Var(X)=σ2=0.01。你想知道收益超过期望值 50 % 50\% 50%（即 ∣ X − E [ X ] ∣ ≥ 0.5 |X - \mathbb{E}[X]| \geq 0.5 ∣X−E[X]∣≥0.5）的概率有多大。

使用马尔科夫不等式估算

首先，根据前面马尔科夫不等式，我们可以得到结果
P ( X ≥ 0.5 ) ≤ 0.05 0.5 = 0.1. \mathbb{P}(X \geq 0.5) \leq \frac{0.05}{0.5} = 0.1. P(X≥0.5)≤0.50.05=0.1.

即，收益超过 50 % 50\% 50% 的概率不会超过 10 % 10\% 10%。

马尔科夫不等式：一个快速的概率上界工具-CSDN博客

使用切比雪夫不等式估算

切比雪夫不等式考虑了收益的偏离范围，即：
P ( ∣ X − E [ X ] ∣ ≥ t ) ≤ σ 2 t 2 . \mathbb{P}(|X - \mathbb{E}[X]| \geq t) \leq \frac{\sigma^2}{t^2}. P(∣X−E[X]∣≥t)≤t2σ2.

这里的 t t t 是收益偏离期望值的阈值，因此 t = 0.5 − 0.05 = 0.45 t = 0.5 - 0.05 = 0.45 t=0.5−0.05=0.45，代入 σ 2 = 0.01 \sigma^2 = 0.01 σ2=0.01：
P ( ∣ X − E [ X ] ∣ ≥ 0.45 ) ≤ 0.01 0.4 5 2 ≈ 0.049. \mathbb{P}(|X - \mathbb{E}[X]| \geq 0.45) \leq \frac{0.01}{0.45^2} \approx 0.049. P(∣X−E[X]∣≥0.45)≤0.4520.01≈0.049.

即，收益偏离 50 % 50\% 50% 的概率不会超过 4.9 % 4.9\% 4.9%。

对比与分析

概率上界的精度
- 使用马尔科夫不等式得到的概率上界是 10 % 10\% 10%，而使用切比雪夫不等式后，概率上界下降到了 4.9 % 4.9\% 4.9%。
- 切比雪夫不等式利用了方差信息，给出了更紧的概率界限。
适用范围
- 马尔科夫不等式只需要知道随机变量的均值，适用于所有非负随机变量，因此更通用。
- 切比雪夫不等式需要额外的方差信息，因此对分布的要求更高，但界限更精确。
解释意义
- 马尔科夫不等式的结果相对宽松，因为它只利用了均值信息，假设更大的分布范围。
- 切比雪夫不等式通过引入方差，更好地描述了随机变量的波动特性。

特点与不足

优点

利用方差信息：相比马尔科夫不等式，切比雪夫不等式通过引入方差，得到了更紧的概率上界。
适用性广：只需知道均值和方差，无需任何额外的分布假设。
直观性：通过与方差和偏差的关系，定量描述了概率的变化。

缺点

上界仍然宽松：实际概率往往远小于不等式给出的界限。
不考虑分布形状：切比雪夫不等式无法充分利用随机变量的分布信息。

进一步延伸

更紧的界限 ：如果随机变量具有更详细的信息（如分布的对称性或独立性），可以使用更高级的不等式，如赫夫丁不等式 或切尔诺夫界。
特殊分布的分析：对于某些特定分布，如正态分布，可以通过分布函数直接计算偏差概率，从而获得更精确的估计。

小结

切比雪夫不等式是从马尔科夫不等式出发，通过引入方差，提供了一个更紧密的概率界限。它在随机变量分析中具有广泛的应用，是概率界限工具箱中的一件基础工具。然而，在实际场景中，如果能够获取更多的分布特征，使用更高级的不等式往往能带来更好的结果。

在后续内容中，我们将进一步探讨如 Chernoff Bound（切尔诺夫界） 这样的工具，如何实现对偏差概率的更精确控制。