【题解】【枚举】------[NOIP2018 普及组] 龙虎斗
[NOIP2018 普及组] 龙虎斗
题目背景
NOIP2018 普及组 T2
题目描述
轩轩和凯凯正在玩一款叫《龙虎斗》的游戏，游戏的棋盘是一条线段，线段上有 n n n 个兵营（自左至右编号 1 ∼ n 1 \sim n 1∼n），相邻编号的兵营之间相隔 1 1 1 厘米，即棋盘为长度为 n − 1 n-1 n−1 厘米的线段。 i i i 号兵营里有 c i c_i ci 位工兵。下面图 1 为 n = 6 n=6 n=6 的示例：
轩轩在左侧，代表"龙"；凯凯在右侧，代表"虎"。 他们以 m m m 号兵营作为分界， 靠左的工兵属于龙势力，靠右的工兵属于虎势力，而第 m m m 号兵营中的工兵很纠结，他们不属于任何一方。
一个兵营的气势为：该兵营中的工兵数$ \times $ 该兵营到 m m m 号兵营的距离；参与游戏 一方的势力定义为：属于这一方所有兵营的气势之和。
下面图 2 为 n = 6 , m = 4 n = 6,m = 4 n=6,m=4 的示例，其中红色为龙方，黄色为虎方：
游戏过程中，某一刻天降神兵，共有 s 1 s_1 s1 位工兵突然出现在了 p 1 p_1 p1 号兵营。作为轩轩和凯凯的朋友，你知道如果龙虎双方气势差距太悬殊，轩轩和凯凯就不愿意继续玩下去了。为了让游戏继续，你需要选择一个兵营 p 2 p_2 p2，并将你手里的 s 2 s_2 s2 位工兵全部派往 兵营 p 2 p_2 p2，使得双方气势差距尽可能小。
注意：你手中的工兵落在哪个兵营，就和该兵营中其他工兵有相同的势力归属（如果落在 m m m 号兵营，则不属于任何势力）。
输入格式
输入文件的第一行包含一个正整数 n n n，代表兵营的数量。
接下来的一行包含 n n n 个正整数，相邻两数之间以一个空格分隔，第 i i i 个正整数代 表编号为 i i i 的兵营中起始时的工兵数量 c i c_i ci。
接下来的一行包含四个正整数，相邻两数间以一个空格分隔，分别代表 m , p 1 , s 1 , s 2 m,p_1,s_1,s_2 m,p1,s1,s2。
输出格式
输出文件有一行，包含一个正整数，即 p 2 p_2 p2，表示你选择的兵营编号。如果存在多个编号同时满足最优，取最小的编号。
输入输出样例
输入 #1
6
2 3 2 3 2 3
4 6 5 2
输出 #1
2
输入 #2
6
1 1 1 1 1 16
5 4 1 1
输出 #2
1
提示
样例 1 说明
见问题描述中的图 2。
双方以 m = 4 m=4 m=4 号兵营分界，有 s 1 = 5 s_1=5 s1=5 位工兵突然出现在 p 1 = 6 p_1=6 p1=6 号兵营。
龙方的气势为：
2 × ( 4 − 1 ) + 3 × ( 4 − 2 ) + 2 × ( 4 − 3 ) = 14 2 \times (4-1)+3 \times (4-2)+2 \times (4-3) = 14 2×(4−1)+3×(4−2)+2×(4−3)=14
虎方的气势为：
2 × ( 5 − 4 ) + ( 3 + 5 ) × ( 6 − 4 ) = 18 2 \times (5 - 4) + (3 + 5) \times (6 - 4) = 18 2×(5−4)+(3+5)×(6−4)=18
当你将手中的 s 2 = 2 s_2 = 2 s2=2 位工兵派往 p 2 = 2 p_2 = 2 p2=2 号兵营时，龙方的气势变为：
14 + 2 × ( 4 − 2 ) = 18 14 + 2 \times (4 - 2) = 18 14+2×(4−2)=18
此时双方气势相等。
样例 2 说明
双方以 m = 5 m = 5 m=5 号兵营分界，有 s 1 = 1 s_1 = 1 s1=1 位工兵突然出现在 p 1 = 4 p_1 = 4 p1=4 号兵营。
龙方的气势为：
1 × ( 5 − 1 ) + 1 × ( 5 − 2 ) + 1 × ( 5 − 3 ) + ( 1 + 1 ) × ( 5 − 4 ) = 11 1 \times (5 - 1) + 1 \times (5 - 2) + 1 \times (5 - 3) + (1 + 1) \times (5 - 4) = 11 1×(5−1)+1×(5−2)+1×(5−3)+(1+1)×(5−4)=11
虎方的气势为：
16 × ( 6 − 5 ) = 16 16 \times (6 - 5) = 16 16×(6−5)=16
当你将手中的 s 2 = 1 s_2 = 1 s2=1 位工兵派往 p 2 = 1 p_2 = 1 p2=1 号兵营时，龙方的气势变为：
11 + 1 × ( 5 − 1 ) = 15 11 + 1 \times (5 - 1) = 15 11+1×(5−1)=15
此时可以使双方气势的差距最小。
数据规模与约定
1 < m < n 1 < m < n 1<m<n， 1 ≤ p 1 ≤ n 1 \le p_1 \le n 1≤p1≤n。
对于 20 % 20\% 20% 的数据， n = 3 , m = 2 , c i = 1 , s 1 , s 2 ≤ 100 n = 3,m = 2, c_i = 1, s_1,s_2 ≤ 100 n=3,m=2,ci=1,s1,s2≤100。
另有 20 % 20\% 20% 的数据， n ≤ 10 , p 1 = m , c i = 1 , s 1 , s 2 ≤ 100 n ≤ 10, p_1 = m, c_i = 1, s_1,s_2 ≤ 100 n≤10,p1=m,ci=1,s1,s2≤100。
对于 60 % 60\% 60% 的数据， n ≤ 100 , c i = 1 , s 1 , s 2 ≤ 100 n ≤ 100, c_i = 1, s_1,s_2 ≤ 100 n≤100,ci=1,s1,s2≤100。
对于 80 % 80\% 80% 的数据， n ≤ 100 , c i , s 1 , s 2 ≤ 100 n ≤ 100, c_i,s_1,s_2 ≤ 100 n≤100,ci,s1,s2≤100。
对于 100 % 100\% 100% 的数据， n ≤ 1 0 5 n≤10^5 n≤105, c i , s 1 , s 2 ≤ 1 0 9 c_i,s_1,s_2≤10^9 ci,s1,s2≤109。
1.思路解析
建立双重循环，第一层枚举 p 2 p_2 p2名士兵的去向。第二层分别枚举计算龙的气势和虎的气势。如下：
注意上面的数据量： c i , s 1 , s 2 ≤ 1 0 9 c_i,s_1,s_2≤10^9 ci,s1,s2≤109，很明显要开long long。
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
//用minnum储存最小气势差,dragon储存当前龙的气势,tiger储存当前虎的气势
long long n,c[100010],m,p1,s1,s2,p2=1,minnum=LONG_LONG_MAX,dragon,tiger;
int main()
{
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)cin>>c[i];
cin>>m>>p1>>s1>>s2;
c[p1]+=s1;
for(int i=1;i<=n;i++)//枚举p2
{
dragon=tiger=0;
for(int j=1;j<m;j++)dragon+=(m-j)*c[j];//预处理龙的气势
for(int j=m+1;j<=n;j++)tiger+=(j-m)*c[j];//预处理虎的气势
if(i<m)dragon+=(m-i)*s2;//为虎加上气势
else if(i>m)tiger+=(i-m)*s2;//为龙加上气势
if(abs(dragon-tiger)<minnum)//更新最小值
{
minnum=abs(dragon-tiger);
p2=i;
}
if(i<m)dragon-=(m-i)*s2;//回溯
else if(i>m)tiger-=(i-m)*s2;
}
cout<<p2;
return 0;
}但是通过估算， O ( N 2 ) O(N^2) O(N2)的复杂度通过不了 1 0 5 10^5 105的数据量。现实也确实如此。
我们发现，不需要每一次都额外计算一次气势。在开始的时候预处理，只需要在后面计算增量就行了。不过多阐述，详见代码。
2.AC代码
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
//用minnum储存最小气势差,dragon储存当前龙的气势,tiger储存当前虎的气势
long long n,c[100010],m,p1,s1,s2,p2=1,minnum=LONG_LONG_MAX,dragon,tiger;
int main()
{
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)cin>>c[i];
cin>>m>>p1>>s1>>s2;
c[p1]+=s1;
for(int i=1;i<m;i++)dragon+=(m-i)*c[i];//预处理龙的气势
for(int i=m+1;i<=n;i++)tiger+=(i-m)*c[i];//预处理虎的气势
for(int i=1;i<=n;i++)//枚举p2
{
if(i<m)dragon+=(m-i)*s2;//为虎加上气势
else if(i>m)tiger+=(i-m)*s2;//为龙加上气势
if(abs(dragon-tiger)<minnum)//更新最小值
{
minnum=abs(dragon-tiger);
p2=i;
}
if(i<m)dragon-=(m-i)*s2;//回溯
else if(i>m)tiger-=(i-m)*s2;
}
cout<<p2;
return 0;
}