正则化机制提升部分标签学习中的消歧策略

在部分标签学习（Partial Label Learning, PLL）中，基于平均的消歧策略 通过平等对待候选标签进行建模，但需要增强标签的互斥性（即确保真实标签的唯一性）。本文介绍两种优化机制：流形假设 和双凸正则化，以提升模型性能。

利用数据的局部相似性，通过约束邻近样本标签预测的平滑性，间接增强标签互斥性。

相似性矩阵

定义样本间相似性矩阵 W ∈ R N × N W \in \mathbb{R}^{N \times N} W∈RN×N，其中元素为：
W i j = exp ⁡ ( − ∥ x i − x j ∥ 2 2 σ 2 ) W_{ij} = \exp\left(-\frac{\|x_i - x_j\|^2}{2\sigma^2}\right) Wij=exp(−2σ2∥xi−xj∥2)
图拉普拉斯矩阵
L = D − W L = D - W L=D−W，其中 D D D 为对角矩阵， D i i = ∑ j W i j D_{ii} = \sum_j W_{ij} Dii=∑jWij。
流形正则项
R manifold ( θ ) = tr ( F ⊤ L F ) , F = $f ( x 1 ; θ ) , ... , f ( x N ; θ )$ ⊤ \mathcal{R}_{\text{manifold}}(\theta) = \text{tr}(F^\top L F), \quad F = $f(x_1; \\theta), \\dots, f(x_N; \\theta)$ ^\top Rmanifold(θ)=tr(F⊤LF),F= $f(x1;θ),...,f(xN;θ)$ ⊤
总目标函数
min ⁡ θ 1 N ∑ i = 1 N 1 ∣ S i ∣ ∑ y ∈ S i ℓ ( f ( x i ; θ ) , y ) + λ ⋅ tr ( F ⊤ L F ) \min_\theta \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \frac{1}{|S_i|} \sum_{y \in S_i} \ell(f(x_i; \theta), y) + \lambda \cdot \text{tr}(F^\top L F) θminN1i=1∑N∣Si∣1y∈Si∑ℓ(f(xi;θ),y)+λ⋅tr(F⊤LF)

其中，第一项为平均损失，第二项为流形正则项。

通过交替优化模型参数 θ \theta θ 和标签权重 w w w，利用稀疏性约束直接增强标签互斥性。

标签权重变量

权重向量 w i ∈ R K w_i \in \mathbb{R}^K wi∈RK 满足：
∑ y ∈ S i w i , y = 1 , w i , y ≥ 0 ( ∀ y ∈ S i ) \sum_{y \in S_i} w_{i,y} = 1, \quad w_{i,y} \geq 0 \ (\forall y \in S_i) y∈Si∑wi,y=1,wi,y≥0 (∀y∈Si)
双凸目标函数
min ⁡ θ , w 1 N ∑ i = 1 N ∑ y ∈ S i w i , y ℓ ( f ( x i ; θ ) , y ) + λ ∑ i = 1 N ∥ w i ∥ 1 \min_{\theta, w} \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \sum_{y \in S_i} w_{i,y} \ell(f(x_i; \theta), y) + \lambda \sum_{i=1}^N \|w_i\|_1 θ,wminN1i=1∑Ny∈Si∑wi,yℓ(f(xi;θ),y)+λi=1∑N∥wi∥1

其中，第一项为加权损失，第二项为稀疏正则项。
交替优化步骤
1. 固定 w w w，优化 θ \theta θ
  θ t + 1 = arg ⁡ min ⁡ θ 1 N ∑ i = 1 N ∑ y ∈ S i w i , y ℓ ( f ( x i ; θ ) , y ) \theta_{t+1} = \arg\min_\theta \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \sum_{y \in S_i} w_{i,y} \ell(f(x_i; \theta), y) θt+1=argθminN1i=1∑Ny∈Si∑wi,yℓ(f(xi;θ),y)
2. 固定 θ \theta θ，优化 w w w
  w i , y ( t + 1 ) = { 1 if y = arg ⁡ max ⁡ y ′ ∈ S i f y ′ ( x i ; θ t ) 0 otherwise w_{i,y}^{(t+1)} = \begin{cases} 1 & \text{if } y = \arg\max_{y' \in S_i} f_{y'}(x_i; \theta_t) \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} wi,y(t+1)={10if y=argmaxy′∈Sify′(xi;θt)otherwise

方法	优点	缺点
流形假设	无需显式标签权重，适合复杂噪声场景	依赖特征质量，计算复杂度高
双凸正则化	显式增强互斥性，适合多候选标签场景	需多次迭代，优化过程复杂

设置初始权重 w i , y = 1 ∣ S i ∣ w_{i,y} = \frac{1}{|S_i|} wi,y=∣Si∣1。

最终得到优化后的模型 θ \theta θ 和稀疏权重 w w w。

流形正则化目标函数
min ⁡ θ 1 N ∑ i = 1 N 1 ∣ S i ∣ ∑ y ∈ S i ℓ ( f ( x i ; θ ) , y ) + λ ⋅ tr ( F ⊤ L F ) \min_\theta \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \frac{1}{|S_i|} \sum_{y \in S_i} \ell(f(x_i; \theta), y) + \lambda \cdot \text{tr}(F^\top L F) θminN1i=1∑N∣Si∣1y∈Si∑ℓ(f(xi;θ),y)+λ⋅tr(F⊤LF)
双凸正则化目标函数
min ⁡ θ , w 1 N ∑ i = 1 N ∑ y ∈ S i w i , y ℓ ( f ( x i ; θ ) , y ) + λ ∑ i = 1 N ∥ w i ∥ 1 \min_{\theta, w} \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \sum_{y \in S_i} w_{i,y} \ell(f(x_i; \theta), y) + \lambda \sum_{i=1}^N \|w_i\|_1 θ,wminN1i=1∑Ny∈Si∑wi,yℓ(f(xi;θ),y)+λi=1∑N∥wi∥1