【数据结构】树状数组

树状数组

假设一个数可以 x x x可以被二进制分解成 x = 2 i 1 + 2 i 2 + . . . + 2 i m x = 2^{i_1} + 2^{i_2} + ... + 2^{i_m} x=2i1+2i2+...+2im，不妨设 i 1 > i 2 > . . . > i m i_1 > i_2 > ... > i_m i1>i2>...>im，进一步地，区间 $1 , x$ $1, x$ $1,x$ 可以分成 O ( l o g x ) O(log\ x) O(log x)个小区间：

长度为 2 i 1 2^{i_1} 2i1的小区间 $1 , 2 i 1$ $1, 2\^{i_1}$ $1,2i1$
长度为 2 i 2 2^{i_2} 2i2的小区间 $2 i 1 + 1 , 2 i 1 + 2 i 2$ $2\^{i_1} + 1, 2\^{i_1} + 2\^{i_2}$ $2i1+1,2i1+2i2$
. . . ... ...
长度为 2 i m 2^{i_m} 2im的小区间 $2 i 1 + 2 i 2 + . . . + 2 i m - 1 + 1 , 2 i 1 + 2 i 2 + . . . + 2 i m$ $2\^{i_1} + 2\^{i_2} + ... + 2\^{i_{m - 1}} + 1, 2\^{i_1} + 2\^{i_2} + ... + 2\^{i_m}$ $2i1+2i2+...+2im-1+1,2i1+2i2+...+2im$

这些小区间的共同特点是：若区间结尾为 R R R，则区间长度为 l o w b i t ( R ) lowbit(R) lowbit(R)。

树状数组，就是基于上述思想的数据结构，其基本用途是维护序列的前缀和。

对于给定的序列 a a a，建立数组 c c c，其中 c $x$ c $x$ c $x$ 的含义是以 x x x为结尾的，长度为 l o w b i t ( x ) lowbit(x) lowbit(x)的区间中所有数的和，即 ∑ i = x − l o w b i t ( x ) + 1 x a $i$ \sum_{i = x - lowbit(x) + 1}^{x} a $i$ ∑i=x−lowbit(x)+1xa $i$ 。

单点更新：

c 复制代码

void add(int x, int t) {
	for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) c[i] += t;
}

区间查询：

c 复制代码

int ask(int x) {
	int res = 0;
	for (int i = x; i; i -= lowbit(i)) res += c[i];
}

对于查询：

我们想要得知以区间 $1 , x$ $1, x$ $1,x$ 的和，不妨从树状数组区间长度的划分和数组 c c c的定义出发。我们知道，对于长度为 x x x的区间，我们可以每次将其划分为长度为 l o w b i t ( x ) lowbit(x) lowbit(x)的区间，并 x = x − l o w b i t ( x ) x = x - lowbit(x) x=x−lowbit(x)。所以，我们很容易得到查询的代码。

复杂度是 O ( l o g n ) O(log\ n) O(log n)。

对于更新：

除树根外，每个内部节点 c $x$ c $x$ c $x$ 的父节点是 c $x + l o w b i t ( x )$ c $x + lowbit(x)$ c $x+lowbit(x)$ 。

复杂度是 O ( l o g n ) O(log \ n) O(log n)。

树状数组的扩展应用

以上介绍了树状数组的基本应用，即：

修改数组中的一个数。
查询区间和。

树状数组还有一些扩展应用，如：

扩展一：

将区间 $l , r$ $l, r$ $l,r$ 加上 c c c。
查询某个位置上的数。

扩展二：

将区间 $l , r$ $l, r$ $l,r$ 加上 c c c。
查询区间和。

扩展三： 结合其他算法(如：二分)实现更多功能

考虑扩展一

对于给定的序列 a a a，考虑其差分数组 b b b。

若想将区间 $l , r$ $l, r$ $l,r$ 加上一个数，可以对应在差分数组上执行 b $l$ = b $l$ + c b $l$ = b $l$ + c b $l$ =b $l$ +c， b $r + 1$ = b $r + 1$ − c b $r + 1$ = b $r + 1$ - c b $r+1$ =b $r+1$ −c。

若想查询某个位置 x x x的数，即求位置 x x x的前缀和。

以上两个操作是单点修改，区间查询。可以用树状数组解决。

考虑扩展二

对于区间给定的序列 a a a，考虑其差分数组 b b b。

若想查询区间 $1 , r$ $1, r$ $1,r$ 的和，即 ∑ i = 1 r ∑ j = 1 i b j \sum_{i = 1}^r \sum_{j = 1}^{i}b_j ∑i=1r∑j=1ibj

对应代码为：

c 复制代码

for (int i = 1; i <= r; i ++) 
	for (int j = 1; j <= i; j ++) 
		ans += b[j];

考虑以下表格

a 1 a_1 a1	b 1 b_1 b1
a 2 a_2 a2	b 1 b_1 b1	b 2 b_2 b2
a 3 a_3 a3	b 1 b_1 b1	b 2 b_2 b2	b 3 b_3 b3
. . . ... ...
a i a_i ai	b 1 b_1 b1	b 2 b_2 b2	. . . ... ...	b m b_m bm

a 1 = b 1 a_1 = b_1 a1=b1

a 2 = b 1 + b 2 a_2 = b_1 + b_2 a2=b1+b2

a 3 = b 1 + b 2 + b 3 a_3 = b_1 + b_2 + b_3 a3=b1+b2+b3

. . . ... ...

a i = b 1 + b 2 + . . . + b m a_i = b_1 + b_2 + ... + b_m ai=b1+b2+...+bm

则 a 1 + a 2 + . . . + a i = ( b 1 + b 2 + . . . + b m ) × ( i + 1 ) − ( b 1 + 2 × b 2 + 3 × b 3 + . . . + m × b m ) a_1 + a_2 + ... + a_i = (b_1 + b_2 + ... + b_m) \times (i + 1) - (b_1 + 2 \times b_2 + 3\times b_3 + ... + m\times b_m) a1+a2+...+ai=(b1+b2+...+bm)×(i+1)−(b1+2×b2+3×b3+...+m×bm)

可以看出，其转化成了 b b b数组的前缀和，以及 i × b $i$ i\times b $i$ i×b $i$ 数组的前缀和。可以用树状数组维护。

考虑扩展三

考虑如下问题，给定 f o r ( i = 1 ; i ≤ n ; i + + ) c n t $i$ = 1 for\ (i = 1; i \leq n; i ++) \ cnt $i$ = 1 for (i=1;i≤n;i++) cnt $i$ =1 表示 1 1 1到 n n n中所有数均可用。

现需要：每次找到所有可用数中第 k k k小的数，将该数存下，并将该数标记为不可用。

考虑维护数组 c n t cnt cnt的前缀和数组，标记为不可用只需将 1 ← 0 1 \leftarrow 0 1←0。

前缀和每次可以算出有多少可用的数，然后可以二分。

所以该问题需要的操作是：单点修改和区间查询。配合二分可以实现更多功能。