数学笔记三:特殊矩阵

一、单位矩阵

  • 定义 :主对角线元素全为 1,其余元素全为 0 的方阵,
  • 性质:对任意矩阵 A(满足维度兼容),有 AI=A,IA=A,类似数的 "1"。

二、逆矩阵(仅针对可逆方阵)

1. 定义
  • 若方阵 A 存在矩阵 ,使得 A=A=I(I 为单位矩阵),则 称为 A 的逆矩阵。
  • 条件 :∣A∣0(非奇异矩阵)。
2. 性质

三、矩阵的转置

1. 定义
  • 将矩阵 A 的行列互换,得到的新矩阵称为 A 的转置,记作 或 A′。
  • 若 A 是 m×n 矩阵,则 是 n×m 矩阵。
  1. 示例
  1. 性质

四、矩阵的行列式(仅针对方阵)

1. 定义
  • 对于 n×n 方阵 A,其行列式记作 ∣A∣ 或 det(A),是一个数值,反映矩阵的某些性质(如可逆性)。
2. 计算示例(二阶方阵)
3. 性质
  • ∣=∣A∣
  • ∣AB∣=∣A∣∣B∣
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