LeetCode算法日记 - Day 82: 环形子数组的最大和

[1. 环形子数组的最大和](#1. 环形子数组的最大和)

[1.1 题目解析](#1.1 题目解析)

[1.2 解法](#1.2 解法)

[1.3 代码实现](#1.3 代码实现)

1. 环形子数组的最大和

https://leetcode.cn/problems/maximum-sum-circular-subarray/

给定一个长度为 n 的环形整数数组 nums ，返回*nums 的非空 子数组 的最大可能和*。

环形数组 意味着数组的末端将会与开头相连呈环状。形式上， nums[i] 的下一个元素是 nums[(i + 1) % n] ， nums[i] 的前一个元素是 nums[(i - 1 + n) % n] 。

子数组 最多只能包含固定缓冲区 nums 中的每个元素一次。形式上，对于子数组 nums[i], nums[i + 1], ..., nums[j] ，不存在 i <= k1, k2 <= j 其中 k1 % n == k2 % n 。

示例 1：

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输入：nums = [1,-2,3,-2]
输出：3
解释：从子数组 [3] 得到最大和 3

示例 2：

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输入：nums = [5,-3,5]
输出：10
解释：从子数组 [5,5] 得到最大和 5 + 5 = 10

示例 3：

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输入：nums = [3,-2,2,-3]
输出：3
解释：从子数组 [3] 和 [3,-2,2] 都可以得到最大和 3

提示：

n == nums.length
1 <= n <= 3 * 104
-3 * 104 <= nums[i] <= 3 * 104

1.1 题目解析

题目本质

在环形数组中寻找最大连续子数组和。环形意味着数组首尾相连，但子数组不能重复使用元素。

常规解法

用动态规划算法求最大子数组和。遍历数组，维护当前位置结尾的最大和，取全局最大值。

问题分析

普通动态规划算法只能处理线性数组，无法处理跨越边界的情况。

例如 $5,-3,5$ ，最优解是选首尾 $5,5$ =10，但线性算法只会算出 $5,-3,5$ =7。环形数组的最大子数组要么在中间，要么跨越首尾，需要分情况讨论。

思路转折
跨边界的情况可以转换思维------选首尾等价于不选中间。
如果我们能找到中间的最小子数组和，用总和减去它就得到了跨边界的最大和。因此需要同时维护两个 DP：一个求最大子数组和（不跨边界），一个求最小子数组和（用于计算跨边界）。

1.2 解法

算法思想：动态规划分两种情况，f $i$ 表示以 i 结尾的最大子数组和，g $i$ 表示以 i 结尾的最小子数组和。

状态转移：

f $i$ = max(f $i-1$ + nums $i$ , nums $i$ )
g $i$ = min(g $i-1$ + nums $i$ , nums $i$ )

**最终答案：**max(fmax, sum - gmin)，其中 fmax 是不跨边界的最大值，sum - gmin 是跨边界的最大值。

**i）**初始化两个 DP 数组 f 和 g，分别用于记录最大和最小子数组和，初始值设为 0。

**ii）**第一次遍历计算数组总和 sum，这是计算跨边界情况的基础。

**iii）**第二次遍历同时更新 f $i$ 和 g $i$ ，维护全局最大值 max 和全局最小值 min。

**iv）**计算跨边界的最大和 tMin = sum - min。如果 tMin == 0 说明所有数都是负数，只能返回 max（最大的负数），否则返回 max(tMin, max)。

易错点：

f 和 g 的含义理解
- f $i$ 表示以位置 i 结尾的最大子数组和，用于求不跨界情况。
- g $i$ 表示以位置 i 结尾的最小子数组和，用于计算跨界情况（通过 sum - gmin 得到跨界的最大值）。
全负数的边界情况
- 当数组全为负数时，gmin 会等于 sum（因为整个数组就是最小子数组），导致 sum - gmin = 0。
- 这个 0 表示"什么都不选"，但题目要求子数组非空，所以必须返回 fmax（即最大的那个负数）。判断条件是 tMin == 0 ? max : Math.max(tMin, max)。
max 和 min 的初始化：max 不能初始化为 0，必须是 Integer.MIN_VALUE/2，否则当所有数都是负数时，fmax 会被错误地判定为 0。同理，min 初始化为 Integer.MAX_VALUE/2。

跨界计算的本质：sum - gmin 不是简单的数学运算，而是"总和减去不要的最小部分 = 保留的最大部分（跨边界）"。理解这个转换是关键，不要误以为是 sum + |gmin|。

1.3 代码实现

java 复制代码

class Solution {
    public int maxSubarraySumCircular(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        int[] f = new int[n + 1];  // 最大子数组和
        int[] g = new int[n + 1];  // 最小子数组和
        f[0] = g[0] = 0;
        
        int max = Integer.MIN_VALUE / 2;
        int min = Integer.MAX_VALUE / 2;
        int sum = 0;
        
        // 计算总和
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            sum += nums[i];
        }
        
        // 同时计算最大和最小子数组和
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            f[i] = Math.max(f[i - 1] + nums[i - 1], nums[i - 1]);
            max = Math.max(max, f[i]);
            
            g[i] = Math.min(g[i - 1] + nums[i - 1], nums[i - 1]);
            min = Math.min(min, g[i]);
        }
        
        // 跨边界的最大和 = 总和 - 最小子数组和
        int tMin = sum - min;
        
        // 全是负数时返回最大的负数
        return tMin == 0 ? max : Math.max(tMin, max);
    }
}

复杂度分析：

**时间复杂度：O(n)，**两次遍历数组。
**空间复杂度：O(n)，**使用了两个 DP 数组。可优化至 O(1)，只需维护前一个状态的值。