线性代数及其应用习题答案(中文版)第一章 线性代数中的线性方程组 1.4 矩阵方程Ax=b(1)

1.4

练习题

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1.

设 A=15−20−3−19−54−8−17A = \begin{bmatrix} 1 & 5 & -2 & 0 \\ -3 & -1 & 9 & -5 \\ 4 & -8 & -1 & 7 \end{bmatrix}A= 1−345−1−8−29−10−57 ，p=3−20−4\mathbf{p} = \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \\ 0 \\ -4 \end{bmatrix}p= 3−20−4 ，b=−790\mathbf{b} = \begin{bmatrix} -7 \\ 9 \\ 0 \end{bmatrix}b= −790 ，可以证明 p\mathbf{p}p 是 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 的一个解。应用这个事实把 b\mathbf{b}b 表示为 AAA 的列的线性组合。

解答：

• 由 Ap=bA\mathbf{p} = \mathbf{b}Ap=b，有：
  b=Ap=p1a1+p2a2+p3a3+p4a4 \mathbf{b} = A\mathbf{p} = p_1\mathbf{a}_1 + p_2\mathbf{a}_2 + p_3\mathbf{a}_3 + p_4\mathbf{a}_4 b=Ap=p1a1+p2a2+p3a3+p4a4

• 其中 a1,a2,a3,a4\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3, \mathbf{a}_4a1,a2,a3,a4 是 AAA 的列向量，p=(3,−2,0,−4)T\mathbf{p} = (3, -2, 0, -4)^Tp=(3,−2,0,−4)T

• 因此：
  b=3a1−2a2+0a3−4a4 \mathbf{b} = 3\mathbf{a}_1 - 2\mathbf{a}_2 + 0\mathbf{a}_3 - 4\mathbf{a}_4 b=3a1−2a2+0a3−4a4

结论 ：
b\mathbf{b}b 是 AAA 的列向量的线性组合：b=3a1−2a2−4a4\mathbf{b} = 3\mathbf{a}_1 - 2\mathbf{a}_2 - 4\mathbf{a}_4b=3a1−2a2−4a4。

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2.

设 A=2531A = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}A=2351，u=−41\mathbf{u} = \begin{bmatrix} -4 \\ 1 \end{bmatrix}u=−41，v=−35\mathbf{v} = \begin{bmatrix} -3 \\ 5 \end{bmatrix}v=−35，通过计算矩阵 A(u+v)A(\mathbf{u} + \mathbf{v})A(u+v) 和 Au+AvA\mathbf{u} + A\mathbf{v}Au+Av 来验证定理 5(a)。

解答：

• 计算 u+v\mathbf{u} + \mathbf{v}u+v：
  u+v=−41+−35=−76 \mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{bmatrix} -4 \\ 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -3 \\ 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 \\ 6 \end{bmatrix} u+v=−41+−35=−76

• 计算 A(u+v)A(\mathbf{u} + \mathbf{v})A(u+v)：
  A(u+v)=2531−76=2(−7)+5(6)3(−7)+1(6)=16−15 A(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -7 \\ 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2(-7) + 5(6) \\ 3(-7) + 1(6) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 16 \\ -15 \end{bmatrix} A(u+v)=2351−76=2(−7)+5(6)3(−7)+1(6)=16−15

• 计算 AuA\mathbf{u}Au 和 AvA\mathbf{v}Av：
  Au=2531−41=2(−4)+5(1)3(−4)+1(1)=−3−11 A\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -4 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2(-4) + 5(1) \\ 3(-4) + 1(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \\ -11 \end{bmatrix} Au=2351−41=2(−4)+5(1)3(−4)+1(1)=−3−11

  Av=2531−35=2(−3)+5(5)3(−3)+1(5)=19−4 A\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -3 \\ 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2(-3) + 5(5) \\ 3(-3) + 1(5) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 \\ -4 \end{bmatrix} Av=2351−35=2(−3)+5(5)3(−3)+1(5)=19−4

• 计算 Au+AvA\mathbf{u} + A\mathbf{v}Au+Av：
  Au+Av=−3−11+19−4=16−15 A\mathbf{u} + A\mathbf{v} = \begin{bmatrix} -3 \\ -11 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 19 \\ -4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 16 \\ -15 \end{bmatrix} Au+Av=−3−11+19−4=16−15

结论 ：
A(u+v)=Au+AvA(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = A\mathbf{u} + A\mathbf{v}A(u+v)=Au+Av，验证了定理 5(a)。

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3.

构造一个 3×33 \times 33×3 的矩阵 AAA 且使得 b\mathbf{b}b 和 c∈R3\mathbf{c} \in \mathbb{R}^3c∈R3，使得 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 有一个解，但 Ax=cA\mathbf{x} = \mathbf{c}Ax=c 无解。

构造示例 ：

令
A=101011000,b=320,c=321 A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix},\quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix},\quad \mathbf{c} = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} A= 100010110 ,b= 320 ,c= 321

验证：

• 对于 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b：

  增广矩阵：
  101301120000 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} 100010110320

  相容，有解（例如 x1=3,x2=2,x3=0x_1 = 3, x_2 = 2, x_3 = 0x1=3,x2=2,x3=0）。

• 对于 Ax=cA\mathbf{x} = \mathbf{c}Ax=c：

  增广矩阵：
  101301120001 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} 100010110321

  第三行对应方程 0=10 = 10=1，矛盾，无解。

结论 ：
矩阵 A=101011000A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}A= 100010110 ，b=320\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}b= 320 ，c=321\mathbf{c} = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}c= 321 满足条件。

习题 1.4

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1.

计算矩阵与向量的乘积 AxA\mathbf{x}Ax：
A=−421601,x=3−27 A = \begin{bmatrix} -4 & 2 \\ 1 & 6 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\quad \mathbf{x} = \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \\ 7 \end{bmatrix} A= −410261 ,x= 3−27

解答：

• 矩阵 AAA 是 3×23 \times 23×2，向量 x\mathbf{x}x 是 3×13 \times 13×1。
• 矩阵-向量乘法要求矩阵的列数等于向量的行数。
• 此处 AAA 有 2 列，x\mathbf{x}x 有 3 行，不匹配。

结论 ：
矩阵-向量乘积 AxA\mathbf{x}Ax 未定义。

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2.

计算矩阵与向量的乘积 AxA\mathbf{x}Ax：
A=26−1,x=5−1 A = \begin{bmatrix} 2 \\ 6 \\ -1 \end{bmatrix},\quad \mathbf{x} = \begin{bmatrix} 5 \\ -1 \end{bmatrix} A= 26−1 ,x=5−1

解答：

• 矩阵 AAA 是 3×13 \times 13×1，向量 x\mathbf{x}x 是 2×12 \times 12×1。
• 矩阵的列数（1）不等于向量的行数（2）。

结论 ：
矩阵-向量乘积 AxA\mathbf{x}Ax 未定义。

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3.

计算矩阵与向量的乘积 AxA\mathbf{x}Ax：
A=65−4−376,x=2−3 A = \begin{bmatrix} 6 & 5 \\ -4 & -3 \\ 7 & 6 \end{bmatrix},\quad \mathbf{x} = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix} A= 6−475−36 ,x=2−3

解答：

• 矩阵 AAA 是 3×23 \times 23×2，向量 x\mathbf{x}x 是 2×12 \times 12×1，乘法有定义。

• 计算过程：
  Ax=6(2)+5(−3)(−4)(2)+(−3)(−3)7(2)+6(−3)=12−15−8+914−18=−31−4 A\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 6(2) + 5(-3) \\ (-4)(2) + (-3)(-3) \\ 7(2) + 6(-3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 - 15 \\ -8 + 9 \\ 14 - 18 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \\ 1 \\ -4 \end{bmatrix} Ax= 6(2)+5(−3)(−4)(2)+(−3)(−3)7(2)+6(−3) = 12−15−8+914−18 = −31−4

结论 ：
Ax=−31−4 A\mathbf{x} = \begin{bmatrix} -3 \\ 1 \\ -4 \end{bmatrix} Ax= −31−4

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4.

计算矩阵与向量的乘积 AxA\mathbf{x}Ax：
A=83−4512,x=111 A = \begin{bmatrix} 8 & 3 & -4 \\ 5 & 1 & 2 \end{bmatrix},\quad \mathbf{x} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} A=8531−42,x= 111

解答：

• 矩阵 AAA 是 2×32 \times 32×3，向量 x\mathbf{x}x 是 3×13 \times 13×1，乘法有定义。

• 计算过程：
  Ax=8(1)+3(1)+(−4)(1)5(1)+1(1)+2(1)=8+3−45+1+2=78 A\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 8(1) + 3(1) + (-4)(1) \\ 5(1) + 1(1) + 2(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 + 3 - 4 \\ 5 + 1 + 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 8 \end{bmatrix} Ax=8(1)+3(1)+(−4)(1)5(1)+1(1)+2(1)=8+3−45+1+2=78

结论 ：
Ax=78 A\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 7 \\ 8 \end{bmatrix} Ax=78

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5.

将矩阵方程写成向量方程：

51−84−2−73−5\]\[−131−2\]=\[−816\] \\begin{bmatrix} 5 \& 1 \& -8 \& 4 \\\\ -2 \& -7 \& 3 \& -5 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} -1 \\\\ 3 \\\\ 1 \\\\ -2 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} -8 \\\\ 16 \\end{bmatrix} \[5−21−7−834−5\] −131−2 =\[−816

解答：

• 左边是矩阵与向量的乘积，等价于系数矩阵各列与向量对应分量的线性组合。

• 向量方程：
  (−1)5−2+31−7+1−83+(−2)4−5=−816 (-1)\begin{bmatrix} 5 \\ -2 \end{bmatrix} + 3\begin{bmatrix} 1 \\ -7 \end{bmatrix} + 1\begin{bmatrix} -8 \\ 3 \end{bmatrix} + (-2)\begin{bmatrix} 4 \\ -5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -8 \\ 16 \end{bmatrix} (−1)5−2+31−7+1−83+(−2)4−5=−816

结论 ：
向量方程为 ：
−15−2+31−7+1−83−24−5=−816 -1\begin{bmatrix} 5 \\ -2 \end{bmatrix} + 3\begin{bmatrix} 1 \\ -7 \end{bmatrix} + 1\begin{bmatrix} -8 \\ 3 \end{bmatrix} - 2\begin{bmatrix} 4 \\ -5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -8 \\ 16 \end{bmatrix} −15−2+31−7+1−83−24−5=−816

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6.

将矩阵方程写成向量方程：
7−3219−6−32−2−5=1−912−4 \begin{bmatrix} 7 & -3 \\ 2 & 1 \\ 9 & -6 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 \\ -5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -9 \\ 12 \\ -4 \end{bmatrix} 729−3−31−62 −2−5= 1−912−4

解答：

• 向量方程：
  (−2)729−3+(−5)−31−62=1−912−4 (-2)\begin{bmatrix} 7 \\ 2 \\ 9 \\ -3 \end{bmatrix} + (-5)\begin{bmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -9 \\ 12 \\ -4 \end{bmatrix} (−2) 729−3 +(−5) −31−62 = 1−912−4

结论 ：
向量方程为 ：
−2729−3−5−31−62=1−912−4 -2\begin{bmatrix} 7 \\ 2 \\ 9 \\ -3 \end{bmatrix} -5\begin{bmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -9 \\ 12 \\ -4 \end{bmatrix} −2 729−3 −5 −31−62 = 1−912−4

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7.

将向量方程写成矩阵方程：
x14−17−4+x2−53−51+x37−802=6−80−7 x_1\begin{bmatrix} 4 \\ -1 \\ 7 \\ -4 \end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix} -5 \\ 3 \\ -5 \\ 1 \end{bmatrix} + x_3\begin{bmatrix} 7 \\ -8 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ -8 \\ 0 \\ -7 \end{bmatrix} x1 4−17−4 +x2 −53−51 +x3 7−802 = 6−80−7

解答：

• 矩阵 AAA 的列为给定的三个向量，变量向量 x=x1,x2,x3T\mathbf{x} = x_1, x_2, x_3^Tx=x1,x2,x3T，右侧为常数向量。

• 矩阵方程：
  4−57−13−87−50−412x1x2x3=6−80−7 \begin{bmatrix} 4 & -5 & 7 \\ -1 & 3 & -8 \\ 7 & -5 & 0 \\ -4 & 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ -8 \\ 0 \\ -7 \end{bmatrix} 4−17−4−53−517−802 x1x2x3 = 6−80−7

结论 ：
矩阵方程为 ：
4−57−13−87−50−412x1x2x3=6−80−7 \begin{bmatrix} 4 & -5 & 7 \\ -1 & 3 & -8 \\ 7 & -5 & 0 \\ -4 & 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ -8 \\ 0 \\ -7 \end{bmatrix} 4−17−4−53−517−802 x1x2x3 = 6−80−7

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8.

将向量方程写成矩阵方程：
z14−2+z2−45+z3−54+z430=413 z_1\begin{bmatrix} 4 \\ -2 \end{bmatrix} + z_2\begin{bmatrix} -4 \\ 5 \end{bmatrix} + z_3\begin{bmatrix} -5 \\ 4 \end{bmatrix} + z_4\begin{bmatrix} 3 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 13 \end{bmatrix} z14−2+z2−45+z3−54+z430=413

解答：

• 矩阵 AAA 的列为四个向量，变量向量 z=z1,z2,z3,z4T\mathbf{z} = z_1, z_2, z_3, z_4^Tz=z1,z2,z3,z4T。

• 矩阵方程：

  4−4−53−2540\]\[z1z2z3z4\]=\[413\] \\begin{bmatrix} 4 \& -4 \& -5 \& 3 \\\\ -2 \& 5 \& 4 \& 0 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} z_1 \\\\ z_2 \\\\ z_3 \\\\ z_4 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 4 \\\\ 13 \\end{bmatrix} \[4−2−45−5430\] z1z2z3z4 =\[413

结论 ：
矩阵方程为 ：

4−4−53−2540\]\[z1z2z3z4\]=\[413\] \\begin{bmatrix} 4 \& -4 \& -5 \& 3 \\\\ -2 \& 5 \& 4 \& 0 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} z_1 \\\\ z_2 \\\\ z_3 \\\\ z_4 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 4 \\\\ 13 \\end{bmatrix} \[4−2−45−5430\] z1z2z3z4 =\[413

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9.

将线性方程组写成矩阵方程：
{3x1+x2−5x3=9x2+4x3=0 \begin{cases} 3x_1 + x_2 - 5x_3 = 9 \\ x_2 + 4x_3 = 0 \end{cases} {3x1+x2−5x3=9x2+4x3=0

解答：

• 系数矩阵 AAA、变量向量 x\mathbf{x}x 和常数向量 b\mathbf{b}b：
  A=31−5014,x=x1x2x3,b=90 A = \begin{bmatrix} 3 & 1 & -5 \\ 0 & 1 & 4 \end{bmatrix},\quad \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix},\quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 9 \\ 0 \end{bmatrix} A=3011−54,x= x1x2x3 ,b=90

• 矩阵方程：

  31−5014\]\[x1x2x3\]=\[90\] \\begin{bmatrix} 3 \& 1 \& -5 \\\\ 0 \& 1 \& 4 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} x_1 \\\\ x_2 \\\\ x_3 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 9 \\\\ 0 \\end{bmatrix} \[3011−54\] x1x2x3 =\[90

结论 ：
矩阵方程为 ：

31−5014\]\[x1x2x3\]=\[90\] \\begin{bmatrix} 3 \& 1 \& -5 \\\\ 0 \& 1 \& 4 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} x_1 \\\\ x_2 \\\\ x_3 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 9 \\\\ 0 \\end{bmatrix} \[3011−54\] x1x2x3 =\[90

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10.

将线性方程组写成矩阵方程：
{8x1−x2=45x1+4x2=1x1−3x2=2 \begin{cases} 8x_1 - x_2 = 4 \\ 5x_1 + 4x_2 = 1 \\ x_1 - 3x_2 = 2 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧8x1−x2=45x1+4x2=1x1−3x2=2

解答：

• 系数矩阵 AAA、变量向量 x\mathbf{x}x 和常数向量 b\mathbf{b}b：
  A=8−1541−3,x=x1x2,b=412 A = \begin{bmatrix} 8 & -1 \\ 5 & 4 \\ 1 & -3 \end{bmatrix},\quad \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix},\quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} A= 851−14−3 ,x=x1x2,b= 412

• 矩阵方程：
  8−1541−3x1x2=412 \begin{bmatrix} 8 & -1 \\ 5 & 4 \\ 1 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} 851−14−3 x1x2= 412

结论 ：
矩阵方程为 ：
8−1541−3x1x2=412 \begin{bmatrix} 8 & -1 \\ 5 & 4 \\ 1 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} 851−14−3 x1x2= 412

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11.

给定 A=124015−2−4−3A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 5 \\ -2 & -4 & -3 \end{bmatrix}A= 10−221−445−3 ，b=−229\mathbf{b} = \begin{bmatrix} -2 \\ 2 \\ 9 \end{bmatrix}b= −229 ，写出对应于矩阵方程 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 的增广矩阵并求解。

解答：

• 增广矩阵：
  124−20152−2−4−39 \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 & -2 \\ 0 & 1 & 5 & 2 \\ -2 & -4 & -3 & 9 \end{bmatrix} 10−221−445−3−229

• 行变换过程：

  1. R3←R3+2R1R_3 \leftarrow R_3 + 2R_1R3←R3+2R1：
     124−201520055 \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 & -2 \\ 0 & 1 & 5 & 2 \\ 0 & 0 & 5 & 5 \end{bmatrix} 100210455−225

  2. R3←15R3R_3 \leftarrow \frac{1}{5}R_3R3←51R3：
     124−201520011 \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 & -2 \\ 0 & 1 & 5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} 100210451−221

  3. R2←R2−5R3R_2 \leftarrow R_2 - 5R_3R2←R2−5R3，R1←R1−4R3R_1 \leftarrow R_1 - 4R_3R1←R1−4R3：
     120−6010−30011 \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & -6 \\ 0 & 1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} 100210001−6−31

  4. R1←R1−2R2R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2R1←R1−2R2：
     1000010−30011 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} 1000100010−31

• 解得 ：
  x1=0x_1 = 0x1=0，x2=−3x_2 = -3x2=−3，x3=1x_3 = 1x3=1

结论 ：
解为 x=0−31\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 0 \\ -3 \\ 1 \end{bmatrix}x= 0−31。

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12.

给定 A=121−3−12053A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -3 & -1 & 2 \\ 0 & 5 & 3 \end{bmatrix}A= 1−302−15123 ，b=01−1\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}b= 01−1 ，求解矩阵方程 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b。

解答：

• 增广矩阵：
  1210−3−121053−1 \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ -3 & -1 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & 3 & -1 \end{bmatrix} 1−302−1512301−1

• 行变换过程：

  1. R2←R2+3R1R_2 \leftarrow R_2 + 3R_1R2←R2+3R1：
     12100551053−1 \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 5 & 1 \\ 0 & 5 & 3 & -1 \end{bmatrix} 10025515301−1

  2. R3←R3−R2R_3 \leftarrow R_3 - R_2R3←R3−R2：
     1210055100−2−2 \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & -2 \end{bmatrix} 10025015−201−2

  3. R3←−12R3R_3 \leftarrow -\frac{1}{2}R_3R3←−21R3：
     121005510011 \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} 100250151011

  4. R2←15R2R_2 \leftarrow \frac{1}{5}R_2R2←51R2：
     1210011150011 \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & \frac{1}{5} \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} 1002101110511

  5. R2←R2−R3R_2 \leftarrow R_2 - R_3R2←R2−R3，R1←R1−R3R_1 \leftarrow R_1 - R_3R1←R1−R3：
     120−1010−450011 \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{4}{5} \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} 100210001−1−541

  6. R1←R1−2R2R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2R1←R1−2R2：
     10035010−450011 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \frac{3}{5} \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{4}{5} \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} 10001000153−541

• 解得 ：
  x1=35,x2=−45,x3=1 x_1 = \frac{3}{5},\quad x_2 = -\frac{4}{5},\quad x_3 = 1 x1=53,x2=−54,x3=1

结论 ：
解为 x=35−451\mathbf{x} = \begin{bmatrix} \frac{3}{5} \\ -\frac{4}{5} \\ 1 \end{bmatrix}x= 53−541。

---

13.

设 u=044\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 0 \\ 4 \\ 4 \end{bmatrix}u= 044 ，A=3−5−2611A = \begin{bmatrix} 3 & -5 \\ -2 & 6 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}A= 3−21−561 ，u\mathbf{u}u 是否在由 AAA 的列所生成的 R3\mathbb{R}^3R3 的子集中？为什么？

解答：

• u\mathbf{u}u 在 Span{a1,a2}\text{Span}\{\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2\}Span{a1,a2} 中当且仅当方程 Ax=uA\mathbf{x} = \mathbf{u}Ax=u 有解。

• 增广矩阵：
  3−50−264114 \begin{bmatrix} 3 & -5 & 0 \\ -2 & 6 & 4 \\ 1 & 1 & 4 \end{bmatrix} 3−21−561044

• 行变换过程：

  1. R1↔R3R_1 \leftrightarrow R_3R1↔R3：
     114−2643−50 \begin{bmatrix} 1 & 1 & 4 \\ -2 & 6 & 4 \\ 3 & -5 & 0 \end{bmatrix} 1−2316−5440

  2. R2←R2+2R1R_2 \leftarrow R_2 + 2R_1R2←R2+2R1，R3←R3−3R1R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1R3←R3−3R1：
     11408120−8−12 \begin{bmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 0 & 8 & 12 \\ 0 & -8 & -12 \end{bmatrix} 10018−8412−12

  3. R3←R3+R2R_3 \leftarrow R_3 + R_2R3←R3+R2：
     1140812000 \begin{bmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 0 & 8 & 12 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} 1001804120

  4. R2←18R2R_2 \leftarrow \frac{1}{8}R_2R2←81R2，R1←R1−R2R_1 \leftarrow R_1 - R_2R1←R1−R2：
     10520132000 \begin{bmatrix} 1 & 0 & \frac{5}{2} \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} 10001025230

• 相容性分析：

  • 无矛盾行，方程组有解。

  • 解为 x1=52x_1 = \frac{5}{2}x1=25，x2=32x_2 = \frac{3}{2}x2=23。

  • 验证：
    523−21+32−561=044 \frac{5}{2}\begin{bmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix} + \frac{3}{2}\begin{bmatrix} -5 \\ 6 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 4 \\ 4 \end{bmatrix} 25 3−21 +23 −561 = 044

结论 ：
u\mathbf{u}u 在由 AAA 的列所生成的子集中 ，因为方程组 Ax=uA\mathbf{x} = \mathbf{u}Ax=u 有解。

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14.

设 u=2−32\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \\ 2 \end{bmatrix}u= 2−32 ，A=58701−1130A = \begin{bmatrix} 5 & 8 & 7 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & 0 \end{bmatrix}A= 5018137−10 ，u\mathbf{u}u 是否在由 AAA 的列所生成的 R3\mathbb{R}^3R3 的子集中？为什么？

解答：

• u\mathbf{u}u 在 Span{a1,a2,a3}\text{Span}\{\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3\}Span{a1,a2,a3} 中当且仅当方程 Ax=uA\mathbf{x} = \mathbf{u}Ax=u 有解。

• 增广矩阵：
  587201−1−31302 \begin{bmatrix} 5 & 8 & 7 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & -3 \\ 1 & 3 & 0 & 2 \end{bmatrix} 5018137−102−32

• 行变换过程：

  1. R1↔R3R_1 \leftrightarrow R_3R1↔R3：
     130201−1−35872 \begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & -3 \\ 5 & 8 & 7 & 2 \end{bmatrix} 1053180−172−32

  2. R3←R3−5R1R_3 \leftarrow R_3 - 5R_1R3←R3−5R1：
     130201−1−30−77−8 \begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & -3 \\ 0 & -7 & 7 & -8 \end{bmatrix} 10031−70−172−3−8

  3. R3←R3+7R2R_3 \leftarrow R_3 + 7R_2R3←R3+7R2：
     130201−1−3000−29 \begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & -29 \end{bmatrix} 1003100−102−3−29

• 矛盾分析：

  • 第三行对应方程 0x1+0x2+0x3=−290x_1 + 0x_2 + 0x_3 = -290x1+0x2+0x3=−29，即 0=−290 = -290=−29，为矛盾方程。
  • 该矛盾表明方程组无解。

结论 ：
u\mathbf{u}u 不在由 AAA 的列所生成的子集中 ，因为方程组 Ax=uA\mathbf{x} = \mathbf{u}Ax=u 无解。

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15.

设 A=2−1−63A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -6 & 3 \end{bmatrix}A=2−6−13，b=b1b2\mathbf{b} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix}b=b1b2，证明方程 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 对一切 b\mathbf{b}b 都相容，并说明使 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 相容的所有向量 b\mathbf{b}b 的集合。

解答：

• 增广矩阵：

  2−1b1−63b2\] \\begin{bmatrix} 2 \& -1 \& b_1 \\\\ -6 \& 3 \& b_2 \\end{bmatrix} \[2−6−13b1b2

• 行变换过程：

  1. R2←R2+3R1R_2 \leftarrow R_2 + 3R_1R2←R2+3R1：

     2−1b100b2+3b1\] \\begin{bmatrix} 2 \& -1 \& b_1 \\\\ 0 \& 0 \& b_2 + 3b_1 \\end{bmatrix} \[20−10b1b2+3b1

• 方程组相容当且仅当 b2+3b1=0b_2 + 3b_1 = 0b2+3b1=0，即 b2=−3b1b_2 = -3b_1b2=−3b1。

结论 ：
方程 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 并非对一切 b\mathbf{b}b 都相容 。
相容的 b\mathbf{b}b 的集合是所有满足 b2=−3b1b_2 = -3b_1b2=−3b1 的向量，即一条通过原点的直线。

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16.

设 A=1−3−4−3265−1−8A = \begin{bmatrix} 1 & -3 & -4 \\ -3 & 2 & 6 \\ 5 & -1 & -8 \end{bmatrix}A= 1−35−32−1−46−8 ，b=b1b2b3\mathbf{b} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix}b= b1b2b3 ，重复 15 题。

解答：

• 增广矩阵：
  1−3−4b1−326b25−1−8b3 \begin{bmatrix} 1 & -3 & -4 & b_1 \\ -3 & 2 & 6 & b_2 \\ 5 & -1 & -8 & b_3 \end{bmatrix} 1−35−32−1−46−8b1b2b3

• 行变换过程：

  1. R2←R2+3R1R_2 \leftarrow R_2 + 3R_1R2←R2+3R1，R3←R3−5R1R_3 \leftarrow R_3 - 5R_1R3←R3−5R1：
     1−3−4b10−7−6b2+3b101412b3−5b1 \begin{bmatrix} 1 & -3 & -4 & b_1 \\ 0 & -7 & -6 & b_2 + 3b_1 \\ 0 & 14 & 12 & b_3 - 5b_1 \end{bmatrix} 100−3−714−4−612b1b2+3b1b3−5b1

  2. R3←R3+2R2R_3 \leftarrow R_3 + 2R_2R3←R3+2R2：
     1−3−4b10−7−6b2+3b1000b3−5b1+2(b2+3b1)=1−3−4b10−7−6b2+3b1000b1+2b2+b3 \begin{bmatrix} 1 & -3 & -4 & b_1 \\ 0 & -7 & -6 & b_2 + 3b_1 \\ 0 & 0 & 0 & b_3 - 5b_1 + 2(b_2 + 3b_1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -3 & -4 & b_1 \\ 0 & -7 & -6 & b_2 + 3b_1 \\ 0 & 0 & 0 & b_1 + 2b_2 + b_3 \end{bmatrix} 100−3−70−4−60b1b2+3b1b3−5b1+2(b2+3b1) = 100−3−70−4−60b1b2+3b1b1+2b2+b3

• 方程组相容当且仅当 b1+2b2+b3=0b_1 + 2b_2 + b_3 = 0b1+2b2+b3=0。

结论 ：
方程 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 相容当且仅当 b1+2b2+b3=0b_1 + 2b_2 + b_3 = 0b1+2b2+b3=0 。
相容的 b\mathbf{b}b 的集合是一个通过原点的平面。

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17.
AAA 中有多少行包含主元位置？方程 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 是否对 R4\mathbb{R}^4R4 中的每个 b\mathbf{b}b 都有解？

解答：

• 给定矩阵 AAA 为 4×44 \times 44×4 矩阵：
  A=1303−1−1−110−42−8203−1 A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 & 3 \\ -1 & -1 & -1 & 1 \\ 0 & -4 & 2 & -8 \\ 2 & 0 & 3 & -1 \end{bmatrix} A= 1−1023−1−400−12331−8−1

• 行变换过程：

  1. R2←R2+R1R_2 \leftarrow R_2 + R_1R2←R2+R1，R4←R4−2R1R_4 \leftarrow R_4 - 2R_1R4←R4−2R1：
     130302−140−42−80−63−7 \begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 & 3 \\ 0 & 2 & -1 & 4 \\ 0 & -4 & 2 & -8 \\ 0 & -6 & 3 & -7 \end{bmatrix} 100032−4−60−12334−8−7

  2. R3←R3+2R2R_3 \leftarrow R_3 + 2R_2R3←R3+2R2，R4←R4+3R2R_4 \leftarrow R_4 + 3R_2R4←R4+3R2：
     130302−1400000005 \begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 & 3 \\ 0 & 2 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} 100032000−1003405

  3. 交换 R3R_3R3 和 R4R_4R4：
     130302−1400050000 \begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 & 3 \\ 0 & 2 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} 100032000−1003450

• 主元位置分析：

  • 第 1 行：第 1 列
  • 第 2 行：第 2 列
  • 第 3 行：第 4 列
  • 总共有 3 个主元位置。

结论：

• AAA 有 3 行包含主元位置。
• 由于 AAA 是 4×44 \times 44×4 矩阵但只有 3 个主元，根据定理 4 ，方程 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 不是对 R4\mathbb{R}^4R4 中的每个 b\mathbf{b}b 都有解 。只有当 b\mathbf{b}b 属于 AAA 的列空间时方程才有解。

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18.
BBB 的列是否可以生成 R4\mathbb{R}^4R4？方程 Bx=yB\mathbf{x} = \mathbf{y}Bx=y 是否对 R4\mathbb{R}^4R4 中的每个 y\mathbf{y}y 都有解？

解答：

• 给定矩阵 BBB 为 4×44 \times 44×4 矩阵：
  B=13−22011−512−37−2−82−1 B = \begin{bmatrix} 1 & 3 & -2 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & -5 \\ 1 & 2 & -3 & 7 \\ -2 & -8 & 2 & -1 \end{bmatrix} B= 101−2312−8−21−322−57−1

• 行变换过程：

  1. R3←R3−R1R_3 \leftarrow R_3 - R_1R3←R3−R1，R4←R4+2R1R_4 \leftarrow R_4 + 2R_1R4←R4+2R1：
     13−22011−50−1−150−2−23 \begin{bmatrix} 1 & 3 & -2 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & -5 \\ 0 & -1 & -1 & 5 \\ 0 & -2 & -2 & 3 \end{bmatrix} 100031−1−2−21−1−22−553

  2. R3←R3+R2R_3 \leftarrow R_3 + R_2R3←R3+R2，R4←R4+2R2R_4 \leftarrow R_4 + 2R_2R4←R4+2R2：
     13−22011−50000000−7 \begin{bmatrix} 1 & 3 & -2 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -7 \end{bmatrix} 10003100−21002−50−7

  3. R4↔R3R_4 \leftrightarrow R_3R4↔R3：
     13−22011−5000−70000 \begin{bmatrix} 1 & 3 & -2 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} 10003100−21002−5−70

• 主元位置分析：

  • 第 1 行：第 1 列
  • 第 2 行：第 2 列
  • 第 3 行：第 4 列
  • 总共有 3 个主元位置。

结论：

• BBB 只有 3 行包含主元位置。
• 由于 BBB 是 4×44 \times 44×4 矩阵但秩为 3，根据定理 4 ，BBB 的列不能生成 R4\mathbb{R}^4R4。
• 方程 Bx=yB\mathbf{x} = \mathbf{y}Bx=y 不是对 R4\mathbb{R}^4R4 中的每个 y\mathbf{y}y 都有解。

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19.
R4\mathbb{R}^4R4 中的每个向量都可以写成矩阵 AAA 的列的线性组合吗？AAA 的列是否可以生成 R4\mathbb{R}^4R4？

解答：

• 由第 17 题可知，矩阵 AAA 为 4×44 \times 44×4 矩阵：
  A=1303−1−1−110−42−8203−1 A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 & 3 \\ -1 & -1 & -1 & 1 \\ 0 & -4 & 2 & -8 \\ 2 & 0 & 3 & -1 \end{bmatrix} A= 1−1023−1−400−12331−8−1

• 通过行变换已证明 AAA 有 3 个主元位置，秩为 3。

• 根据定理 4 ，m×nm \times nm×n 矩阵 AAA 的列生成 Rm\mathbb{R}^mRm 当且仅当 AAA 有 mmm 个主元位置。

• 此处 m=4m = 4m=4，但 AAA 只有 3 个主元位置。

结论：

• R4\mathbb{R}^4R4 中并非每个向量都可以写成 AAA 的列的线性组合。
• AAA 的列不能生成 R4\mathbb{R}^4R4 ，因为 AAA 的列空间是 R4\mathbb{R}^4R4 的一个 3 维子空间。
• 具体地，AAA 的列向量线性相关（第 3 列可由第 1、2、4 列线性表示），无法张成整个 R4\mathbb{R}^4R4。

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20.
R4\mathbb{R}^4R4 中的每个向量都可以写成矩阵 BBB 的列的线性组合吗？BBB 的列是否可以生成 R3\mathbb{R}^3R3？

解答：

• 由第 18 题可知，BBB 是 4×44 \times 44×4 矩阵且秩为 3。
• 第一部分 ：R4\mathbb{R}^4R4 中的每个向量是否都可以写成 BBB 的列的线性组合？
  • 根据定理 4 ，BBB 的列生成 R4\mathbb{R}^4R4 当且仅当 BBB 有 4 个主元。
  • 但 BBB 只有 3 个主元，因此 BBB 的列不能生成 R4\mathbb{R}^4R4。
• 第二部分 ：BBB 的列是否可以生成 R3\mathbb{R}^3R3？
  • 这是一个常见误解。BBB 的列向量属于 R4\mathbb{R}^4R4，而 R3\mathbb{R}^3R3 是一个不同的向量空间。
  • BBB 的列可以生成 R4\mathbb{R}^4R4 的一个 3 维子空间，但不能生成 R3\mathbb{R}^3R3 ，因为 R4\mathbb{R}^4R4 与 R3\mathbb{R}^3R3 是不同的空间。

结论：

• R4\mathbb{R}^4R4 中并非每个向量都可以写成 BBB 的列的线性组合。
• BBB 的列不能生成 R3\mathbb{R}^3R3 （因为它们属于 R4\mathbb{R}^4R4，而 R3\mathbb{R}^3R3 是另一个空间）。