线性代数及其应用习题答案(中文版)第一章线性代数中的线性方程组 1.4 矩阵方程Ax=b(1)

1.4

练习题

1.

设 A=[15−20−3−19−54−8−17]A = \begin{bmatrix} 1 & 5 & -2 & 0 \\ -3 & -1 & 9 & -5 \\ 4 & -8 & -1 & 7 \end{bmatrix}A= 1−345−1−8−29−10−57 ，p=[3−20−4]\mathbf{p} = \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \\ 0 \\ -4 \end{bmatrix}p= 3−20−4 ，b=[−790]\mathbf{b} = \begin{bmatrix} -7 \\ 9 \\ 0 \end{bmatrix}b= −790 ，可以证明 p\mathbf{p}p 是 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 的一个解。应用这个事实把 b\mathbf{b}b 表示为 AAA 的列的线性组合。

解答：

由 Ap=bA\mathbf{p} = \mathbf{b}Ap=b，有：
b=Ap=p1a1+p2a2+p3a3+p4a4 \mathbf{b} = A\mathbf{p} = p_1\mathbf{a}_1 + p_2\mathbf{a}_2 + p_3\mathbf{a}_3 + p_4\mathbf{a}_4 b=Ap=p1a1+p2a2+p3a3+p4a4
其中 a1,a2,a3,a4\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3, \mathbf{a}_4a1,a2,a3,a4 是 AAA 的列向量，p=(3,−2,0,−4)T\mathbf{p} = (3, -2, 0, -4)^Tp=(3,−2,0,−4)T
因此：
b=3a1−2a2+0a3−4a4 \mathbf{b} = 3\mathbf{a}_1 - 2\mathbf{a}_2 + 0\mathbf{a}_3 - 4\mathbf{a}_4 b=3a1−2a2+0a3−4a4

结论：
b\mathbf{b}b 是 AAA 的列向量的线性组合：b=3a1−2a2−4a4\mathbf{b} = 3\mathbf{a}_1 - 2\mathbf{a}_2 - 4\mathbf{a}_4b=3a1−2a2−4a4。

2.

设 A=[2531]A = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}A=[2351]，u=[−41]\mathbf{u} = \begin{bmatrix} -4 \\ 1 \end{bmatrix}u=[−41]，v=[−35]\mathbf{v} = \begin{bmatrix} -3 \\ 5 \end{bmatrix}v=[−35]，通过计算矩阵 A(u+v)A(\mathbf{u} + \mathbf{v})A(u+v) 和 Au+AvA\mathbf{u} + A\mathbf{v}Au+Av 来验证定理 5(a)。

解答：

计算 u+v\mathbf{u} + \mathbf{v}u+v：
u+v=[−41]+[−35]=[−76] \mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{bmatrix} -4 \\ 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -3 \\ 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 \\ 6 \end{bmatrix} u+v=[−41]+[−35]=[−76]
计算 A(u+v)A(\mathbf{u} + \mathbf{v})A(u+v)：
A(u+v)=[2531][−76]=[2(−7)+5(6)3(−7)+1(6)]=[16−15] A(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -7 \\ 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2(-7) + 5(6) \\ 3(-7) + 1(6) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 16 \\ -15 \end{bmatrix} A(u+v)=[2351][−76]=[2(−7)+5(6)3(−7)+1(6)]=[16−15]
计算 AuA\mathbf{u}Au 和 AvA\mathbf{v}Av：
Au=[2531][−41]=[2(−4)+5(1)3(−4)+1(1)]=[−3−11] A\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -4 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2(-4) + 5(1) \\ 3(-4) + 1(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \\ -11 \end{bmatrix} Au=[2351][−41]=[2(−4)+5(1)3(−4)+1(1)]=[−3−11]

Av=[2531][−35]=[2(−3)+5(5)3(−3)+1(5)]=[19−4] A\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -3 \\ 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2(-3) + 5(5) \\ 3(-3) + 1(5) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 \\ -4 \end{bmatrix} Av=[2351][−35]=[2(−3)+5(5)3(−3)+1(5)]=[19−4]
计算 Au+AvA\mathbf{u} + A\mathbf{v}Au+Av：
Au+Av=[−3−11]+[19−4]=[16−15] A\mathbf{u} + A\mathbf{v} = \begin{bmatrix} -3 \\ -11 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 19 \\ -4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 16 \\ -15 \end{bmatrix} Au+Av=[−3−11]+[19−4]=[16−15]

结论：
A(u+v)=Au+AvA(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = A\mathbf{u} + A\mathbf{v}A(u+v)=Au+Av，验证了定理 5(a)。

3.

构造一个 3×33 \times 33×3 的矩阵 AAA 且使得 b\mathbf{b}b 和 c∈R3\mathbf{c} \in \mathbb{R}^3c∈R3，使得 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 有一个解，但 Ax=cA\mathbf{x} = \mathbf{c}Ax=c 无解。

构造示例 ：

令
A=[101011000],b=[320],c=[321] A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix},\quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix},\quad \mathbf{c} = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} A= 100010110 ,b= 320 ,c= 321

验证：

对于 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b：

增广矩阵：
$101301120000\] \\begin{bmatrix} 1 \& 0 \& 1 \& 3 \\\\ 0 \& 1 \& 1 \& 2 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 0 \\end{bmatrix} 100010110320 相容，有解（例如 x1=3,x2=2,x3=0x_1 = 3, x_2 = 2, x_3 = 0x1=3,x2=2,x3=0）。$
增广矩阵：
$101301120001\] \\begin{bmatrix} 1 \& 0 \& 1 \& 3 \\\\ 0 \& 1 \& 1 \& 2 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 1 \\end{bmatrix} 100010110321 第三行对应方程 0=10 = 10=1，矛盾，无解。$

矩阵 A=[101011000]A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}A= 100010110 ，b=[320]\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}b= 320 ，c=[321]\mathbf{c} = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}c= 321 满足条件。

习题 1.4

1.

计算矩阵与向量的乘积 AxA\mathbf{x}Ax：
A=[−421601],x=[3−27] A = \begin{bmatrix} -4 & 2 \\ 1 & 6 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\quad \mathbf{x} = \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \\ 7 \end{bmatrix} A= −410261 ,x= 3−27

解答：

矩阵 AAA 是 3×23 \times 23×2，向量 x\mathbf{x}x 是 3×13 \times 13×1。
矩阵-向量乘法要求矩阵的列数等于向量的行数。
此处 AAA 有 2 列，x\mathbf{x}x 有 3 行，不匹配。

结论：
矩阵-向量乘积 AxA\mathbf{x}Ax 未定义。

2.

计算矩阵与向量的乘积 AxA\mathbf{x}Ax：
A=[26−1],x=[5−1] A = \begin{bmatrix} 2 \\ 6 \\ -1 \end{bmatrix},\quad \mathbf{x} = \begin{bmatrix} 5 \\ -1 \end{bmatrix} A= 26−1 ,x=[5−1]

解答：

矩阵 AAA 是 3×13 \times 13×1，向量 x\mathbf{x}x 是 2×12 \times 12×1。
矩阵的列数（1）不等于向量的行数（2）。

结论：
矩阵-向量乘积 AxA\mathbf{x}Ax 未定义。

3.

计算矩阵与向量的乘积 AxA\mathbf{x}Ax：
A=[65−4−376],x=[2−3] A = \begin{bmatrix} 6 & 5 \\ -4 & -3 \\ 7 & 6 \end{bmatrix},\quad \mathbf{x} = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix} A= 6−475−36 ,x=[2−3]

解答：

矩阵 AAA 是 3×23 \times 23×2，向量 x\mathbf{x}x 是 2×12 \times 12×1，乘法有定义。
计算过程：
Ax=[6(2)+5(−3)(−4)(2)+(−3)(−3)7(2)+6(−3)]=[12−15−8+914−18]=[−31−4] A\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 6(2) + 5(-3) \\ (-4)(2) + (-3)(-3) \\ 7(2) + 6(-3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 - 15 \\ -8 + 9 \\ 14 - 18 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \\ 1 \\ -4 \end{bmatrix} Ax= 6(2)+5(−3)(−4)(2)+(−3)(−3)7(2)+6(−3) = 12−15−8+914−18 = −31−4

结论：
Ax=[−31−4] A\mathbf{x} = \begin{bmatrix} -3 \\ 1 \\ -4 \end{bmatrix} Ax= −31−4

4.

计算矩阵与向量的乘积 AxA\mathbf{x}Ax：
A=[83−4512],x=[111] A = \begin{bmatrix} 8 & 3 & -4 \\ 5 & 1 & 2 \end{bmatrix},\quad \mathbf{x} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} A=[8531−42],x= 111

解答：

矩阵 AAA 是 2×32 \times 32×3，向量 x\mathbf{x}x 是 3×13 \times 13×1，乘法有定义。
计算过程：
Ax=[8(1)+3(1)+(−4)(1)5(1)+1(1)+2(1)]=[8+3−45+1+2]=[78] A\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 8(1) + 3(1) + (-4)(1) \\ 5(1) + 1(1) + 2(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 + 3 - 4 \\ 5 + 1 + 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 8 \end{bmatrix} Ax=[8(1)+3(1)+(−4)(1)5(1)+1(1)+2(1)]=[8+3−45+1+2]=[78]

结论：
Ax=[78] A\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 7 \\ 8 \end{bmatrix} Ax=[78]

5.

将矩阵方程写成向量方程：
$51−84−2−73−5\]\[−131−2\]=\[−816\] \\begin{bmatrix} 5 \& 1 \& -8 \& 4 \\\\ -2 \& -7 \& 3 \& -5 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} -1 \\\\ 3 \\\\ 1 \\\\ -2 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} -8 \\\\ 16 \\end{bmatrix} \[5−21−7−834−5\] −131−2 =\[−816$

解答：

左边是矩阵与向量的乘积，等价于系数矩阵各列与向量对应分量的线性组合。
向量方程：
(−1)[5−2]+3[1−7]+1[−83]+(−2)[4−5]=[−816] (-1)\begin{bmatrix} 5 \\ -2 \end{bmatrix} + 3\begin{bmatrix} 1 \\ -7 \end{bmatrix} + 1\begin{bmatrix} -8 \\ 3 \end{bmatrix} + (-2)\begin{bmatrix} 4 \\ -5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -8 \\ 16 \end{bmatrix} (−1)[5−2]+3[1−7]+1[−83]+(−2)[4−5]=[−816]

结论：
向量方程为 ：
−1[5−2]+3[1−7]+1[−83]−2[4−5]=[−816] -1\begin{bmatrix} 5 \\ -2 \end{bmatrix} + 3\begin{bmatrix} 1 \\ -7 \end{bmatrix} + 1\begin{bmatrix} -8 \\ 3 \end{bmatrix} - 2\begin{bmatrix} 4 \\ -5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -8 \\ 16 \end{bmatrix} −1[5−2]+3[1−7]+1[−83]−2[4−5]=[−816]

6.

将矩阵方程写成向量方程：
$7−3219−6−32\]\[−2−5\]=\[1−912−4\] \\begin{bmatrix} 7 \& -3 \\\\ 2 \& 1 \\\\ 9 \& -6 \\\\ -3 \& 2 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} -2 \\\\ -5 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 1 \\\\ -9 \\\\ 12 \\\\ -4 \\end{bmatrix} 729−3−31−62 \[−2−5\]= 1−912−4$

解答：

向量方程：
(−2)[729−3]+(−5)[−31−62]=[1−912−4] (-2)\begin{bmatrix} 7 \\ 2 \\ 9 \\ -3 \end{bmatrix} + (-5)\begin{bmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -9 \\ 12 \\ -4 \end{bmatrix} (−2) 729−3 +(−5) −31−62 = 1−912−4

结论：
向量方程为 ：
−2[729−3]−5[−31−62]=[1−912−4] -2\begin{bmatrix} 7 \\ 2 \\ 9 \\ -3 \end{bmatrix} -5\begin{bmatrix} -3 \\ 1 \\ -6 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -9 \\ 12 \\ -4 \end{bmatrix} −2 729−3 −5 −31−62 = 1−912−4

7.

将向量方程写成矩阵方程：
x1[4−17−4]+x2[−53−51]+x3[7−802]=[6−80−7] x_1\begin{bmatrix} 4 \\ -1 \\ 7 \\ -4 \end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix} -5 \\ 3 \\ -5 \\ 1 \end{bmatrix} + x_3\begin{bmatrix} 7 \\ -8 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ -8 \\ 0 \\ -7 \end{bmatrix} x1 4−17−4 +x2 −53−51 +x3 7−802 = 6−80−7

解答：

矩阵 AAA 的列为给定的三个向量，变量向量 x=[x1,x2,x3]T\mathbf{x} = [x_1, x_2, x_3]^Tx=[x1,x2,x3]T，右侧为常数向量。
矩阵方程：
$4−57−13−87−50−412\]\[x1x2x3\]=\[6−80−7\] \\begin{bmatrix} 4 \& -5 \& 7 \\\\ -1 \& 3 \& -8 \\\\ 7 \& -5 \& 0 \\\\ -4 \& 1 \& 2 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} x_1 \\\\ x_2 \\\\ x_3 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 6 \\\\ -8 \\\\ 0 \\\\ -7 \\end{bmatrix} 4−17−4−53−517−802 x1x2x3 = 6−80−7$

矩阵方程为 ：

4−57−13−87−50−412\]\[x1x2x3\]=\[6−80−7\] \\begin{bmatrix} 4 \& -5 \& 7 \\\\ -1 \& 3 \& -8 \\\\ 7 \& -5 \& 0 \\\\ -4 \& 1 \& 2 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} x_1 \\\\ x_2 \\\\ x_3 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 6 \\\\ -8 \\\\ 0 \\\\ -7 \\end{bmatrix} 4−17−4−53−517−802 x1x2x3 = 6−80−7 *** ** * ** *** > **8.** > > 将向量方程写成矩阵方程： > z1\[4−2\]+z2\[−45\]+z3\[−54\]+z4\[30\]=\[413\] z_1\\begin{bmatrix} 4 \\\\ -2 \\end{bmatrix} + z_2\\begin{bmatrix} -4 \\\\ 5 \\end{bmatrix} + z_3\\begin{bmatrix} -5 \\\\ 4 \\end{bmatrix} + z_4\\begin{bmatrix} 3 \\\\ 0 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 4 \\\\ 13 \\end{bmatrix} z1\[4−2\]+z2\[−45\]+z3\[−54\]+z4\[30\]=\[413

解答：

矩阵 AAA 的列为四个向量，变量向量 z=[z1,z2,z3,z4]T\mathbf{z} = [z_1, z_2, z_3, z_4]^Tz=[z1,z2,z3,z4]T。
矩阵方程：
$4−4−53−2540\]\[z1z2z3z4\]=\[413\] \\begin{bmatrix} 4 \& -4 \& -5 \& 3 \\\\ -2 \& 5 \& 4 \& 0 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} z_1 \\\\ z_2 \\\\ z_3 \\\\ z_4 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 4 \\\\ 13 \\end{bmatrix} \[4−2−45−5430\] z1z2z3z4 =\[413$

结论：
矩阵方程为 ：

4−4−53−2540\]\[z1z2z3z4\]=\[413\] \\begin{bmatrix} 4 \& -4 \& -5 \& 3 \\\\ -2 \& 5 \& 4 \& 0 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} z_1 \\\\ z_2 \\\\ z_3 \\\\ z_4 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 4 \\\\ 13 \\end{bmatrix} \[4−2−45−5430\] z1z2z3z4 =\[413

9.

将线性方程组写成矩阵方程：
{3x1+x2−5x3=9x2+4x3=0 \begin{cases} 3x_1 + x_2 - 5x_3 = 9 \\ x_2 + 4x_3 = 0 \end{cases} {3x1+x2−5x3=9x2+4x3=0

解答：

系数矩阵 AAA、变量向量 x\mathbf{x}x 和常数向量 b\mathbf{b}b：
A=[31−5014],x=[x1x2x3],b=[90] A = \begin{bmatrix} 3 & 1 & -5 \\ 0 & 1 & 4 \end{bmatrix},\quad \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix},\quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 9 \\ 0 \end{bmatrix} A=[3011−54],x= x1x2x3 ,b=[90]
矩阵方程：
$31−5014\]\[x1x2x3\]=\[90\] \\begin{bmatrix} 3 \& 1 \& -5 \\\\ 0 \& 1 \& 4 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} x_1 \\\\ x_2 \\\\ x_3 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 9 \\\\ 0 \\end{bmatrix} \[3011−54\] x1x2x3 =\[90$

结论：
矩阵方程为 ：

31−5014\]\[x1x2x3\]=\[90\] \\begin{bmatrix} 3 \& 1 \& -5 \\\\ 0 \& 1 \& 4 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} x_1 \\\\ x_2 \\\\ x_3 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 9 \\\\ 0 \\end{bmatrix} \[3011−54\] x1x2x3 =\[90

10.

将线性方程组写成矩阵方程：
{8x1−x2=45x1+4x2=1x1−3x2=2 \begin{cases} 8x_1 - x_2 = 4 \\ 5x_1 + 4x_2 = 1 \\ x_1 - 3x_2 = 2 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧8x1−x2=45x1+4x2=1x1−3x2=2

解答：

系数矩阵 AAA、变量向量 x\mathbf{x}x 和常数向量 b\mathbf{b}b：
A=[8−1541−3],x=[x1x2],b=[412] A = \begin{bmatrix} 8 & -1 \\ 5 & 4 \\ 1 & -3 \end{bmatrix},\quad \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix},\quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} A= 851−14−3 ,x=[x1x2],b= 412
矩阵方程：
$8−1541−3\]\[x1x2\]=\[412\] \\begin{bmatrix} 8 \& -1 \\\\ 5 \& 4 \\\\ 1 \& -3 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} x_1 \\\\ x_2 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 4 \\\\ 1 \\\\ 2 \\end{bmatrix} 851−14−3 \[x1x2\]= 412$

矩阵方程为 ：

8−1541−3\]\[x1x2\]=\[412\] \\begin{bmatrix} 8 \& -1 \\\\ 5 \& 4 \\\\ 1 \& -3 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} x_1 \\\\ x_2 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 4 \\\\ 1 \\\\ 2 \\end{bmatrix} 851−14−3 \[x1x2\]= 412 *** ** * ** *** > **11.** > > 给定 A=\[124015−2−4−3\]A = \\begin{bmatrix} 1 \& 2 \& 4 \\\\ 0 \& 1 \& 5 \\\\ -2 \& -4 \& -3 \\end{bmatrix}A= 10−221−445−3 ，b=\[−229\]\\mathbf{b} = \\begin{bmatrix} -2 \\\\ 2 \\\\ 9 \\end{bmatrix}b= −229 ，写出对应于矩阵方程 Ax=bA\\mathbf{x} = \\mathbf{b}Ax=b 的增广矩阵并求解。 **解答**： * 增广矩阵： \[124−20152−2−4−39\] \\begin{bmatrix} 1 \& 2 \& 4 \& -2 \\\\ 0 \& 1 \& 5 \& 2 \\\\ -2 \& -4 \& -3 \& 9 \\end{bmatrix} 10−221−445−3−229 * **行变换过程**： 1. R3←R3+2R1R_3 \\leftarrow R_3 + 2R_1R3←R3+2R1： \[124−201520055\] \\begin{bmatrix} 1 \& 2 \& 4 \& -2 \\\\ 0 \& 1 \& 5 \& 2 \\\\ 0 \& 0 \& 5 \& 5 \\end{bmatrix} 100210455−225 2. R3←15R3R_3 \\leftarrow \\frac{1}{5}R_3R3←51R3： \[124−201520011\] \\begin{bmatrix} 1 \& 2 \& 4 \& -2 \\\\ 0 \& 1 \& 5 \& 2 \\\\ 0 \& 0 \& 1 \& 1 \\end{bmatrix} 100210451−221 3. R2←R2−5R3R_2 \\leftarrow R_2 - 5R_3R2←R2−5R3，R1←R1−4R3R_1 \\leftarrow R_1 - 4R_3R1←R1−4R3： \[120−6010−30011\] \\begin{bmatrix} 1 \& 2 \& 0 \& -6 \\\\ 0 \& 1 \& 0 \& -3 \\\\ 0 \& 0 \& 1 \& 1 \\end{bmatrix} 100210001−6−31 4. R1←R1−2R2R_1 \\leftarrow R_1 - 2R_2R1←R1−2R2： \[1000010−30011\] \\begin{bmatrix} 1 \& 0 \& 0 \& 0 \\\\ 0 \& 1 \& 0 \& -3 \\\\ 0 \& 0 \& 1 \& 1 \\end{bmatrix} 1000100010−31 * **解得** ： x1=0x_1 = 0x1=0，x2=−3x_2 = -3x2=−3，x3=1x_3 = 1x3=1 **结论** ： **解为 x=\[0−31\]\\mathbf{x} = \\begin{bmatrix} 0 \\\\ -3 \\\\ 1 \\end{bmatrix}x= 0−31**。 *** ** * ** *** > **12.** > > 给定 A=\[121−3−12053\]A = \\begin{bmatrix} 1 \& 2 \& 1 \\\\ -3 \& -1 \& 2 \\\\ 0 \& 5 \& 3 \\end{bmatrix}A= 1−302−15123 ，b=\[01−1\]\\mathbf{b} = \\begin{bmatrix} 0 \\\\ 1 \\\\ -1 \\end{bmatrix}b= 01−1 ，求解矩阵方程 Ax=bA\\mathbf{x} = \\mathbf{b}Ax=b。 **解答**： * 增广矩阵： \[1210−3−121053−1\] \\begin{bmatrix} 1 \& 2 \& 1 \& 0 \\\\ -3 \& -1 \& 2 \& 1 \\\\ 0 \& 5 \& 3 \& -1 \\end{bmatrix} 1−302−1512301−1 * **行变换过程**： 1. R2←R2+3R1R_2 \\leftarrow R_2 + 3R_1R2←R2+3R1： \[12100551053−1\] \\begin{bmatrix} 1 \& 2 \& 1 \& 0 \\\\ 0 \& 5 \& 5 \& 1 \\\\ 0 \& 5 \& 3 \& -1 \\end{bmatrix} 10025515301−1 2. R3←R3−R2R_3 \\leftarrow R_3 - R_2R3←R3−R2： \[1210055100−2−2\] \\begin{bmatrix} 1 \& 2 \& 1 \& 0 \\\\ 0 \& 5 \& 5 \& 1 \\\\ 0 \& 0 \& -2 \& -2 \\end{bmatrix} 10025015−201−2 3. R3←−12R3R_3 \\leftarrow -\\frac{1}{2}R_3R3←−21R3： \[121005510011\] \\begin{bmatrix} 1 \& 2 \& 1 \& 0 \\\\ 0 \& 5 \& 5 \& 1 \\\\ 0 \& 0 \& 1 \& 1 \\end{bmatrix} 100250151011 4. R2←15R2R_2 \\leftarrow \\frac{1}{5}R_2R2←51R2： \[1210011150011\] \\begin{bmatrix} 1 \& 2 \& 1 \& 0 \\\\ 0 \& 1 \& 1 \& \\frac{1}{5} \\\\ 0 \& 0 \& 1 \& 1 \\end{bmatrix} 1002101110511 5. R2←R2−R3R_2 \\leftarrow R_2 - R_3R2←R2−R3，R1←R1−R3R_1 \\leftarrow R_1 - R_3R1←R1−R3： \[120−1010−450011\] \\begin{bmatrix} 1 \& 2 \& 0 \& -1 \\\\ 0 \& 1 \& 0 \& -\\frac{4}{5} \\\\ 0 \& 0 \& 1 \& 1 \\end{bmatrix} 100210001−1−541 6. R1←R1−2R2R_1 \\leftarrow R_1 - 2R_2R1←R1−2R2： \[10035010−450011\] \\begin{bmatrix} 1 \& 0 \& 0 \& \\frac{3}{5} \\\\ 0 \& 1 \& 0 \& -\\frac{4}{5} \\\\ 0 \& 0 \& 1 \& 1 \\end{bmatrix} 10001000153−541 * **解得** ： x1=35,x2=−45,x3=1 x_1 = \\frac{3}{5},\\quad x_2 = -\\frac{4}{5},\\quad x_3 = 1 x1=53,x2=−54,x3=1 **结论** ： **解为 x=\[35−451\]\\mathbf{x} = \\begin{bmatrix} \\frac{3}{5} \\\\ -\\frac{4}{5} \\\\ 1 \\end{bmatrix}x= 53−541**。 *** ** * ** *** > **13.** > > 设 u=\[044\]\\mathbf{u} = \\begin{bmatrix} 0 \\\\ 4 \\\\ 4 \\end{bmatrix}u= 044 ，A=\[3−5−2611\]A = \\begin{bmatrix} 3 \& -5 \\\\ -2 \& 6 \\\\ 1 \& 1 \\end{bmatrix}A= 3−21−561 ，u\\mathbf{u}u 是否在由 AAA 的列所生成的 R3\\mathbb{R}\^3R3 的子集中？为什么？ **解答**： * u\\mathbf{u}u 在 Span{a1,a2}\\text{Span}\\{\\mathbf{a}_1, \\mathbf{a}_2\\}Span{a1,a2} 中当且仅当方程 Ax=uA\\mathbf{x} = \\mathbf{u}Ax=u 有解。 * 增广矩阵： \[3−50−264114\] \\begin{bmatrix} 3 \& -5 \& 0 \\\\ -2 \& 6 \& 4 \\\\ 1 \& 1 \& 4 \\end{bmatrix} 3−21−561044 * **行变换过程**： 1. R1↔R3R_1 \\leftrightarrow R_3R1↔R3： \[114−2643−50\] \\begin{bmatrix} 1 \& 1 \& 4 \\\\ -2 \& 6 \& 4 \\\\ 3 \& -5 \& 0 \\end{bmatrix} 1−2316−5440 2. R2←R2+2R1R_2 \\leftarrow R_2 + 2R_1R2←R2+2R1，R3←R3−3R1R_3 \\leftarrow R_3 - 3R_1R3←R3−3R1： \[11408120−8−12\] \\begin{bmatrix} 1 \& 1 \& 4 \\\\ 0 \& 8 \& 12 \\\\ 0 \& -8 \& -12 \\end{bmatrix} 10018−8412−12 3. R3←R3+R2R_3 \\leftarrow R_3 + R_2R3←R3+R2： \[1140812000\] \\begin{bmatrix} 1 \& 1 \& 4 \\\\ 0 \& 8 \& 12 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \\end{bmatrix} 1001804120 4. R2←18R2R_2 \\leftarrow \\frac{1}{8}R_2R2←81R2，R1←R1−R2R_1 \\leftarrow R_1 - R_2R1←R1−R2： \[10520132000\] \\begin{bmatrix} 1 \& 0 \& \\frac{5}{2} \\\\ 0 \& 1 \& \\frac{3}{2} \\\\ 0 \& 0 \& 0 \\end{bmatrix} 10001025230 * **相容性分析**： * 无矛盾行，方程组有解。 * 解为 x1=52x_1 = \\frac{5}{2}x1=25，x2=32x_2 = \\frac{3}{2}x2=23。 * 验证： 52\[3−21\]+32\[−561\]=\[044\] \\frac{5}{2}\\begin{bmatrix} 3 \\\\ -2 \\\\ 1 \\end{bmatrix} + \\frac{3}{2}\\begin{bmatrix} -5 \\\\ 6 \\\\ 1 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 0 \\\\ 4 \\\\ 4 \\end{bmatrix} 25 3−21 +23 −561 = 044 **结论** ： **u\\mathbf{u}u 在由 AAA 的列所生成的子集中** ，因为方程组 Ax=uA\\mathbf{x} = \\mathbf{u}Ax=u 有解。 *** ** * ** *** > **14.** > > 设 u=\[2−32\]\\mathbf{u} = \\begin{bmatrix} 2 \\\\ -3 \\\\ 2 \\end{bmatrix}u= 2−32 ，A=\[58701−1130\]A = \\begin{bmatrix} 5 \& 8 \& 7 \\\\ 0 \& 1 \& -1 \\\\ 1 \& 3 \& 0 \\end{bmatrix}A= 5018137−10 ，u\\mathbf{u}u 是否在由 AAA 的列所生成的 R3\\mathbb{R}\^3R3 的子集中？为什么？ **解答**： * u\\mathbf{u}u 在 Span{a1,a2,a3}\\text{Span}\\{\\mathbf{a}_1, \\mathbf{a}_2, \\mathbf{a}_3\\}Span{a1,a2,a3} 中当且仅当方程 Ax=uA\\mathbf{x} = \\mathbf{u}Ax=u 有解。 * 增广矩阵： \[587201−1−31302\] \\begin{bmatrix} 5 \& 8 \& 7 \& 2 \\\\ 0 \& 1 \& -1 \& -3 \\\\ 1 \& 3 \& 0 \& 2 \\end{bmatrix} 5018137−102−32 * **行变换过程**： 1. R1↔R3R_1 \\leftrightarrow R_3R1↔R3： \[130201−1−35872\] \\begin{bmatrix} 1 \& 3 \& 0 \& 2 \\\\ 0 \& 1 \& -1 \& -3 \\\\ 5 \& 8 \& 7 \& 2 \\end{bmatrix} 1053180−172−32 2. R3←R3−5R1R_3 \\leftarrow R_3 - 5R_1R3←R3−5R1： \[130201−1−30−77−8\] \\begin{bmatrix} 1 \& 3 \& 0 \& 2 \\\\ 0 \& 1 \& -1 \& -3 \\\\ 0 \& -7 \& 7 \& -8 \\end{bmatrix} 10031−70−172−3−8 3. R3←R3+7R2R_3 \\leftarrow R_3 + 7R_2R3←R3+7R2： \[130201−1−3000−29\] \\begin{bmatrix} 1 \& 3 \& 0 \& 2 \\\\ 0 \& 1 \& -1 \& -3 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& -29 \\end{bmatrix} 1003100−102−3−29 * **矛盾分析**： * 第三行对应方程 0x1+0x2+0x3=−290x_1 + 0x_2 + 0x_3 = -290x1+0x2+0x3=−29，即 0=−290 = -290=−29，为矛盾方程。 * 该矛盾表明方程组无解。 **结论** ： **u\\mathbf{u}u 不在由 AAA 的列所生成的子集中** ，因为方程组 Ax=uA\\mathbf{x} = \\mathbf{u}Ax=u 无解。 *** ** * ** *** > **15.** > > 设 A=\[2−1−63\]A = \\begin{bmatrix} 2 \& -1 \\\\ -6 \& 3 \\end{bmatrix}A=\[2−6−13\]，b=\[b1b2\]\\mathbf{b} = \\begin{bmatrix} b_1 \\\\ b_2 \\end{bmatrix}b=\[b1b2\]，证明方程 Ax=bA\\mathbf{x} = \\mathbf{b}Ax=b 对一切 b\\mathbf{b}b 都相容，并说明使 Ax=bA\\mathbf{x} = \\mathbf{b}Ax=b 相容的所有向量 b\\mathbf{b}b 的集合。 **解答**： * 增广矩阵： \[2−1b1−63b2\] \\begin{bmatrix} 2 \& -1 \& b_1 \\\\ -6 \& 3 \& b_2 \\end{bmatrix} \[2−6−13b1b2

行变换过程：
1. R2←R2+3R1R_2 \leftarrow R_2 + 3R_1R2←R2+3R1： $2−1b100b2+3b1\] \\begin{bmatrix} 2 \& -1 \& b_1 \\\\ 0 \& 0 \& b_2 + 3b_1 \\end{bmatrix} \[20−10b1b2+3b1$
方程组相容当且仅当 b2+3b1=0b_2 + 3b_1 = 0b2+3b1=0，即 b2=−3b1b_2 = -3b_1b2=−3b1。

结论：
方程 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 并非对一切 b\mathbf{b}b 都相容 。
相容的 b\mathbf{b}b 的集合是所有满足 b2=−3b1b_2 = -3b_1b2=−3b1 的向量，即一条通过原点的直线。

16.

设 A=[1−3−4−3265−1−8]A = \begin{bmatrix} 1 & -3 & -4 \\ -3 & 2 & 6 \\ 5 & -1 & -8 \end{bmatrix}A= 1−35−32−1−46−8 ，b=[b1b2b3]\mathbf{b} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix}b= b1b2b3 ，重复 15 题。

解答：

增广矩阵：

1−3−4b1−326b25−1−8b3\] \\begin{bmatrix} 1 \& -3 \& -4 \& b_1 \\\\ -3 \& 2 \& 6 \& b_2 \\\\ 5 \& -1 \& -8 \& b_3 \\end{bmatrix} 1−35−32−1−46−8b1b2b3
1. R2←R2+3R1R_2 \leftarrow R_2 + 3R_1R2←R2+3R1，R3←R3−5R1R_3 \leftarrow R_3 - 5R_1R3←R3−5R1： $1−3−4b10−7−6b2+3b101412b3−5b1\] \\begin{bmatrix} 1 \& -3 \& -4 \& b_1 \\\\ 0 \& -7 \& -6 \& b_2 + 3b_1 \\\\ 0 \& 14 \& 12 \& b_3 - 5b_1 \\end{bmatrix} 100−3−714−4−612b1b2+3b1b3−5b1$ $1−3−4b10−7−6b2+3b1000b3−5b1+2(b2+3b1)\]=\[1−3−4b10−7−6b2+3b1000b1+2b2+b3\] \\begin{bmatrix} 1 \& -3 \& -4 \& b_1 \\\\ 0 \& -7 \& -6 \& b_2 + 3b_1 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& b_3 - 5b_1 + 2(b_2 + 3b_1) \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 1 \& -3 \& -4 \& b_1 \\\\ 0 \& -7 \& -6 \& b_2 + 3b_1 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& b_1 + 2b_2 + b_3 \\end{bmatrix} 100−3−70−4−60b1b2+3b1b3−5b1+2(b2+3b1) = 100−3−70−4−60b1b2+3b1b1+2b2+b3$

结论：
方程 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 相容当且仅当 b1+2b2+b3=0b_1 + 2b_2 + b_3 = 0b1+2b2+b3=0 。
相容的 b\mathbf{b}b 的集合是一个通过原点的平面。

17.
AAA 中有多少行包含主元位置？方程 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 是否对 R4\mathbb{R}^4R4 中的每个 b\mathbf{b}b 都有解？

解答：

给定矩阵 AAA 为 4×44 \times 44×4 矩阵：
A=[1303−1−1−110−42−8203−1] A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 & 3 \\ -1 & -1 & -1 & 1 \\ 0 & -4 & 2 & -8 \\ 2 & 0 & 3 & -1 \end{bmatrix} A= 1−1023−1−400−12331−8−1
行变换过程：
1. R2←R2+R1R_2 \leftarrow R_2 + R_1R2←R2+R1，R4←R4−2R1R_4 \leftarrow R_4 - 2R_1R4←R4−2R1： $130302−140−42−80−63−7\] \\begin{bmatrix} 1 \& 3 \& 0 \& 3 \\\\ 0 \& 2 \& -1 \& 4 \\\\ 0 \& -4 \& 2 \& -8 \\\\ 0 \& -6 \& 3 \& -7 \\end{bmatrix} 100032−4−60−12334−8−7$ $130302−1400000005\] \\begin{bmatrix} 1 \& 3 \& 0 \& 3 \\\\ 0 \& 2 \& -1 \& 4 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 5 \\end{bmatrix} 100032000−1003405$ $130302−1400050000\] \\begin{bmatrix} 1 \& 3 \& 0 \& 3 \\\\ 0 \& 2 \& -1 \& 4 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 5 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 0 \\end{bmatrix} 100032000−1003450$
- 第 1 行：第 1 列
- 第 2 行：第 2 列
- 第 3 行：第 4 列
- 总共有 3 个主元位置。

结论：

AAA 有 3 行包含主元位置。
由于 AAA 是 4×44 \times 44×4 矩阵但只有 3 个主元，根据定理 4 ，方程 Ax=bA\mathbf{x} = \mathbf{b}Ax=b 不是对 R4\mathbb{R}^4R4 中的每个 b\mathbf{b}b 都有解 。只有当 b\mathbf{b}b 属于 AAA 的列空间时方程才有解。

18.
BBB 的列是否可以生成 R4\mathbb{R}^4R4？方程 Bx=yB\mathbf{x} = \mathbf{y}Bx=y 是否对 R4\mathbb{R}^4R4 中的每个 y\mathbf{y}y 都有解？

解答：

给定矩阵 BBB 为 4×44 \times 44×4 矩阵：
B=[13−22011−512−37−2−82−1] B = \begin{bmatrix} 1 & 3 & -2 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & -5 \\ 1 & 2 & -3 & 7 \\ -2 & -8 & 2 & -1 \end{bmatrix} B= 101−2312−8−21−322−57−1
行变换过程：
1. R3←R3−R1R_3 \leftarrow R_3 - R_1R3←R3−R1，R4←R4+2R1R_4 \leftarrow R_4 + 2R_1R4←R4+2R1： $13−22011−50−1−150−2−23\] \\begin{bmatrix} 1 \& 3 \& -2 \& 2 \\\\ 0 \& 1 \& 1 \& -5 \\\\ 0 \& -1 \& -1 \& 5 \\\\ 0 \& -2 \& -2 \& 3 \\end{bmatrix} 100031−1−2−21−1−22−553$ $13−22011−50000000−7\] \\begin{bmatrix} 1 \& 3 \& -2 \& 2 \\\\ 0 \& 1 \& 1 \& -5 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& -7 \\end{bmatrix} 10003100−21002−50−7$ $13−22011−5000−70000\] \\begin{bmatrix} 1 \& 3 \& -2 \& 2 \\\\ 0 \& 1 \& 1 \& -5 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& -7 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 0 \\end{bmatrix} 10003100−21002−5−70$
- 第 1 行：第 1 列
- 第 2 行：第 2 列
- 第 3 行：第 4 列
- 总共有 3 个主元位置。

结论：

BBB 只有 3 行包含主元位置。
由于 BBB 是 4×44 \times 44×4 矩阵但秩为 3，根据定理 4 ，BBB 的列不能生成 R4\mathbb{R}^4R4。
方程 Bx=yB\mathbf{x} = \mathbf{y}Bx=y 不是对 R4\mathbb{R}^4R4 中的每个 y\mathbf{y}y 都有解。

19.
R4\mathbb{R}^4R4 中的每个向量都可以写成矩阵 AAA 的列的线性组合吗？AAA 的列是否可以生成 R4\mathbb{R}^4R4？

解答：

由第 17 题可知，矩阵 AAA 为 4×44 \times 44×4 矩阵：
A=[1303−1−1−110−42−8203−1] A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 & 3 \\ -1 & -1 & -1 & 1 \\ 0 & -4 & 2 & -8 \\ 2 & 0 & 3 & -1 \end{bmatrix} A= 1−1023−1−400−12331−8−1
通过行变换已证明 AAA 有 3 个主元位置，秩为 3。
根据定理 4 ，m×nm \times nm×n 矩阵 AAA 的列生成 Rm\mathbb{R}^mRm 当且仅当 AAA 有 mmm 个主元位置。
此处 m=4m = 4m=4，但 AAA 只有 3 个主元位置。

结论：

R4\mathbb{R}^4R4 中并非每个向量都可以写成 AAA 的列的线性组合。
AAA 的列不能生成 R4\mathbb{R}^4R4 ，因为 AAA 的列空间是 R4\mathbb{R}^4R4 的一个 3 维子空间。
具体地，AAA 的列向量线性相关（第 3 列可由第 1、2、4 列线性表示），无法张成整个 R4\mathbb{R}^4R4。

20.
R4\mathbb{R}^4R4 中的每个向量都可以写成矩阵 BBB 的列的线性组合吗？BBB 的列是否可以生成 R3\mathbb{R}^3R3？

解答：

由第 18 题可知，BBB 是 4×44 \times 44×4 矩阵且秩为 3。
第一部分 ：R4\mathbb{R}^4R4 中的每个向量是否都可以写成 BBB 的列的线性组合？
- 根据定理 4 ，BBB 的列生成 R4\mathbb{R}^4R4 当且仅当 BBB 有 4 个主元。
- 但 BBB 只有 3 个主元，因此 BBB 的列不能生成 R4\mathbb{R}^4R4。
第二部分 ：BBB 的列是否可以生成 R3\mathbb{R}^3R3？
- 这是一个常见误解。BBB 的列向量属于 R4\mathbb{R}^4R4，而 R3\mathbb{R}^3R3 是一个不同的向量空间。
- BBB 的列可以生成 R4\mathbb{R}^4R4 的一个 3 维子空间，但不能生成 R3\mathbb{R}^3R3 ，因为 R4\mathbb{R}^4R4 与 R3\mathbb{R}^3R3 是不同的空间。

结论：

R4\mathbb{R}^4R4 中并非每个向量都可以写成 BBB 的列的线性组合。
BBB 的列不能生成 R3\mathbb{R}^3R3 （因为它们属于 R4\mathbb{R}^4R4，而 R3\mathbb{R}^3R3 是另一个空间）。

线性代数及其应用习题答案(中文版)第一章 线性代数中的线性方程组 1.4 矩阵方程Ax=b(1)

1.4

练习题

习题 1.4

线性代数及其应用习题答案(中文版)第一章线性代数中的线性方程组 1.4 矩阵方程Ax=b(1)