ABC434E 题解

AKDreamer_HeXY2025-12-03 17:03

E. Distribute Bunnies

题意

数轴上有 n n n 只兔子，第 i i i 只兔子要么站在 X i + R i X_i+R_i Xi+Ri，要么站在 X i − R i X_i-R_i Xi−Ri。问 n n n 只兔子位置的集合去重后的大小最大为多少？

思路

建图。把 X i − R i X_i-R_i Xi−Ri 和 X i + R i X_i+R_i Xi+Ri 连边（注意要把点离散化），问题转化为对于每条边，把其中一个端点涂黑，最多能涂黑多少个点。

考虑每个连通块，若大小为 s z sz sz。

若该连通块为一棵树，显然可以任意一点为根，每条边都涂黑深度较大的那个点，最终只剩下根节点，所以可以涂黑 s z − 1 sz-1 sz−1 个点。
若该连通块为一棵基环树，可以以环为根，每条边都涂黑深度较大的那个点，最终只剩下环上的点，显然环上的点可以都涂黑。所以可以涂黑 s z sz sz 个点。
若该连通块为一个无特殊性质的连通图，可以找到任意一棵生成树，再加一条边变为基环树，转化为上述情形，可以涂黑 s z sz sz 个点。

最终结论，不能涂黑的点数即为树的个数，答案即为总点数减去树的个数。

时间复杂度 O ( n log ⁡ n ) \mathcal{O}(n\log n) O(nlogn)，瓶颈在离散化。

C++ 代码

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2e5+5;
int n;
map<int,int> mp;
vector<int> g[N<<1];
bool used[N<<1];
int vcnt=0,edgecnt=0;
void dfs(int u){
    used[u]=1;
    vcnt++;
    for(int v:g[u]){
        edgecnt++;
        if(!used[v]){
            dfs(v);
        }
    }
}
int32_t main(){
    int n; cin>>n;
    int cnt=0;//总点数
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int x,r; cin>>x>>r;
        int a=x-r,b=x+r;
        if(!mp[a]) mp[a]=++cnt;
        if(!mp[b]) mp[b]=++cnt;
        g[mp[a]].push_back(mp[b]);
        g[mp[b]].push_back(mp[a]);
    }
    int ans=cnt;
    for(int i=1;i<=cnt;i++){
        if(!used[i]){
            vcnt=edgecnt=0;
            dfs(i);
            ans-=(edgecnt/2==vcnt-1);//edgecnt/2 为实际边数，若边数==点数-1，该图为一棵树
        }
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}